資源簡介

高中數學選修性必修二第四章4.3.1《等比數列的概念》教學設計 授課教師：廖心陽
4.3.1等比數列的概念
內容分析
本節課選自《2019人教A版高中數學選擇性必修二》第四章《數列》，主要學習等比數列的定義、等比中項和等比數列通項公式。
數列是高中代數的主要內容，它與數學課程的其它內容（函數、三角、不等式、概率與統計）有著密切的聯系，又是今后學習高等數學的基礎，所以在高考中占有重要地位。其中，等比數列的定義和通項公式是數列模塊的高頻考點，因此該內容是本章的教學重點。
在學生已經掌握了等差數列的概念和性質的基礎上，教師采用類比的方法，引導學生類比等差數列的研究過程，自主探究等比數列，讓學生經歷等比數列定義的形成和通項公式的推導過程，體會類比推理的數學思想，體會從特殊到一般的研究方法。發展學生數學抽象、邏輯推理、數學運算和數學建模的核心素養，對培養學生觀察分析、歸納總結、類比推理能力具有重要意義，為培養學生思維的靈活性和創造性打下堅實的基礎。
教學重點：等比數列的定義和通項公式。
教學難點：等比數列通項公式的推導、整體代換思想。
教學時數：1學時。
學情分析
學生已經掌握了等差數列的定義、等差中項和通項公式，教師采用類比的方法引導學生自主探究等比數列的定義、等差中項和通項公式，學生接受度較高。但是這節課對學生的邏輯思維能力和數學運算能力要求較高，而我班學生在該方面較為薄弱。因此，本節課采用低起點，由淺入深，由易到難逐步推進，熱情地啟發學生，積極互動，讓學生在歡快的氣氛中取得運用知識的能力。同時，為了更好地適應新高考，本節內容采用“三環四自”教學模式，并使用AI賦能實施數據驅動精準教學。
教學方法：“三環四自”教學模式、類比學習法。
學習目標
教學目標 核心素養
類比等差數列，理解等比數列和等比中項的定義； 掌握等比數列通項公式，能運用公式解決相關問題； 體會類比、轉化、整體和方程思想，培養學生抽象思維和應用能力，以及大膽猜測、敢于探索的精神品質； 理論聯系實際，通過對社會熱點問題的數學解釋，培養學生“強國有我”的遠大志向。 A. 數學抽象：等比數列及中項定義； B. 邏輯推理：等比數列通項公式推導； C. 數學運算：等比數列公式的運用； D. 數學建模：等比數列的函數特征。
教學準備
教學準備：多媒體PPT，“細菌分裂”小視頻，H5動畫，希沃白板，暢言智慧課堂，智學網，翻頁筆。
課前任務：請完成第1-4題并上傳智學網。
1、回憶等差數列的定義、等差中項和通項公式，完成學案中相應填空。
回憶指數冪運算公式，并完成相應題目（n、m∈R）。
anam gy ugiu； gy ugiu.
方程42x-1=16的解是( ).
A. B. C.1 D.2
(3) 若2x7，2y6,則4x-y( ).
A. B. C. D.
3、找規律并完成填空，猜測第n項(n∈N )的值。
(1) 2，4，8，16，32，11 1； (2) 16，8，4，2，1，1 11 ；
(3) 9，3，1，，，11 1； (4) 1，2，4，8，16，11 1.
