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第五章 一元函數的導數及其應用
5.2.1基本初等函數的導數
1.能根據導數的定義求函數，，，，，的導數；
2.掌握基本初等函數的導數公式，并能進行簡單的應用；
3.理解并會利用導數公式求曲線的切線方程.
重點：基本初等函數的導數公式及其簡單應用；利用導數公式求曲線的切線方程；
難點：根據導數的定義求幾個常用函數的導數.
（一）復習導入
師生活動：教師提出問題，請學生回答，后教師點評總結.
思考1：求函數在處的導數的步驟是什么？
答：(1)；
(2)求平均變化率；
(3)求極限.
思考2：求的導函數的步驟是什么？
答：(1)求的變化量；
(2)求比值；
(3)求極限 .
設計意圖：通過回顧上節課學習的求導步驟，為本節課利用導數的定義求幾個常用函數的導數做好鋪墊.
（二）探究新知
任務一：幾個常用函數的導數
根據導數的定義可知，一個函數的導數是唯一確定的，從而求函數的導數，就是求當時，無限趨近的那個定值，下面我們求幾個常用函數的導數.
探究：如何求函數的導數？
師生活動：教師提出問題，學生按照導數的求解過程求解，教師完善.
答：因為，所以.
思考：這個函數的導數的物理意義是什么？
答：若表示位移關于時間的函數，則可以解釋為某物體的瞬時速度始終為，即一直處于靜止狀態.
總結：求導時可采用的程序化步驟為：
(1)計算，并化簡；
(2)觀察當無限趨近于時，無限趨近于哪個定值，此時要注意是的函數，視為常數；
(3)無限趨近的定值就是函數的導數.
探究2：如何求函數的導數？
師生活動：教師提出問題，學生按照導數的求解過程求解，教師完善.
答：因為，所以.
思考：這個函數的導數的物理意義是什么？
答：若表示位移關于時間的函數，則可以解釋為某物體做瞬時速度為的勻速直線運動.
探究3：如何求函數的導數？
師生活動：教師提出問題，學生按照導數的求解過程求解，教師完善.
答：因為，
所以.
思考1：這個函數的導數的物理意義是什么？
答：若表示位移關于時間的函數，則可以解釋為某物體做變速運動，它在時刻的瞬時速度為.
思考2：這個函數的導數的幾何意義是什么？
答：表示函數的圖象上點處切線的斜率為，說明隨著的變化，切線的斜率也在變化.另一方面，從導數作為函數在一點的瞬時變化率來看，表明：當時，隨著的增加，越來越小，減少得越來越慢；當時，隨著的增加，越來越大，增加得越來越快.
探究4：如何求函數的導數？
師生活動：教師提出問題及公式：，學生分組討論，教師指一名學生板演，師生共同完善.
答:因為，
所以.
思考：這個函數的導數的幾何意義是什么？
答：表示函數的圖象上點處切線的斜率為，這說明隨著的變化，切線的斜率也在變化，且恒為非負數.
探究5：如何求函數的導數？
師生活動：教師提出問題，學生分組討論，教師指一名學生板演，師生共同完善.
答：因為，
所以.
思考：畫出函數的圖象.根據圖象，描述它的變化情況，并求出曲線在點(1,1)處的切線方程.
師生活動：學生畫出函數的圖象（如圖），教師引導學生結合圖象分析求解.
答：函數的圖象如圖所示：
因為,，所以，
所以曲線在點處切線的斜率為.
所以曲線在點處的切線方程為，即.
探究6：如何求函數的導數？
師生活動:教師提出問題，學生分組討論，各自完成，教師完善.
答：因為，
所以.
總結：幾個常用函數的導數
函數 導數
（為常數）
設計意圖：通過對個常用函數的導數的求解，及其導數意義的解釋，發展學生的數學抽象、數學運算等核心素養.
任務二 基本初等函數的導數公式
師生活動：教師直接給出基本初等函數的導數公式表，指出：這些公式可以直接使用，教師留出一定的時間讓學生記憶這些導數公式，學生結合函數的類型記憶公式..
注意：1.基本初等函數的導數公式是求函數的導數的基本依據，要牢記；
2.對于形如，的函數，一般要將其轉化為冪函數的形式，再用冪函數的導數公式求導；
3.要區分指數函數、對數函數的導數公式，以免在運用時混淆；
4.若遇到稍微復雜一些的函數求導，可以先化簡再求導.
做一做：求下列函數的導數
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
師生活動：學生獨立完成，教師評價.
