資源簡(jiǎn)介

微專(zhuān)題17　一般三角形及其性質(zhì)
考點(diǎn)精講
構(gòu)建知識(shí)體系
考點(diǎn)梳理
1. 三角形的分類(lèi)
(1)按邊分
(2)按角分：銳角三角形、②　　　　　、鈍角三角形
2. 三角形的基本性質(zhì)(6年4考)
(1)三邊關(guān)系：③　　　　　　　　　　　，④　　　　　　　　　　　
(2)角的關(guān)系
(3)邊角關(guān)系：同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)⑧　　　　
(4)穩(wěn)定性：三角形具有穩(wěn)定性
3. 三角形中的重要線段(6年7考)
四線 圖形 性質(zhì) 延伸
中線 AD是中線 BD＝⑨　　　＝⑩　　　BC (1)S△ABD＝S△ACD＝S△ABC； (2)三角形三條中線的交點(diǎn)為三角形的重心
高線 AD是高線 AD⊥ 　　，即∠ADB＝∠ADC＝90° 三角形的三條高線所在的直線的交點(diǎn)為三角形的垂心
角平 分線 AD是角平分線 ∠BAD＝ 　　　　＝∠BAC (1)三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)為三角形的內(nèi)心； (2)內(nèi)心到三角形三邊距離相等
中位線 DE是中位線 DE∥BC且DE＝ 　　　BC (1)△ADE與△ABC相似，其相似比為1∶2，面積比為1∶4； (2)當(dāng)三角形遇到中點(diǎn)時(shí)，常構(gòu)造三角形中位線
練考點(diǎn)
1. 已知三角形的兩個(gè)內(nèi)角都小于40°，則這個(gè)三角形是　　三角形.(填“銳角”“直角”或“鈍角”)
2. 若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，m，則m的值可以是　　　　.
3. 如圖，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，則∠ACD＝　　　　°.
第3題圖
4. 如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線，若AB＝AC，∠CAD＝20°，則∠ACE的度數(shù)是(　　)
第4題圖
A. 20° B. 35° C. 40° D. 70°
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1　三角形的基本性質(zhì) (6年4考)
例1　 如圖，D是△ABC中BC邊上一點(diǎn)，連接A D.
例1題圖
(1)若AB＝3，AC＝2，則BC長(zhǎng)度的取值范圍是　　　　　；
(2)若∠B＝20°，∠C＝40°.
①若AD平分∠BAC，則∠CAD的度數(shù)為　　　　；
②若∠DAC＝2∠BAD，則∠ADC的度數(shù)為　　　　.
變式1　如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∠B＝35°，∠E＝25°，則∠ACD的度數(shù)為(　　)
A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
變式1題圖
考點(diǎn)2　三角形中的重要線段 (6年7考)
例2　(中線、中位線)如圖，在△ABC中，AD是中線，AB＝10，AC＝6.
例2題圖
(1)△ABD與△ACD的周長(zhǎng)差為　　　　；
(2)若E為AB的中點(diǎn)，連接DE，則DE長(zhǎng)為　　　　；
(3)點(diǎn)E在邊AB上，連接DE.
①若△ABC的周長(zhǎng)被DE分成的兩部分的差是2，則線段AE的長(zhǎng)為　　　　；
②若DE平分△ABC的周長(zhǎng)，則AE長(zhǎng)為　　　　.
例3　(高線、角平分線)如圖，在△ABC中，CD，CE分別是△ABC的高和角平分線，∠A＝α，∠B＝β(α＞β).
例3題圖
(1)若α＝70°，β＝40°，則∠DCE＝　　　　；
(2)試用含α，β的代數(shù)式表示∠DCE＝　　　　；
(3)若BC∶AC＝5∶3，S△BEC＝9，則S△ABC＝　　　　.
真題及變式
命題點(diǎn)1　三角形的基本性質(zhì) (6年4考) 　
1. (2022廣東3題3分·人教八上習(xí)題改編)下列圖形中有穩(wěn)定性的是(　　)
A. 三角形 B. 平行四邊形 C. 長(zhǎng)方形 D. 正方形
2. (2024揭陽(yáng)普寧模擬)若使用如圖所示的a，b兩根直鐵絲做成一個(gè)三角形框架，需要將其中一根鐵絲折成兩段，則可以分為兩段的鐵絲是(　　)
A. a，b都可以 B. a，b都不可以 C. 只有a可以 D. 只有b可以
第2題圖
命題點(diǎn)2　三角形中的重要線段 (6年7考) 　
3. (2022廣東5題3分)如圖，在△ABC中，BC＝4，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，則DE＝(　　)
第3題圖
A. B. C. 1 D. 2
3.1變條件——增加角平分線
如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，BE平分∠ABC，若∠ABC＝50°，則∠C的度數(shù)為(　　)
變式3.1題圖
A. 25°　　　　 B. 50°　　　　　 C. 65°　　　　　 D. 90°
4. (2020廣東6題3分)已知△ABC的周長(zhǎng)為16，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為△ABC三條邊的中點(diǎn)，則△DEF的周長(zhǎng)為(　　)
A. 8 B. 2 C. 16 D. 4
4.1變條件——將三邊中點(diǎn)變?yōu)橐贿呏芯€
已知AD是△ABC的中線，AB＝4，AC＝3.若△ACD的周長(zhǎng)為8，則△ABD的周長(zhǎng)為　　　　.
