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/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學學科
專項九：數學廣角-集合（考點清單+易錯易混點+專練）
【容斥原理（優化）知識點歸納】
在日常生活中，人們常常需要統計一些數量，在統計的過程中，往往會發現有些數量重復出現，為了使重復出現的部分不致被重復計算，人們研究出一種新的計數方法，既先不考慮重復的情況，把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來，然后再把計數時重復計算的數目排除出去，使計算的結果既無遺漏又無重復．這種計數方法稱為包含排除法，也叫做容斥原理或重疊問題．
一般方法：
在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來幫助分析思考．
容斥原理1：兩量重疊問題
A類與B類元素個數的總和＝A類元素的個數+B類元素個數﹣既是A類又是B類的元素個數
容斥原理2：三量重疊問題
A類、B類與C類元素個數的總和＝A類元素的個數+B類元素個數+C類元素個數﹣既是A類又是B類的元素個數﹣既是B類又是C類的元素個數﹣既是A類又是C類的元素個數+同時是A類、B類、C類的元素個數．
1. 集合概念的理解
易錯點：學生可能難以理解什么是集合以及什么是個體元素。
對策：使用學生熟悉的例子，比如教室里的同學、文具等，來解釋集合和元素的概念。
2. 表示方法的混亂
易錯點：學生可能會混淆如何用列舉法表示集合，有時會遺漏大括號{}，或者不清楚什么時候應該使用列舉法。
對策：通過簡單的實例練習，如列出喜歡某種水果的同學的名字，讓學生熟悉正確的表示方式。
3. 集合間關系的理解
易錯點：交集和并集的概念對于小學生來說可能是新的，他們可能會分不清哪些是共同擁有的（交集），哪些是一起考慮的所有項（并集）。
對策：利用韋恩圖進行直觀教學，幫助學生看到兩個集合之間的重疊部分（交集）和全部覆蓋的部分（并集）。可以使用顏色不同的圓形貼紙代表不同集合，幫助學生視覺化這些概念。
4. 容斥原理的應用
易錯點：在計算兩個集合合并后的總人數時，學生可能會忘記減去重復計算的人數（即交集部分）。
對策：給出具體的題目，例如班上喜歡足球的學生和喜歡籃球的學生有多少人喜歡至少一種球類運動。先畫出韋恩圖，再逐步引導學生計算。
一、選擇題
1．三年級有15人參加合唱隊，12人參加書法班，兩樣都參加的有7人，三年級參加合唱隊和書法班的學生一共有（ ）人。www.21-cn-jy.com
A．20 B．27 C．34
2．三（1）班有45人，都參加了興趣小組。參加書法興趣小組的有34人，參加美術興趣小組的有27人，兩個興趣小組都參加的有（ ）人。
A．11 B．61 C．16
3．同學們去果園摘水果的情況如圖，（ ）的說法是正確的。
A．摘火龍果的有32人 B．一共有112人摘水果 C．只摘蜜橘的有60人 D．兩種水果都摘的有20人
4．秋季運動會上，參加短跑的有30人，參加長跑的有35人，兩項都參加的有19人，一共有（　　）人參加比賽。
A．84 B．46 C．65
5．下面是三（2）班參加跑步和乒乓球比賽的學生名單。
跑步 楊慧 李麗 陳星 馬婷婷 周斌 劉楨
乒乓球 楊慧 陳星 馬婷婷 楊曉軍
如果用集合圖來表示三（2）班學生參賽的情況，（ ）選項正確。
A． B．
C． D．以上都不是
6．三（1）班有15人參加舞蹈隊，25人參加輪滑隊，兩隊都參加的有10人，全班每人至少參加一項，三（1）班有（ ）人。21世紀教育網版權所有
A．20 B．30 C．40
二、填空題
