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第五章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義
1.會(huì)從數(shù)值逼近、幾何直觀感知、解析式抽象三個(gè)角度認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)的含義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義求簡單函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，能歸納出求導(dǎo)數(shù)的基本步驟；
2.通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)的幾何意義的抽象概括過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、以直代曲、極限思想，會(huì)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點(diǎn)處的切線方程；
3.通過問題的探究，培養(yǎng)觀察、分析、比較和歸納的能力，體會(huì)逼近、類比、用已知探究未知、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.
重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用.
難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何解釋及曲線的切線概念.
（一）復(fù)習(xí)導(dǎo)入
師生活動(dòng)：師生共同回顧總結(jié)，也可先請(qǐng)學(xué)生回答，后教師點(diǎn)評(píng)總結(jié).
復(fù)習(xí)回顧：上節(jié)課我們研究了兩類問題：一類來自物理學(xué)，涉及平均速度和瞬時(shí)速度；另一類問題來自幾何學(xué)，涉及割線斜率和切線斜率.具體如下：
情境 涉及問題 數(shù)學(xué)表達(dá)
情境1：跳水問題 運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度與起跳后的時(shí)間存在函數(shù)關(guān)系，時(shí)的瞬時(shí)速度. 平均速度 瞬時(shí)速度
情境2：拋物線的切線問題 求拋物線在點(diǎn)處切線的斜率. 割線斜率 切線斜率
雖然上面的問題涉及不同的領(lǐng)域，但從數(shù)學(xué)的角度思考，它們在過程與方法及結(jié)果的形式上存在如下共性：
過程與方法 結(jié)果的形式
1.用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)研究問題； 2.應(yīng)用了極限的思想； 3.用“平均變化率”逼近“瞬時(shí)變化率”. 1.結(jié)果都是一個(gè)確定的值； 2.具有一樣的表現(xiàn)形式.
本節(jié)課我們將用上述思想方法來研究更具有一般性的問題.
設(shè)計(jì)意圖：通過回顧上一節(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容及思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、概括能力，讓學(xué)生體會(huì)微積分的重要思想------用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)研究問題，體會(huì)極限思想，感受用“平均變化率”趨近“瞬時(shí)變化率”的研究方法，關(guān)注結(jié)果的一致性，都是一個(gè)確定的數(shù)值，為本節(jié)課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容和方法作鋪墊.
（二）探究新知
任務(wù)一：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的概念
探究：一般地,對(duì)于函數(shù)，你能用由“平均變化率”逼近“瞬時(shí)變化率”的思想方法來研究其在某點(diǎn)(如)處的瞬時(shí)變化率嗎？
師生活動(dòng)：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考.
思考1：類比前面探究問題的方法，為了研究函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率，可以先研究哪個(gè)范圍內(nèi)函數(shù)值的平均變化率？
答：選取自變量的一個(gè)變化量，研究自變量從變化到這個(gè)過程中函數(shù)值的平均變化率.
思考2：函數(shù)的自變量從變化到這個(gè)過程中，函數(shù)值的平均變化率如何表示？在處的瞬時(shí)變化率如何表示？
答：平均變化率：；
瞬時(shí)變化率：.
思考3：對(duì)于任意函數(shù)，當(dāng)無限趨近于時(shí)，平均變化率是否一定會(huì)無限趨近于一個(gè)確定的值呢？
答：不一定.如函數(shù)在處的平均變化率并不無限趨近于一個(gè)確定的值.
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生研究函數(shù)在附近的變化情況，學(xué)生思考、討論、交流.然后師生共同總結(jié)，形成導(dǎo)數(shù)的概念.
總結(jié)：
(1)對(duì)于函數(shù)，設(shè)自變量從變化到，相應(yīng)地，函數(shù)值就從變化到.這時(shí)，的變化量為，的變化量為.我們把比值，即叫做函數(shù)從變化到的平均變化率.
(2)如果當(dāng)時(shí)，平均變化率無限趨近于一個(gè)確定的值，即有極限，則稱在處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做在處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時(shí)變化率)，記作或，即 .
設(shè)計(jì)意圖：利用由“平均變化率”逼近“瞬時(shí)變化率”的思想方法，結(jié)合具體案例的共性歸納、概括出導(dǎo)數(shù)的概念，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).通過反例，讓學(xué)生理解并非任意函數(shù)在定義域內(nèi)任意一點(diǎn)處都可導(dǎo)，加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解.
做一做：設(shè)，你能利用導(dǎo)數(shù)的定義求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)嗎？
師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試獨(dú)自完成解答，教師出示計(jì)算過程，強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)計(jì)算的步驟，提醒學(xué)生體會(huì)導(dǎo)數(shù)的概念.
解：.
思考1：對(duì)于函數(shù)，你能求嗎？
答：.
思考2：你能總結(jié)出求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的步驟嗎？
師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試，后師生共同總結(jié).
總結(jié)：求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的一般步驟：
第一步：寫出函數(shù)從變化到的平均變化率并化簡；
第二步：求，若存在，則導(dǎo)數(shù) .
設(shè)計(jì)意圖：通過問題的解答，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷并總結(jié)用定義法求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的步驟，使學(xué)生體會(huì)特殊點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與一般點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的異同點(diǎn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)導(dǎo)函數(shù)作準(zhǔn)備.
做一做：將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，已知在第時(shí)，原油的溫度單位：為．計(jì)算第與第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義．
師生活動(dòng)：教師示范計(jì)算第時(shí)原油溫度的瞬時(shí)變化率，在此基礎(chǔ)上，由學(xué)生自行求出第時(shí)原油溫度的瞬時(shí)變化率.
