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第五章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
5.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則
1.理解并掌握導(dǎo)數(shù)的和、差、積、商的運(yùn)算法則；
2.能利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；
3.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.
重點(diǎn)：兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則及其應(yīng)用.
難點(diǎn)：綜合運(yùn)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
（一）復(fù)習(xí)導(dǎo)入
師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，請(qǐng)學(xué)生回答，后教師點(diǎn)評(píng)總結(jié).
思考1：函數(shù)，，，，，的導(dǎo)數(shù)分別是什么？
答：幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分別為：
思考2：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是什么？
答：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為：
思考3：在上節(jié)課的例中，當(dāng)時(shí)，.這時(shí)，求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)可以看成求函數(shù)與乘積的導(dǎo)數(shù).一般地，如何求兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)呢？
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧上節(jié)課的內(nèi)容，幾何上節(jié)課的例題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算的客觀存在性，以及學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則的必要性.
（二）探究新知
任務(wù)一：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則
探究1：設(shè)，，計(jì)算與'，它們與和有什么關(guān)系？
師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探究.
思考1：如何計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？能利用導(dǎo)數(shù)的定義求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)嗎？
答：設(shè)，因?yàn)椋?br/>所以.
思考2：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)系嗎？
師生活動(dòng)：學(xué)生思考、討論、交流.
答：因?yàn)?，，所?
思考3：類似地，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系呢？
師生活動(dòng)：學(xué)生思考、討論，得出結(jié)論.
答：.
總結(jié)：一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)和的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，有如下法則：
.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)的定義和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求出兩個(gè)函數(shù)的和的導(dǎo)數(shù)以及兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和，進(jìn)而得出兩個(gè)函數(shù)的和與差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).
做一做：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
(1)；(2).
師生活動(dòng)：教師出示問(wèn)題，找兩名學(xué)生板演，其他學(xué)生獨(dú)立完成解答.教師巡視，觀察學(xué)生的完成情況，適當(dāng)進(jìn)行指導(dǎo).學(xué)生完成后，教師點(diǎn)評(píng).
解：(1)；
(2).
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)的解答，讓學(xué)生運(yùn)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和函數(shù)的和、差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).
探究2：設(shè)，，計(jì)算與，它們是否相等？與商的導(dǎo)數(shù)是否等于它們導(dǎo)數(shù)的商呢？
思考1：請(qǐng)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的積.
答：，.
思考2：與的積的導(dǎo)數(shù)是否等于它們導(dǎo)數(shù)的積？
答：.
思考3：與商的導(dǎo)數(shù)是否等于它們導(dǎo)數(shù)的商
答：同樣地，.
師生活動(dòng)：教師給出兩個(gè)函數(shù)和的乘積（或商）的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則.
總結(jié)：對(duì)于兩個(gè)函數(shù)和的乘積(或商)的導(dǎo)數(shù)，我們有如下法則：
；
.
探究3：如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其中為常數(shù)？
師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生思考回答，教師完善.
答：由函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)法則可以得出，也就是說(shuō)，常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的積，即.
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩個(gè)函數(shù)的積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行探討，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng).
做一做：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
(1)；(2).
師生活動(dòng)：教師出示問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析這兩個(gè)函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)怎樣的運(yùn)算得到的，學(xué)生獨(dú)立完成求導(dǎo)，并在小組內(nèi)討論、交流、校對(duì)答案，教師點(diǎn)評(píng)完善.
解：(1)；
(2).
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)的解答，讓學(xué)生運(yùn)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和函數(shù)的積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).
總結(jié)1：一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)和的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，有如下法則：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
總結(jié)2：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的策略:
(1)先區(qū)分函數(shù)的運(yùn)算特點(diǎn)，即函數(shù)關(guān)系式中的和、差、積、商，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)；
(2)對(duì)于三個(gè)及以上函數(shù)的積、商的導(dǎo)數(shù)，依次轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)”函數(shù)的積、商的導(dǎo)數(shù)計(jì)算.
任務(wù)二 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用
師生活動(dòng)：師生共同回顧利用導(dǎo)數(shù)公式求切線方程的一般步驟，然后教師闡述：
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)可直接得到曲線在該點(diǎn)的切線的斜率.而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)，可避免利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)的大量運(yùn)算，也能解決利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式無(wú)法解決的求導(dǎo)問(wèn)題.需要注意直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)特征.當(dāng)問(wèn)題中涉及相切但未出現(xiàn)切點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，要先設(shè)處切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)已知條件求出切點(diǎn)坐標(biāo).
做一做：(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在曲線：上，且在第一象限內(nèi)，已知曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，求點(diǎn)的坐標(biāo).
師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考、探究，教師指導(dǎo)評(píng)價(jià).
解：(1)由題意得，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，所以所求的切線方程為，即.