7．三年級參加航模小組的有12人，參加書法小組的有19人，兩組都參加的有8人。一共有( )人參加這兩個課外小組。21·世紀*教育網
8．期中考試，三一班英語得A和數學得A的一共有34人，其中英語27人，數學12人，那么既獲得數學得A又獲得英語得A的有( )人。2·1·c·n·j·y
9．如圖，將兩條彩帶連成一條，其中一條彩帶長18分米，另一條長8分米，接頭處用去2分米，連接后的彩帶長( )分米。
10．明明排隊去做操，從前數明明排第8，從后面數起也是排第8，這一排一共有( )個小朋友。
11．如圖，五個圓相交后被分成了九個區域，現在兩個區域里已分別填上數字15、16，將2，3，4，5，7，8，9這七個數字填在合適的位置，使每個圓內的數字和是20。
12．三（1）班參加音樂、美術考查，每人至少得了一個優，音樂得優的有32人，美術得優的有27人，音樂美術都得優的有21人。只有音樂得優的有( )人，這個班一共( )人。
13．三（1）班有28人參加了歌舞興趣小組。會唱歌的有18人，會跳舞的有20人，既會唱歌又會跳舞的有( )人。
14．將兩塊長度分別為90厘米和80厘米的木板排成一條線后，釘在一起，中間重疊部分長30厘米，新釘成的木板長( )厘米。
15．看圖回答問題。
一共調查了( )人；喜歡籃球的有( )人；只喜歡足球的有( )人；兩種球都喜歡的有( )人。
16．三（1）班參加國畫小組的同學有：王力、劉明、張海、李曉、趙玉、孫濤、周炎、吳敏和鄭艷，參加素描小組的同學有：王力、劉明、張海、黃永、陳晶和陳艷，參加這兩個小組的一共有( )人。
17．三（1）班進行語文、數學測試，得優的共19人。其中語文得優的有13人，數學得優的有12人。根據條件在下面圖中的橫線上填數。
18．“司機之家”微信群里，有大貨資格的司機有16人，有大客資格的司機有13人，兩種資格都有的有5人，這個群里有大貨或大客資格的司機共有( )人。
三、判斷題
19．三(2)班的同學都報名參加了興趣小組，其中合唱小組有8人，繪畫小組有13人，舞蹈小組有7人，三(2)班的總人數一定是28人． ( )
20．長方形、正方形、平行四邊形都有四個角。( )
21．三（1）班有36名同學，會下圍棋的有16人，會下軍棋的有14人，兩種棋都不會的有10人，兩種棋都會的有4人。( )
22．同學們排成一隊按順序報數，從前面開始小麗報25，從后面開始小麗報8，小麗所在的隊一共有33人。( )
23．張爺爺的菜園里種了芹菜、豆角、黃瓜、西紅柿、西蘭花5種蔬菜，李伯伯的菜園里種了黃瓜、西紅柿、豆角、辣椒、蘿卜5種蔬菜。張爺爺和李伯伯一共種了10種蔬菜。( )
四、解答題
24．學校組織各種社團活動，參加武術社團的有28人，參加合唱社團的有19人，其中兩種社團活動都參加的有9人，參加這兩種社團活動的有多少人？21教育網
25．調查了100位同學，其中有52人會彈銅琴，有36人會滑旱冰，兩樣都不會的有31人，兩樣都會的有幾人？
26．三（2）班的同學們到游樂園玩，每人至少玩一項，坐碰碰車的有18人，玩旋轉木馬的有22人，兩樣都玩的有6人，去游樂園的同學有多少人？【來源：21·世紀·教育·網】
27．三（2 ）班有40名同學，會下象棋的有25名同學，會下圍棋的有13名，兩種棋都不會的有8名。那么只會下象棋的同學有多少名？
28．學校組織元旦晚會，參加舞蹈演出的有27人，參加合唱演出的有35人，其中有9人既參加舞蹈演出又參加合唱演出。參加舞蹈和合唱演出的一共有多少人？
29．五（2）班有42人，會打籃球的有21人，會游泳的有17人，兩種運動都不會的有10人，兩種運動都會的有多少人？21*cnjy*com
30．明明喝了一瓶可樂的，萍萍也拿了同樣的一瓶可樂，喝了一些后還剩．誰喝得多？多喝了一瓶可樂的幾分之幾？