新考法
5. [結(jié)合量角器] 如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC的兩邊AB，AC上的點(diǎn)，連接DE，CD，DE與量角器的0刻度線重合，點(diǎn)D與量角器的圓心重合.若∠A＝20°，BC＝DC，DE＝EC，則∠ACB的度數(shù)為(　　)
第5題圖
A. 70° B. 75° C. 80° D. 85°
考點(diǎn)精講
①等邊三角形　②直角三角形　③任意兩邊的和大于第三邊　④任意兩邊的差小于第三邊　⑤三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°　⑥等于　⑦大于　⑧等角　⑨CD　⑩　 BC
∠CAD　
練考點(diǎn)
1. 鈍角
2. 5(答案不唯一)
3. 140
4. B
高頻考點(diǎn)
例1　(1)1＜BC＜5；
(2)①60°　【解析】∵∠B＝20°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝120°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝60°；
②60°　【解析】∵∠DAC＝2∠BAD，∴∠BAD＋∠DAC＝3∠BAD＝120°，∴∠BAD＝40°，∵∠B＝20°，∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝60°.
變式1　C
例2　(1)4　【解析】∵AD是中線，∴BD＝CD，∵△ABD的周長(zhǎng)＝AB＋AD＋BD，△ACD的周長(zhǎng)＝AC＋CD＋AD，∴△ABD的周長(zhǎng)與△ACD的周長(zhǎng)的差即AB與AC的差，∵AB－AC＝4，∴△ABD與△ACD的周長(zhǎng)差為4.
(2)3　【解析】∵AD是中線，∴D是BC的中點(diǎn)，∵E為AB的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝AC＝3.
(3)①1或3　【解析】可分為兩種情況，①BE＋BD的值比AE＋AC＋CD大2時(shí)，即BE－(AE＋AC)＝2，∵AB＝10，AC＝6，∴AE＝1；②AE＋AC＋CD的值比BE＋BD大2時(shí)，即AE＋AC－BE＝2，∵AB＝10，AC＝6，∴AE＝3，綜上，線段AE的長(zhǎng)為1或3.
②2　【解析】∵DE平分△ABC的周長(zhǎng)，∴BE＝AE＋AC，∵AB＝10，AC＝6，BE＋AE＝AB，∴AE＝2.
例3　(1)15°　【解析】由題意得，∠ACB＝180°－(α＋β)＝180°－(70°＋40°)＝70°，∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACE＝∠ACB＝35°.∵CD是高線，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°－α＝20°，∴∠DCE＝∠ACE－∠ACD＝35°－20°＝15°.
(2)　【解析】由題意得，∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(α＋β)，∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACE＝∠ACB＝90°－(α＋β).∵CD是高線，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°－∠BAC＝90°－α，∴∠DCE＝∠ACE－∠ACD＝90°－(α＋β)－(90°－α)＝.
(3)　【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)E分別向BC，AC作垂線，垂足分別為點(diǎn)F，G，∵CE為∠BCA的平分線，∴EF＝EG，由題意得S△BEC＝×BC×EF＝9，S△ECA＝×AC×EG，∵BC∶AC＝5∶3，∴S△ECA＝S△BEC＝，∴S△ABC＝S△ECA＋S△BEC＝.
例3題解圖
真題及變式
A
2. C　【解析】三角形兩邊之和大于第三邊，兩根長(zhǎng)度分別為5 cm和4 cm的鐵絲做一個(gè)三角形的框架，可以把5 cm的鐵絲分為兩段.∵5＞4，∴滿足兩邊之和大于第三邊.
3. D　【解析】∵在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DE＝BC＝2.
變式3.1　C　【解析】∵點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴AD＝BD，DE為△ABC的中位線，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝50°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠DEB＝25°，∴BD＝DE，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝(180°－∠ADE)＝65°，∴∠C＝∠DEA＝65°.
4. A　【解析】如解圖，∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為△ABC三條邊的中點(diǎn)，∴DE，DF，EF都是△ABC的中位線，∴DF＝AC，DE＝BC，EF＝AB，∴△DEF的周長(zhǎng)為DE＋DF＋EF＝(BC＋AC＋AB)＝×16＝8.
第4題解圖
變式4.1　9　【解析】∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∵△ACD的周長(zhǎng)為8，即AC＋CD＋AD＝8，∵AC＝3，∴CD＋AD＝BD＋AD＝5，∵AB＝4，∴AB＋BD＋AD＝9.
5. D　【解析】由量角器可得，∠ADE＝50°，∵∠A＝20°，∴∠DEC＝50°＋20°＝70°，∵DE＝EC，∴∠DCE＝(180°－70°)÷2＝55°，∴∠BDC＝20°＋55°＝75°，∵BC＝DC，∴∠B＝∠BDC＝75°，∴∠ACB＝180°－20°－75°＝85°.

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