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第五章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
5.2.3簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
1.了解復(fù)合函數(shù)的概念；
2.理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并能求簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；
3.在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，主動參與到數(shù)學(xué)活動中，感受數(shù)學(xué)思考過程的條理性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.
重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.
難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的概念，分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，選好中間變量.
（一）復(fù)習(xí)導(dǎo)入
師生活動：教師提出問題，學(xué)生回顧并回答.
思考1：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則是什么？
答：一般地，對于兩個(gè)函數(shù)和的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，有如下法則：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
思考2：如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？
本節(jié)課就來研究這類問題.
設(shè)計(jì)意圖：回顧上節(jié)課所學(xué)的主要知識，溫故知新.提出問題，開門見山，點(diǎn)明本節(jié)課要探究復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題.
（二）探究新知
任務(wù)一：復(fù)合函數(shù)的概念
探究：什么是復(fù)合函數(shù)？
師生活動：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生探究.
思考1：函數(shù)是由基本初等函數(shù)通過加、減、乘、除運(yùn)算得到的嗎？
答：基本初等函數(shù)通過加、減、乘、除運(yùn)算無法得到函數(shù).
思考2：函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是什么，它與函數(shù)有什么不同？
師生活動：學(xué)生觀察思考、討論、交流.
答：在函數(shù)中，其中的占據(jù)了對數(shù)函數(shù)中的位置，，，這里有代入、代換的思想；而是兩個(gè)基本初等函數(shù)、之間相乘的關(guān)系，沒有代入、代換的意思.
若設(shè)，則.從而可以看成是由和經(jīng)過“復(fù)合”得到的，即可以通過中間變量表示為自變量的函數(shù).
如果把與的關(guān)系記作，與的關(guān)系記作，那么這個(gè)“復(fù)合”過程可表示為.
【概念的形成】教師給出復(fù)合函數(shù)的概念：
復(fù)合函數(shù)的概念：一般地，對于兩個(gè)函數(shù)和，如果通過中間變量，可以表示成的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)和的復(fù)合函數(shù),記作.
說明：通常稱與分別為內(nèi)、外層函數(shù)，內(nèi)外層函數(shù)一般為基本初等函數(shù).
總結(jié)：(1)函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，其中外層函數(shù)為，內(nèi)層函數(shù)為；不是復(fù)合函數(shù).
(2)判斷一個(gè)函數(shù)是否為復(fù)合函數(shù)，主要看該函數(shù)是否可以表示為兩個(gè)或多個(gè)基本函數(shù)（如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等）通過有限次加、減、乘、除以及函數(shù)的復(fù)合等運(yùn)算得到的結(jié)果.
思考3：函數(shù)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的？
答：函數(shù)是由和復(fù)合而成.
設(shè)計(jì)意圖：通過分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，引入復(fù)合函數(shù)的概念，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).
做一做：下列函數(shù)不可以看成是復(fù)合函數(shù)的是（ ）
.
師生活動：學(xué)生觀察思考、回答，教師點(diǎn)評.
解：選項(xiàng)中，函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成，其中是中間變量；
選項(xiàng)中，函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成，其中是中間變量；
選項(xiàng)中，函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成，其中是中間變量.
設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)的解答，讓學(xué)生加深對復(fù)合函數(shù)概念的理解，進(jìn)一步弄清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，為接下來復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)做鋪墊.
任務(wù)二：簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
探究：如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？
師生活動：教師提出問題，并引導(dǎo)學(xué)生思考、回答，然后完善、講解.
答：
.
思考：函數(shù)是由和復(fù)合而成的，如果以表示對的導(dǎo)數(shù)，表示對的導(dǎo)數(shù)，表示對的導(dǎo)數(shù)，那么與及有什么關(guān)系呢？
師生活動：學(xué)生先求出和，然后找關(guān)系，教師完善、講解.
答：，，又，所以.
師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生抽象出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.
總結(jié)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：
一般地，對于由函數(shù)和復(fù)合而成的函數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為.
即對的導(dǎo)數(shù)等于對的導(dǎo)數(shù)與對的導(dǎo)數(shù)的乘積.
設(shè)計(jì)意圖：通過設(shè)置問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考與探究，從而得出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，提高學(xué)生探究問題的能力，通過對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的推導(dǎo)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).
做一做：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
；
；
；
．
師生活動：學(xué)生獨(dú)立完成求導(dǎo)，并在小組內(nèi)討論、交流、校對答案，教師點(diǎn)評完善.
解：設(shè)，，
則
，；
設(shè)，，
則．
設(shè)，，
則；
設(shè)，，
則，．
設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)的解答，讓學(xué)生掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法.
注意：(1)中間變量的選擇應(yīng)是基本初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)；
(2)求導(dǎo)由外向內(nèi)，并保持對外層函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，內(nèi)層不變的原則；
(3)求每層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，注意分清對哪個(gè)變量求導(dǎo).
師生活動：師生共同總結(jié)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)步驟.
