資源簡介

微專題16　線段、角、相交線與平行線
考點精講
構建知識體系
考點梳理
1. 線段和直線
(1)兩個基本事實：①直線的基本事實：經過兩點有且只有一條直線；②線段的基本事實：兩點之間的所有連線中，線段最短
(2)線段的中點：如圖①，若有AM＝①　　　?。舰凇　　　B，則M是線段AB的中點
圖①
(3)線段的和與差：如圖②，在線段AC上取一點B，則有：③　　　＋BC＝AC；AB＝④　　　　－BC；BC＝AC－⑤　　　　
圖②
2. 角及角平分線(6年4考，常在幾何題中涉及考查)
(1)度、分、秒的換算：1°＝60'，1'＝60″，角的度、分、秒是60進制
(2)余角：①定義：如果兩個角的和為90°，那么這兩個角互為余角，簡稱互余；
②性質：同角(或等角)的余角⑥　　　
(3)補角：①定義：如果兩個角的和等于⑦　　　　，就說這兩個角互為補角；
②性質：同角(等角)的補角⑧　　　
(4)角平分線：①定理：角平分線上的點到角兩邊距離相等；
②逆定理：角的內部到角兩邊⑨　　　　　的點在角的平分線上
3. 相交線
(1)對頂角：①舉例：∠1與∠3，∠2與⑩　　　，∠5與∠7，∠6與 　　　
②性質：對頂角 　　
圖③
(2)鄰補角：
①舉例：∠1與∠4，∠2與∠3，∠5與∠8，∠6與∠7等
②性質：鄰補角之和等于 　　
(3)三線八角：①同位角：∠1與∠5，∠2與 　　　　，∠3與∠7，∠4與 　　　　
②內錯角：∠2與∠8，∠3與 　　　
③同旁內角：∠2與∠5，∠3與∠8
(4)垂線的性質：
①在同一平面內，過一點有且只有 　　　　條直線垂直于已知直線(基本事實)
②在連接直線外一點與直線上各點的線段中， 　　　　最短
③點到直線的距離即直線外一點到這條直線的垂線段的長度
(5)線段垂直平分線：
①定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等
②逆定理：到線段兩端點距離相等的點在該線段的垂直平分線上
4. 平行線(6年9考)
(1)平行公理及推論：
①公理：經過直線外一點，有且只有 　　　　條直線平行于這條直線(基本事實)
②推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線 　　
(2)平行線的判定和性質：
①同位角 　　　兩直線平行
②內錯角 　　　兩直線平行
③同旁內角 　　　兩直線平行
【滿分技法】1.在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行；
2.兩條平行線之間的距離處處相等
5. 命題
命題 判斷一件事情的語句叫做命題，命題由題設和結論兩部分組成
真命題 如果題設成立，那么結論一定成立，這樣的命題叫做真命題
假命題 如果題設成立時，不能保證結論一定成立，這樣的命題叫做假命題
互逆 命題 在兩個命題中，如果一個命題的題設是另一個命題的結論，且這個命題的結論是另一個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題
教材改編題練考點
如圖，從A地到B地的四條路線中，路程最短的是　　　，理由為　　　　　　　.
第1題圖
2. 如圖，D是線段AB的中點，C是線段AD的中點，若AB＝4 cm，則線段CD長為　　　　　　　.
第2題圖
3. 若一個角是38°，則它的余角為　 　　，補角為　 　　.
4. 如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠AOD，若∠EOD＝55°，則∠BOD的度數為　　　　°.　
第4題圖
5. 下列圖形中，由AB∥CD能得到∠1＝∠2的是(　　)
6. 下列命題中，是真命題的是(　　)
A. 兩條直線被第三條直線所截，同位角相等
B. 鄰補角之和等于180°
C. 兩個銳角的和是直角
D. 垂直于同一直線的兩條直線互相垂直
高頻考點
考點1　角及角平分線 (6年4考，常在幾何題中涉及考查)
例1　(人教七上習題改編)如圖，點O是直線AB上一點，OD平分∠AOC，點E在OD上，EF⊥OA.
(1)若∠COD＝35°，則∠AOD＝　　　　，∠AOD的余角＝　　　??；
(2)若EF＝3，則點E到OC的距離為　　　　，其依據是　　　　　　　　.
例1題圖
變式1　 如圖，∠AOB余角的度數為(　　)
變式1題圖
A. 20° B. 30° C. 60° D. 80°
變式2　 如圖，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于點D，PC＝4，則PD＝　　　　.
變式2題圖
考點2　平行線的性質及判定 (6年7考)
例2　如圖，直線AB與CD分別交EF于點G，H.
例2題圖
(1)添加一個條件：若　　　　，則AB∥CD(判定依據：同位角相等)；
(2)添加一個條件：若　　　　，則AB∥CD(判定依據：內錯角相等)；
(3)添加一個條件：若　　　　，則AB∥CD(判定依據：同旁內角互補).
例3　已知直線AB∥CD，直線EF分別與AB，CD交于點H，G，∠DGH＝60°.