31．小華和小林在比賽寫描寫春天的成語。小華寫出了12 個，小林寫出了20個，小華寫成語中有一部分小林也寫出來了。統計發現他倆一共寫了24個成語。你能算出小華和小林寫的成語相同的有多少個嗎？21*cnjy*com
參考答案：
1．A
【分析】要求參加合唱隊和書法班的學生總人數，用參加合唱隊的人數加上參加書法班的人數，再減去兩樣都參加的人數即可。www-2-1-cnjy-com
【詳解】15＋12－7
＝27－7
＝20（人）
故答案為：A
【點睛】在解決重疊問題時，要用各部分的總合減去重疊部分求實際總量。
2．C
【分析】根據“參加書法興趣小組的有34人，參加美術興趣小組的有27人。”可得兩者的總人數：34＋27＝61人，這其中把兩種興趣小組都參加的人數多計算了一次，所以根據容斥原理可得兩種興趣小組都參加的人數是：61－45＝16（人），據此解答即可。
【詳解】34＋27－45
＝61－45
＝16（人）
兩種興趣小組都參加的有16人。
故答案為：C
【點睛】本題是典型的容斥問題，解答規律是：既A又B＝A＋B－總數量（兩種情況）。
3．D
【分析】此題主要考查了集合重疊問題，觀察圖可知，只摘火龍果的有32人，只摘蜜橘的有40人，兩種水果都摘的有20人，要求總人數，用只摘火龍果的人數＋只摘蜜橘的人數＋兩種水果都摘的人數＝總人數，據此解答。【版權所有：21教育】
【詳解】選項A， 摘火龍果的有32＋20＝52人，原題說法錯誤；
選項B，一共有32＋20＋40＝92人，原題說法錯誤；
選項C，觀察圖可知，只摘蜜橘的有40人，原題說法錯誤；
選項D，觀察圖可知，兩種水果都摘的有20人，原題說法正確。
故答案為：D
4．B
【分析】由題意，用30＋35求出至少參加一項比賽的總人數，再減去兩項都參加的人數就是參加比賽的總人數；據此解答。
【詳解】30＋35－19
＝65－19
＝46（人）
故答案為：B
【點睛】本題主要考查集合問題，解答此題注意（30＋35）把兩項都參加的人數多算了一次，所以要減去兩項都參加的人數。
5．B
【分析】觀察表格可得：參加跑步的有楊慧、李麗、陳星、馬婷婷、周斌、劉楨，參加乒乓球的有楊慧、陳星、馬婷婷、楊曉軍，而且楊慧、陳星、馬婷婷既參加了跑步，又參加了乒乓球，因此用集合圖表示三（2）班學生參賽的情況時，先將重復的學生姓名找出來填在中間重合的部分，再將只參加跑步和只參加乒乓球的學生姓名分別對應填在集合圖的左、右兩邊；據此解答。
【詳解】據分析可知：
楊慧、陳星、馬婷婷既參加了跑步，又參加了乒乓球，可知有重疊部分，如果用集合圖來表示三（2）班學生參賽的情況，B選項正確。【出處：21教育名師】
故答案為：B
6．B
【分析】用參加舞蹈隊的人數加上參加輪滑隊的人數，再減去兩隊都參加的人數，求出三（1）班同學總人數。
【詳解】15＋25－10＝30（人）
則三（1）班有30人。
故答案為：B
【點睛】本題考查集合問題，各部分的總和減去重疊部分，求出實際總量。
7．23
【分析】用參加航模小組的人數加上參加書法小組的人數，減去兩組都參加的人數，求出參加這兩個課外小組的總人數。
【詳解】12＋19－8＝23（人）
一共有23人參加這兩個課外小組。
【點睛】本題考查集合問題，用各部分的總和減去重疊部分，求出實際總量。
8．5
【分析】用英語得A的人數加數學得A的人數后再減去獲得英語和數學得A的總人數即可。
【詳解】27＋12＝39（人）
39－34＝5（人）
【點睛】熟練掌握集合問題的計算方法是解答此題的關鍵。
9．24
【分析】用兩條彩帶的長度和減去接頭處用去彩帶長度，求出連接后的彩帶長度。
【詳解】18＋8－2＝24（分米）
連接后的彩帶長24分米。
10．15