總結(jié)：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般步驟：
(1)分解：選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系.即說明函數(shù)關(guān)系、；
(2)求導(dǎo)：分層求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對哪個(gè)變量求導(dǎo)），要特別注意中間變量對自變量求導(dǎo).即求和；
如，而不是.
(3)回代：計(jì)算，并把中間變量轉(zhuǎn)化為原自變量的函數(shù).
任務(wù)三 較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)
探究：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
師生活動：學(xué)生先獨(dú)立思考完成求導(dǎo)過程，根據(jù)學(xué)生作答情況，指出錯誤并進(jìn)行點(diǎn)評.
錯解：.
錯因分析：對求導(dǎo)時(shí)沒有按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行，導(dǎo)致出現(xiàn)錯誤.
正解：
.
總結(jié)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則通常稱為鏈條法則，因?yàn)樗矜湕l一樣，必須一環(huán)一環(huán)套下去，而不能丟掉其中的任何一環(huán).在對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，要嚴(yán)格按照相應(yīng)的法則進(jìn)行，不要漏掉任何一步.
做一做：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
；
；
；
．
師生活動：學(xué)生獨(dú)立思考完成求導(dǎo)過程，教師指導(dǎo)評價(jià).
解：(1)因?yàn)椋裕?br/>(2)因?yàn)椋裕?br/>(3)因?yàn)椋裕?br/>(4)因?yàn)椋?br/>所以．
設(shè)計(jì)意圖：通過探究和練習(xí)，進(jìn)一步加深對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的理解.
（三）應(yīng)用舉例
例1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
；
；
．
師生活動：教師出示例題，請三名同學(xué)板演，其他同學(xué)獨(dú)立完成求解過程.教師對學(xué)生的完成情況進(jìn)行點(diǎn)評.
解：函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)．
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，
有．
函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)．
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，
有．．
函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)．
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，
有．
注意：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)常犯的兩個(gè)錯誤：
(1)不能正確區(qū)分所給函數(shù)是否為復(fù)合函數(shù)；
(2)所給函數(shù)若是復(fù)合函數(shù)，不能正確判斷它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.
設(shè)計(jì)意圖：通過例題的解答，幫助學(xué)生熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，克服求導(dǎo)過程中常見的錯誤，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).
例2：某個(gè)彈簧振子在震動過程中的位移單位：與時(shí)間單位：之間的關(guān)系為求函數(shù)在時(shí)的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實(shí)際意義．
師生活動：教師出示例題并引導(dǎo)學(xué)生分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則獨(dú)立完成解答.
思考：函數(shù)是由哪兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的？
答：由函數(shù)和復(fù)合而成.
解：函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，
有
當(dāng)時(shí)，．
它表示當(dāng)時(shí)，彈簧振子振動的瞬時(shí)速度為．
總結(jié)：對三角函數(shù)型函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，往往需要利用三角恒等變換公式先對函數(shù)進(jìn)行化簡，再進(jìn)行求導(dǎo)；對復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則熟悉后，求導(dǎo)時(shí)中間步驟可以省略不寫，即不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程，而是直接運(yùn)用公式逐層求導(dǎo).
設(shè)計(jì)意圖：通過彈簧振子的位移這一實(shí)際問題，讓學(xué)生體會復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的實(shí)際應(yīng)用，通過引導(dǎo)學(xué)生分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，并讓學(xué)生完成解答過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).
例3：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
；
．
分析：可先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)，再利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)；
先利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡，再求導(dǎo)．
解：；
因?yàn)椋裕?br/>.
總結(jié)：求較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，一般先整理化簡再求導(dǎo).若直接求導(dǎo)，則應(yīng)辨明和、差、積、商運(yùn)算關(guān)系及復(fù)合關(guān)系，分清復(fù)合部分的層次，找準(zhǔn)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的基本初等函數(shù)，再依據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo).
（四）課堂練習(xí)
1.下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
解：對于項(xiàng)，因，故 A項(xiàng)錯誤；
對于項(xiàng)，，故 B項(xiàng)正確；
對于項(xiàng)，，故 C項(xiàng)錯誤；
對于項(xiàng)，，故 D項(xiàng)錯誤．
故選：．
2.設(shè)定義在上的函數(shù)記，對任意的，，則( )
A. B. C. D.
解：由題意知，
則 ，
，
，
，
，
故 ，的結(jié)果由兩個(gè)因式的積組成，一個(gè)因式為 ，符號以為一個(gè)周期
另一個(gè)因式：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，它為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，它為，
故
3.已知定義在上的函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，定義域也是，滿足，則
【答案】
解：對，
兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，
即，
則，，，
則．
故答案為：．
4.曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為 ．
【答案】
解：假設(shè)是曲線上的一個(gè)動點(diǎn)，
當(dāng)曲線在處的切線與直線平行時(shí)，所求的距離最小，設(shè)此時(shí)，
由題意得，由，得，則，所以．
所以所求距離的最小值為．
故答案為：．
設(shè)計(jì)意圖：通過課堂練習(xí)，檢驗(yàn)學(xué)生對本節(jié)所學(xué)內(nèi)容的掌握情況.
（五）歸納總結(jié)
回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你都學(xué)到了什么？
設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識.

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