(1)如圖①，與∠BHE相等的角有　　　　，∠BHG＝　　　　；
(2)如圖②，過點G作GQ⊥AB交AB于點Q，則∠QGH＝　　　　，∠CGH＝　　　?。?br/>(3)如圖③，若GM平分∠HGD，交直線AB于點M，則∠HMG＝　　　　，∠BMG＝　　　　.
例3題圖
真題及變式
命題點　平行線性質求角度 (6年4考) 　
1. (2024廣東4題3分)如圖，一把直尺，兩個含30°的三角尺拼接在一起，則∠ACE的度數為(　　)
A. 120° B. 90° C. 60° D. 30°
　
第1題圖
2. (2023廣東4題3分·人教七下習題改編)如圖，街道AB與CD平行，拐角∠ABC＝137°，則拐角∠BCD＝(　　)
第2題圖
A. 43° B. 53° C. 107° D. 137°
3. (2022廣東4題3分·北師八上例題改編)如圖，直線a∥b，∠1＝40°，則∠2＝(　　)
第3題圖
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
4. (2019廣東12題4分)如圖，已知a∥b，∠1＝75°，則∠2＝　　　　°.
第4題圖
拓展訓練
5. (2024珠海斗門區一模)如圖，直線l1∥l2，分別與直線l交于點A，B，把一塊含30°角的三角尺按如圖所示的位置擺放.若∠1＝50°，則∠2的度數是(　　)
A. 130° B. 100° C. 90° D. 70°
第5題圖
6. (2024德陽)如圖是某機械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，則∠EDC等于(　　)
第6題圖
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
7. (2023金華)如圖，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，則∠4的度數是(　　)
第7題圖
A. 120° B. 125° C. 130° D. 135°
新考法
8. [跨物理學科](2024山西)一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行.若斜面的坡角α＝25°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角β的度數為(　　)
第8題圖
A. 155° B. 125° C. 115° D. 65°
考點精講
①BM?、凇、跘B?、蹵C?、軦B　⑥相等?、?80°
⑧相等　⑨距離相等?、狻?　 ∠8　 相等
180°　 ∠6　 ∠8　 ∠5　 一　 垂線段　 一
互相平行　 相等　 相等　 互補
練考點
1. 3，兩點之間線段最短
2. 1 cm
3. 52°，142°
4. 70
5. D
6. B
高頻考點
例1　(1)35°，55°；
(2)3，角平分線上的點到角兩邊的距離相等.
變式1　B　【解析】由題圖可知∠AOB＝60°，∴∠AOB余角的度數為90°－60°＝30°.
變式2　2　【解析】如解圖，作PE⊥OB于點E，∵∠BOP＝∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD，∵∠BOP＝∠AOP＝15°，∴∠AOB＝30°，∵PC∥OA，∴∠BCP＝∠AOB＝30°，∴在Rt△PCE中，PE＝PC＝×4＝2，∴PD＝PE＝2.
變式2題解圖
例2　(1)∠EGB＝∠EHD(答案不唯一)
(2)∠BGF＝∠CHE(答案不唯一)
(3)∠BGF＋∠DHE＝180°(答案不唯一)
例3　(1)∠AHG，∠CGF，∠HGD；120°
(2)30°，120°　【解析】∵GQ⊥AB，∴∠GQH＝90°，∵AB∥CD，∴∠QGD＝90°，∵∠DGH＝60°，∴∠QGH＝∠QGD－∠DGH＝30°，∠CGH＝180°－∠DGH＝120°.
(3)30°，150°　【解析】∵∠DGH＝60°，GM平分∠HGD，∴∠MGD＝∠DGH＝30°，∵AB∥CD，∴∠HMG＝∠MGD＝30°，∴∠BMG＝180°－∠HMG＝150°.
真題及變式
1. C　【解析】由題意，得∠A＝90°－30°＝60°，AB∥CE，∴∠ACE＝∠A＝60°.
2. D　【解析】∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC＝137°.
3. B　【解析】∵直線a∥b，∴∠2＝∠1＝40°.
4. 105
5. B　【解析】如解圖，∵l1∥l2，∴∠1＝∠3＝50°，又∵∠4＝30°，∴∠2＝180°－∠3－∠4＝180°－50°－30°＝100°.
第5題解圖
6. B　【解析】∵AB∥CD，∠ABC＝70°，∴∠BCD＝∠ABC＝70°，∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°，∴∠EDC＝90°－70°＝20°.
7. C　【解析】如解圖，∵∠1＝∠3＝50°，∴a∥b，∵∠2＝50°，∴∠2＝∠5＝50°，∴∠4＝180°－∠5＝130°.
第7題解圖
8. C　【解析】如解圖，∵重力G的方向豎直向下，∴∠3＝90°，∴∠α＋∠1＝90°，∴∠2＝∠1＝90°－25°＝65°，∵摩擦力F2的方向與斜面平行，∴∠β＋∠2＝180°，∴∠β＝180°－∠2＝180°－65°＝115°.
第8題解圖

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