【分析】當兩部分有重復時，從和中減去重復的部分，就是原來的總數。因此用8加8后，再減1 ，即可計算出這一排的總人數，依此解答。
【詳解】8＋8－1
＝16－1
＝15（人）
這一排一共有15個小朋友。
【點睛】熟練掌握集合問題的計算方法，是解答此題的關鍵。
11．
【分析】略
【詳解】略
12． 11 38
【分析】用音樂得優的32人減去音樂美術都得優的21人，就是只有音樂得優的人數；用美術得優的27人減去音樂美術都得優的21人，就是只有美術得優的人數；全班人數＝只有音樂得優的人數＋只有美術得優的人數＋音樂美術都得優的人數。
【詳解】32－21＝11（人）
27－21＝6（人）
11＋6＋21
＝17＋21
＝38（人）
只有音樂得優的有11人，這個班一共38人。
【點睛】本題考查了集合問題，關鍵是理解21人是音樂和美術都得優的學生的重疊部分。
13．10
【分析】根據題意可知，會唱歌的人數加會跳舞的人數減去三（1）班參加歌舞興趣小組的人數，即等于既會唱歌又會跳舞的人數，據此即可解答。
【詳解】18＋20－28
＝38－28
＝10（人）
既會唱歌又會跳舞的有10人。
14．140
【分析】兩塊木板排成1條線后，因為中間重疊部分是30厘米，要求這塊釘在一起的木板長度，就要再減去30厘米。依此解答問題即可。
【詳解】90＋80－30
＝170－30
＝140（厘米）
【點睛】如果求這塊釘在一起的木板長度，就要用“兩塊木板各自的長度和－重疊部分”計算。
15． 39 24 15 8
【分析】此圖分為三部分，分別是16人，8人，15人。16人是只喜歡籃球的人數，8人是既喜歡籃球又喜歡足球的人數，15人是只喜歡足球的人數。
把3部分人數相加就是一共調查的人數；喜歡籃球的包括兩部分：只喜歡籃球的人和既喜歡籃球又喜歡足球的人。
【詳解】16＋8＋15
＝24＋15
＝39（人）
16＋8＝24（人）
一共調查了（39）人；喜歡籃球的有（24）人；只喜歡足球的有（15）人；兩種球都喜歡的有（8）人。
【點睛】弄清圖中三部分的含義是解答此題的關鍵。
16．12
【分析】根據題意，數一數可知，三（1）班參加國畫小組的有9人；參加素描小組的有6人，既參加國畫小組又參加素描小組的有3人；用參加國畫小組的人數加上參加素描小組的人數，再減去既參加國畫小組又參加素描小組的3人，就是參加這兩個小組的總人數。
【詳解】9＋6－3＝12（人）
所以，參加這兩個小組的一共有12人。
【點睛】解答本題的依據為容斥原理之一：既是A類又是B類的元素個數＝屬于A類元素個數＋屬于B類元素個數－A類B類元素個數總和。
17．見詳解
【分析】此圖分為三部分：左邊表示只語文得優的人數，中間表示既語文得優又數學得優的人數，右邊表示只數學得優的人數。
語文得優的人數加數學得優的人數減語文、數學測試得優的一共人數就是既語文得優又數學得優的人數。
【詳解】13＋12－19
＝25－19
＝6（人）
13－6＝7（人）
12－6＝6（人）
【點睛】弄清圖中三部分的含義是解答此題的關鍵。
18．24
【分析】根據題意可知，用有大貨資格的司機人數加上有大客資格的司機人數，再減去兩種資格都有的人數，即可求出有大貨或大客資格的司機總人數。
【詳解】16＋13－5
＝29－5
＝24（人）
則這個群里有大貨或大客資格的司機共有24人。
【點睛】在解決重疊問題時，用各部分的總和減去重疊部分，即可求出實際總量。
19．×
【解析】略
20．√
【分析】由不在同一直線上的四條線段依次首尾相接圍成的封閉的平面圖形叫四邊形。它有四條線段，所以有四條邊，四條邊首尾相接，也組成了四個角；據此解答即可。
【詳解】根據四邊形的定義可知，長方形、正方形、平行四邊形均有四個角，四條邊，所以判斷正確。
【點睛】熟練掌握四邊形的特點是解答本題的關鍵。
21．√