4、探究思考
假設在營養和生存空間沒有限制的理想條件下，細菌每20分鐘通過分裂繁殖一次（每個細菌都分裂成兩個），探究一個細菌經過一天時間分裂產生的細菌個數。
教學過程
環節 教學內容 教師/學生活動 設計意圖
創設情境 創設情境 以小視頻“細菌分裂”引入。假設在營養和生存空間沒有限制的理想條件下，細菌每20分鐘通過分裂繁殖一次（每個細菌都分裂成兩個），探究一個細菌在一定時間內分裂產生的后代個數。 創設情境，體會數學來源于生活，認識數學的科學價值，激發學生對于探索等比數列的興趣。 利用小視頻和H5動畫美觀生動，具有較強視覺沖擊力，吸引學生注意力。
新知探究 （二）新知探究 探究1：等比數列的定義 【問題1】類比等差數列，你認為可以通過怎樣的運算發現課前任務3的數列取值規律？ 【課前任務】 學生已完成課前填空任務，課中在教師引導下，學生類比等差數列特征發現等比數列特征，并用文字語言進行描述。 通過類比等差數列，引導學生通過觀察，歸納出等比數列的規律特征，發展學生數學抽象、數學運算的核心素養，培養學生大膽猜測、敢于探索的精神品質。
【問題2】類比等差數列的定義，你能從上述數列的規律中抽象出這類數列的定義嗎？ 等差數列等比數列文字語言一般地，若一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列。這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示。一般地，若一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示。符號語言an+1an d (n∈N ) (n∈N )
教師引導學生類比等差數列定義，從特殊到一般，歸納出等比數列的定義，培養學生高度概括總結的能力，發展學生數學抽象的核心素養。
【學生活動1】概念辨析：下列數列是否是等比數列？如果是，請指出它的公比。 【學生活動1】 6組同學思考對應題號的問題，依次回答。 【學生自主總結】 辨析等比數列的內涵與外延，學生自主探索等比數列的限制條件，加深對等比數列定義的理解。
探究2：等比中項 【學生活動2】已知以下數列為等比數列，請完成填空: 4，1 11，9； (2) 4，1 11，9. 【師生活動】 學生回答。教師利用“隨寫板”輔助推導等比數列的中項公式。
新知探究 【問題3】類比等差中項，如何定義等比中項 等差中項等比中項文字語言由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，這時，A叫做a與b的等差中項.如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項.符號語言2A ab (唯一)G ab (兩個)
通過類比等差中項，引導學生由定義獲得等比數列的中項公式。分析二者不同之處，對比記憶，加深印象。發展學生邏輯推理、數學抽象和數學運算的核心素養。
【追問】4和9是否有等比中項？ 【學生自主總結】 教師引導學生總結等比中項的注意點。
【學生活動3】利用“等比中項”相關知識完成課本P29例1:已知等比數列{an}的第4項和第6項分別為48和12，求{an}的第5項。 【師生活動】 學生口述，教師利用“聚集”功能在白板書寫。 鞏固等比中項的求解方法:已知三個數構成等比數列，則知二求一（方程思想）。
探究3：等比數列的通項公式 【問題4】類比等差數列通項公式的推導過程，你能自主推導等比數列的通項公式嗎？ 等差數列等比數列推導過程 等號左右累加可得： an a1(n1)d () 當n1時，上式成立 等號左右累乘可得： an a1qn-1 () 當n1時，上式成立通項公式首項為a1，公差為d的等差數列通項公式為： an a1(n1)d (n∈N )首項為a1，公比為q的等比數列通項公式為： an a1qn-1 (n∈N )
引導學生有意識地類比等差數列通項公式的推導方法，利用等比數列的定義得到等比數列的通項公式。
【學生活動4】利用“等比數列通項公式”相關知識完成課本P29例1。 【師生活動】 學生嘗試做題，上傳作答過程，學生糾錯，教師示范書寫格式。 “試錯-糾錯-救錯-究錯”，高效觸發學生思考。利用多種方法求解，引導學生體會方程思想和整體代換思想，引導學生做題時選擇合適的方法降低計算量。
【學生活動5】利用“等比數列通項公式”相關知識完成課本P30例2:已知等比數列{an}公比為q，用{an}的第m項am表示an。 【學生自主歸納】 由特殊到一般補充等比數列通項公式的變形公式。
知識應用 （三）知識應用 【學生活動6】分組完成練習，具體要求如下： 分組要求具體任務第1-3組【練習1】等比數列{an}中，已知a14，an128，q2，求n。第4-6組【練習2】等比數列{an}中，已知a316，a6128，求an。
【練習2變式】等比數列{an}中，已知a28，a6128，求an。 【師生活動】 教師拍攝學生作答過程展示，學生互評，教師糾正答題格式。 鞏固等比數列通項公式及其變形公式的應用。等比數列的通項公式涉及4個量a1，an，n，q，知三求一。提高了學生的數學運算能力的核心素養，滲透方程思想和整體代換思想。