(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.因?yàn)?，所以，解得.因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限內(nèi)，所以.又點(diǎn)在曲線上，所以.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題，體會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則的便捷性，進(jìn)一步加深對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義及其應(yīng)用的理解.
（三）應(yīng)用舉例
例1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
；
；
；
師生活動(dòng)：教師出示例題，學(xué)生自主完成，教師點(diǎn)評(píng).
分析：將原式化簡(jiǎn)變形成便于求導(dǎo)數(shù)的形式，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù).
解：(1)因?yàn)椋裕?br/>(2)因?yàn)椋?br/>所以；
(3)因?yàn)?，所以?br/>例2：日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過(guò)凈化的.隨著水的純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加.已知將水凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用單位：元為
求凈化到下列純凈度時(shí)，所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率：
．
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意并提出問(wèn)題，學(xué)生分組完成，然后每組選派一名代表匯報(bào)，教師點(diǎn)評(píng)并完善解題過(guò)程.
思考1：凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率與凈化費(fèi)用函數(shù)是什么關(guān)系？
答：凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
解：凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
．
因?yàn)椋?br/>所以凈化到純凈度為時(shí)，凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是元噸．
因?yàn)椋?br/>所以凈化到純凈度為時(shí)，凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是元噸．
思考2：你能根據(jù)求解的結(jié)果，說(shuō)明本題的實(shí)際意義嗎？
答：函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的大小表示函數(shù)在此點(diǎn)附近變化的快慢. 由上述計(jì)算可知，.它表示凈化到純凈度為左右時(shí)凈化費(fèi)用的變化率，大約是凈化到純凈度為左右時(shí)凈化費(fèi)用變化率的倍.這說(shuō)明，水的純凈度越高，需要的凈化費(fèi)用就越多，而且凈化費(fèi)用增加的速度也越快.
總結(jié)：本題是一個(gè)體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)意義的實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率就是函數(shù)在這一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).在解答本題時(shí)，要先求出函數(shù)分別在，處的導(dǎo)數(shù)，然后再回答實(shí)際問(wèn)題中，即將求導(dǎo)結(jié)果“翻譯”成瞬時(shí)變化率，得到實(shí)際問(wèn)題的解答.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例2的解答，使學(xué)生進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)的意義，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).
例3：設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
求的解析式；
證明：曲線上任一點(diǎn)的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．
分析：欲求在點(diǎn)處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而問(wèn)題解決．
先在曲線上任取一點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求出過(guò)此點(diǎn)的切線方程為，令得切線與直線交點(diǎn)．令得切線與直線交點(diǎn)．從而利用面積公式求得所圍三角形的面積為定值．
解：，，
于是，
解得或舍
故．
證明：在曲線上任取一點(diǎn)
由知，
過(guò)此點(diǎn)的切線方程為
令得，切線與直線交點(diǎn)為
令得，切線與直線交點(diǎn)為．
直線與直線的交點(diǎn)為．
從而所圍三角形的面積為．
所以，所圍三角形的面積為定值．
總結(jié)：本例主要涉及直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)解析式的求解，對(duì)運(yùn)算能力也有一定要求．第（1）小題用待定系數(shù)法求解，根據(jù)條件通過(guò)導(dǎo)數(shù)建立的方程組，解方程組確定的值，從而得到的解析式；第（2）小題要注意關(guān)于定值的證明思路，設(shè)曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)，用表示出該點(diǎn)的切線方程及三角形的面積，然后根據(jù)定值的含義，只要證明三角形的面積與無(wú)關(guān)即可.
（四）課堂練
1.已知函數(shù)，則( )
A. B. C. D.
【答案】A
解： ，
令，可得 ，解得 ．
故選A．
2.已知函數(shù)( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：，
，
故選：．
3.“以直代曲”是微積分中的重要思想方法，牛頓曾用這種思想方法求高次方程的根．如圖，是函數(shù)的零點(diǎn)，牛頓用“作切線”的方法找到了一串逐步逼近的實(shí)數(shù)，，，，，其中是在處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是在處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，，依次類推．當(dāng)足夠小時(shí)，就可以把的值作為方程的近似解．若，，則方程的近似解 ．
【答案】
解：由題可得，，則，
所以在處的切線方程為：，
令，解得，即方程的近似解，
故答案為：．
4.已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且．
求，的值；
求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程．
解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以
又，，所以，
由解得，．
由知，
設(shè)所求切線在曲線上的切點(diǎn)為，則，
所以切線方程為，
又切線過(guò)點(diǎn)，所以，
可得，
，
，解得，
所以切點(diǎn)為，切線方程為．
故曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程為．
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂練習(xí)，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)本節(jié)所學(xué)內(nèi)容的掌握情況.
（五）歸納總結(jié)
回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你都學(xué)到了什么？
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).

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