【分析】先用總人數減去兩種棋都不會的人數即為會一種及以上的人數，再用會下圍棋的人數加上會下軍棋的人數，最后減去會一種及以上的人數即為兩種棋都會的人數，據此解答即可。21教育名師原創作品
【詳解】36－10＝26（人）
16＋14－26
＝30－26
＝4（人）
兩種棋都會的有4人。原題說法正確。
故答案為：√
22．×
【分析】由題意可知，小麗是從前面數是第25人，從后面數是第8人，而兩者相加，小麗正好被多加了一次，應減掉1，所以小麗所在的隊一共有：25＋8－1＝32（人）。
【詳解】25＋8－1
＝33－1
＝32（人）
所以原題的說法錯誤。
故答案為：×
【點睛】這是一個簡單的排隊問題，關鍵是要分清前后的人數包括還是不包括作為參照的那個人。
23．×
【分析】張爺爺的菜園里種了5種蔬菜，李伯伯的菜園里種了5種蔬菜，其中重復的有豆角、黃瓜、西紅柿3種，先用5加5求出兩個人種的種類數的和，然后再減去重復計算的種類數3即可。21cnjy.com
【詳解】5＋5－3
＝10－3
＝7（種）
張爺爺和李伯伯一共種了7種蔬菜，所以題目說法錯誤。
故答案為：×
【點睛】此題考查利用容斥原理解決實際問題的靈活應用，可以借助圖形解決問題。
24．38人
【分析】先求出參加武術社團和合唱社團的人數，再減去兩種社團活動都參加的人數（即 重復計算的人數），就是參加這兩種社團活動的人數。2-1-c-n-j-y
【詳解】
（人）
答：參加這兩種社團活動的有38人。
【點睛】計算這種求總數的問題時，可以借助畫圖的方法分析出總數有哪幾部分組成，再進行計算。
25．19人
【解析】略
26．34人
【分析】根據題意可知，坐碰碰車的人數＋玩旋轉木馬的人數－兩樣都玩的人數＝去，游樂園的總人數，依此列式并計算。【來源：21cnj*y.co*m】
【詳解】18＋22－6
＝40－6
＝34（人）
答：去游樂園的同學有34人。
【點睛】熟練掌握集合問題的計算是解答此題的關鍵。
27．19名
【分析】兩種棋都不會的有8名，那么會下象棋或圍棋的有32人，而會下象棋的25人加上會下圍棋的13人，結果是38人，多出來的6人是既會下象棋又會下圍棋的人，從會下象棋的25人中減去既會下象棋又會下圍棋的人，得到只會下象棋的人數。
【詳解】（名）
（名）
（名）
答：只會下象棋的同學有19名。
【點睛】本題考查的是重疊問題，可以先畫出韋恩圖，表示出每部分的數量，然后再求解問題。
28．53人
【分析】將參加舞蹈演出的人數加上參加合唱演出的人數，再減去既參加舞蹈演出又參加合唱演出的人數，得到參加舞蹈和合唱演出一共的人數；據此解答。
【詳解】27＋35－9＝53（人）
答：參加舞蹈和合唱演出的一共有53人。
【點睛】本題考查的是“集合問題”的計算方法。
29．6人
【分析】班級的總人數－兩種運動都不會的人數＝至少會打籃球和游泳其中一種運動的人數；
會打籃球的人數＋會游泳的人數－至少會其中一種運動的人數＝兩種運動都會的人數，依此列式并計算。
【詳解】42－10＝32（人）
21＋17－32
＝38－32
＝6（人）
答：兩種運動都會的有6人。
【點睛】熟練掌握集合問題的計算是解答此題的關鍵。
30．萍萍，
【詳解】
答：萍萍喝得多，多喝了一瓶可樂的．
31．8個
【分析】用小華寫出成語個數加上小林寫出成語個數，再減去他倆一共寫出成語個數，求出兩人寫出相同成語個數。21·cn·jy·com
【詳解】12＋20－24
＝32－24
＝8（個）
答：小華和小林寫的成語相同的有8個。
【點睛】本題考查集合問題，用各部分的總和減去實際總量，即可求出重疊部分。
考點清單
易錯易混點
專項練習
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