隨堂檢測 （四）隨堂檢測 1. [基礎練習] 已知各項均為正數的等比數列{an}滿足a1＝3a3＋2a2，則公比q＝( )。 A.1 B.1或 C. D.1或 2. [綜合練習] 已知不等式x2－5x－6<0的解集中存在三個整數，它們構成等比數列{an}的前三項，則數列{an}的第四項是( )。 A.8 B. C.8或2 D.8或 【師生活動】 教師設置“全班作答”，學生利用平板上傳答案。教師根據答題情況進行講評。 通過基礎練習重在鞏固等比數列通項公式的掌握，提升學生的數學運算能力，滲透方程思想。 綜合練習結合一元二次不等式求解，在等比數列概念的基礎上提升難度，同時考查了數列的有序性?？疾閷W生融會貫通能力和分類討論能力。
課堂小結 課堂小結 1、知識梳理 等差數列等比數列定 義an+1an d (n∈N ) (n∈N )中項公式2A ab (唯一)G ab (兩個)通項公式ana1(n-1)d (n∈N )an a1qn-1 (n∈N )變形公式anam(n-m)d (m，n∈N )anamqn-m (m，n∈N )
2、思想方法：類比推理、化歸思想、方程思想、整體思想、分類討論 學生根據課堂所學知識，在教師的引導下自主梳理知識脈絡，與等差數列相關知識進行對比記憶，有利于將本單元知識進行串聯，培養了學生的高階思維能力。
回歸情境 （六）回歸情境 假設在營養和生存空間沒有限制的理想條件下，細菌每20分鐘通過分裂繁殖一次（每個細菌都分裂成兩個），探究一個細菌經過一天時間分裂產生的細菌個數。 【探究思考】 思考1：聯系函數知識，可以選擇什么函數模型描述細菌分裂現象？ 思考2：當細菌由1個分裂成不少于n個時，至少需要多長時間？ 【師生活動】 教師引導學生完成課前探究思考題，從問題中來到問題中去。 回歸情境，對現實問題進行數學抽象，用符號語言表達問題，用數學方法構建模型，解決問題，發展學生邏輯推理、數學抽象和數學建模的核心素養，鞏固等比數列通項公式的應用。同時，用數學特有的方式進行育人，實現了立德樹人。 思考題回扣問題情境，指引學生后續學習方向，為下節課等比數列與函數的關系做鋪墊。
作業布置 （七）作業布置 【必做】 智學網個性化作業； 【選做】 1、等比數列{an}中，已知a1a320，a4a6160，求公比q. 2、已知 1，a，b，c， 9構成等比數列： 求ac和b的值； (2)b是否為 1和 9的等比中項？請說明理由； (3)你能得到什么結論？ 在大數據學情分析的支持下，教師根據課堂生成數據（互動參與度、表揚次數、測試成績、薄弱點）布置作業，智學網根據每位學生的知識點掌握情況進行刪減推送個性化作業（必做），有效助力因材施教、個性化教學。學生提交作答后即可查看解析，自主訂正反思，還可以完成智學網推送的薄弱知識點相似題進行自主提升，復習鞏固所學知識，加深對等比數列定義、等比中項和通項公式的理解。 選做題則引導學生提前探索等比數列的性質，為后續學習內容做鋪墊。
教學反思 理論與實際結合，實現立德樹人價值觀的傳遞。本節課由近期“全國都在咽喉炎”出發，最終回到“以強健之體魄，駐健康之中國”，呼吁學生勤防護、多鍛煉，強國有我，躬身先行。 實現跨學科交流。本節課開頭創設“細菌分裂”情境，與生物學科產生聯動。結尾利用數學新知將生物情境轉化為數學模型，利用數學知識建模解決問題。 信息技術使用豐富。本節課開頭調用暢言智慧課堂資源庫H5動畫輔助情境的創設；通過屏幕推送功能，將PPT實時呈現在學生平板；使用聚焦功能，截取電子教材的題目至白板進行書寫；在隨寫板完成草稿和簡便計算。一鍵“全班作答”讓學生進行平板答題，對當堂知識點進行檢測和鞏固。學生每答完一題教師及時反饋正確答案，點贊做對的學生，并進行講解和易錯點強調。即做即反饋以及表揚的方式充分調動了學生上課的積極性，同時配合著截圖分享教師板書，學生課堂專注度較高。該方法能較好的讓學生主動運用所學知識進行思考，有利于課堂知識點消化和吸收，提高課堂學習效率。 深刻落實“三環四自”教學模式。課前向學生推送預習資源，提出問題，學生自主探索，發現問題，激發學習興趣，明確知識概況。課中以學生為主體、教師為主導，引導學生類比已經學過的等差數列研究過程得到等比數列的定義、等比中項和通項公式及變形式。重視深度學習，鼓勵學生合作探究，自主突破知識重點和難點；借助暢言智慧課堂的“全班作答”功能，實現學生個體答題的實況展示、教師點評和生生互評，激活課堂，讓學習真實發生；鼓勵學生自主總結，建構思維導圖，在知識的歸納與消化中啟發思考，培養學生的高階思維能力。課后在大數據學情分析的支持下，教師根據課堂生成數據（互動參與度、表揚次數、測試成績、薄弱點）布置作業，智學網根據每位學生的知識點掌握情況進行刪減推送個性化作業（必做），有效助力因材施教、個性化教學。學生提交作答后即可查看解析，自主訂正反思，還可以完成智學網推送的薄弱知識點相似題進行自主提升，復習鞏固所學知識，加深對等比數列定義、等比中項和通項公式的理解。

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