解：(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
設計意圖：通過練習讓學生熟悉基本初等函數的導數公式的應用，提升學生數學運算的核心素養.
任務三 利用導數公式求曲線的切線方程
探究1：求曲線在點處的切線方程.
師生活動：學生思考并獨立完成，教師根據學生完成情況進行點評.
答：，切點為，
根據導數的幾何意義，曲線在點處切線的斜率，
所以，由直線的點斜式方程得切線方程為，即.
總結：利用導數求曲線在點處的切線方程的一般步驟：
(1)求出，得切線的斜率；
(2)求出切點坐標；
(3)由直線的點斜式方程得切線方程.
探究2：求曲線經過點的切線方程.
師生活動：教師出示問題，引導學生注意審題，學生交流，討論，教師評價.
思考1：點是切點嗎？過點的切線是否只有一條？
答：不是切點.
過點且與曲線相切的直線有兩條，如圖所示：
思考2：怎樣求過點的該曲線的切線方程？
答：設切點為，則
切線方程為，
代入點可得，解得或，
又，，
故切線方程為或，
即切線方程為或.
總結：求經過點的曲線的切線方程的一般步驟：
(1)設切點坐標為，求出斜率；
(2)由點斜式寫出切線方程（此方程中含）；
(3)將點的坐標代入方程，得到關于的方程；
(4)解方程求出的值；
(5)將的值再次代入方程并化簡，即可得到所求的切線方程.
注意：關于的方程的解的個數與切線的條數相同.
設計意圖：通過探究問題，體會利用導數公式求切線斜率的便捷性，進一步加深對導數幾何意義及其應用的理解；通過對比理解求曲線“在”某點與“過”某點的切線含義的不同.
（三）應用舉例
例1：求下列函數的導數：
；
師生活動：教師出示例題，學生自主完成，教師點評.
解：；．
例2：假設某地在年間的年均通貨膨脹率為，物價單位：元與時間單位：年之間的關系為，其中為時的物價．假定某種商品的，那么在第個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少精確到元年？
師生活動：教師出示例題，引導學生審清題型，讓學生利用基本初等函數的導數公式求解.
解：根據基本初等函數的導數公式表，有．
所以．
所以，在第個年頭，這種商品的價格約以元年的速度上漲．
思考：如果某種商品的，那么在第個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少？
答：解答這一問題需要求的導數，利用基本初等函數的導數公式，可以求和的導數，但的導數已經不能直接用基本初等函數的導數公式求解了.學習了下一節的內容到時就能解決這一問題.
設計意圖：通過解決例2，幫助學生熟悉基本初等函數的導數公式的應用，發展學生的邏輯推理、熟悉運算和數學建模等核心素養.通過設問，為下一節課介紹導數的四則運算法則埋下伏筆.
例3：已知曲線，
求曲線在點處的切線方程；
求曲線過點的切線方程．
分析：直接利用點在線上求出曲線在該點的斜率，進一步求出切線的方程；
首先判斷該點不在曲線上，設切點，進一步利用函數的導數求出切線的斜率，得出切線方程，利用已知點在切線上，進一步求出切線的方程．
解：由函數，得，
所以直線的斜率，
故直線的方程為，
整理得．
設直線與曲線相切于點，即點，
則直線的斜率為，
所以切線的方程為，
由于曲線經過點
所以，
解得或，
所以切點的坐標為和，
所以切線的方程為或．
總結：求曲線的切線方程時，應注意：
(1)切點是曲線與切線的公共點，切點坐標既滿足曲線方程也滿足切線方程；
(2)函數在切點處對應的導數就是相應曲線在切點處的切線的斜率；
(3)必須先明確已知點是不是切點，如果是，則直接求解；如果不是，要設出切點，先求切點再求切線方程.
（四）課堂練習
1.已知，且，若，則( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：因為，則，
所以，，
因為，且，解得．
故選：．
2.已知函數，過點作曲線的切線，則其切線方程為 ．
【答案】
解：設切點為，
由，則，
所以，
所以切線方程為，
又切線過點，
所以，解得，
所以切線方程為，
即．
故答案為：．
3.若曲線在處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求實數的值．
【答案】解：的導數為，
可得曲線在處的切線的斜率為，
且切點為，，
則切線的方程為，
由，可得；
由，可得，
所以，
解得．
設計意圖：通過課堂練習，檢驗學生對本節所學內容的掌握情況.
（五）歸納總結
回顧本節課的內容，你都學到了什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.

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