解：在第時(shí)原油溫度的瞬時(shí)變化率就是.
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，
所以， .
同理，.
即在第與第時(shí)原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為與．
思考：你能說出第與第時(shí)原油溫度的瞬時(shí)變化率的意義嗎？
答：在第與第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為與．
說明在第附近，原油溫度大約以的速率下降；
在第附近，原油溫度大約以的速率上升．
總結(jié)：一般地，反映了原油溫度在時(shí)刻附近的變化情況.
設(shè)計(jì)意圖：通過求解實(shí)際問題中的瞬時(shí)變化率，使學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵和意義，進(jìn)一步熟悉根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的過程和步驟.
任務(wù)二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
探究：導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率，反映了函數(shù)在附近的變化情況.那么導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？
師生活動(dòng)：教師出示圖象，并提出問題，學(xué)生觀察后回答.
思考1：觀察函數(shù)的圖象(如圖)，它的平均變化率表示什么？
答：平均變化率表示割線的斜率.
總結(jié)：一般曲線在點(diǎn)處切線的定義
如圖，在曲線上任取一點(diǎn)，如果當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限趨近于點(diǎn)時(shí)，割線無限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線稱為曲線在點(diǎn)處的切線.
思考2：曲線上兩點(diǎn)，，當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限趨近于點(diǎn)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，割線無限趨近于點(diǎn)處的切線，那么當(dāng)時(shí)，割線的斜率無限趨近于什么？它與導(dǎo)數(shù)又有什么關(guān)系呢？
答：當(dāng)時(shí)，割線的斜率無限趨近于切線的斜率.
，，.
思考3：瞬時(shí)變化率表示什么？
答：瞬時(shí)變化率表示切線的斜率.
思考4：你能總結(jié)導(dǎo)數(shù)的幾何意義嗎？
答：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，即，這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
設(shè)計(jì)意圖：通過從平均變化率的幾何意義入手，利用圖形直觀探索導(dǎo)數(shù)的幾何意義，讓學(xué)生在獲得直觀感知的基礎(chǔ)上，通過合作探索，再次親身經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程，研究一般曲線在某點(diǎn)處的切線的定義，以及該點(diǎn)處的切線斜率與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，抽象出導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
任務(wù)三 探究“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想
師生活動(dòng)：教師用幾何畫板演示“割線逼近切線”的過程，學(xué)生觀察、思考.
探究1：觀察上圖，點(diǎn)處哪條直線最接近點(diǎn)附近的曲線？若將圖象放大，你能否發(fā)現(xiàn)點(diǎn)處切線與曲線的位置關(guān)系？
答：觀察上圖：可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)處的切線比任何一條割線更貼近點(diǎn)附近的曲線.如果將點(diǎn)附近的曲線不斷放大，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)附近的曲線越來越接近于直線.因此,在點(diǎn)附近，曲線可以用點(diǎn)處的切線近似代替.
設(shè)計(jì)意圖：通過動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生直觀感受和體會(huì)微積分中“逼近”、“以直代曲”的重要數(shù)學(xué)思想..
探究2：如圖是跳水運(yùn)動(dòng)中某運(yùn)動(dòng)員的重心相對(duì)于水面高度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖象.根據(jù)圖象，請(qǐng)描述、比較曲線在，附近的變化情況.
思考1：如何描述在，附近的變化情況？
師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生思考、交流、討論.
答：可以近似地由曲線在相應(yīng)三點(diǎn)處的切線變化情況來描述.
師生活動(dòng)：教師要求學(xué)生動(dòng)手畫出曲線在，處的切線，師生共同研究，得出結(jié)論后教師展示完整解答過程.
解：我們用曲線在，，處的切線斜率，刻畫曲線在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況．
當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線平行于軸，這時(shí)，在附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降．
當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線的斜率這時(shí)，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線的斜率這時(shí)，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近也單調(diào)遞減．
從圖中可以看出，直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度，這說明曲線在附近比在附近下降得緩慢．
思考2：曲線在處的切線的斜率，在處的切線的斜率，在這兩點(diǎn)處，曲線都是下降的，但下降的程度不一樣.你能通過比較與的大小，說明切線與切線的傾斜程度嗎？
答：導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大, 切線的傾斜程度越大.
總結(jié)：根據(jù)“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想，在局部范圍內(nèi)，可以用切線的上升、下降近似代替曲線的上升、下降，而切線的上升、下降可以用斜率來反映，從而可以用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即切線的斜率來描述曲線在某點(diǎn)附近的變化情況.
設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生獨(dú)立思考，實(shí)際參與經(jīng)歷利用導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的幾何意義來研究函數(shù)在某點(diǎn)附近的變化情況的過程，感受數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，體會(huì)“以直代曲”的重要思想方法.
任務(wù)四 導(dǎo)函數(shù)的定義
思考1：前面我們經(jīng)歷了求函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)的過程，想一想，當(dāng)變化時(shí)，所求得的導(dǎo)數(shù)是否滿足函數(shù)的定義？
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶以前學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念，并分析求函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)的過程，進(jìn)而抽象出導(dǎo)函數(shù)的定義.
答：從求函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)的過程可以看到，當(dāng)時(shí)，是一個(gè)唯一確定的數(shù).這樣，當(dāng)變化時(shí)，就是的函數(shù)，我們稱它為的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)).的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作，即.
思考2：導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)有什么區(qū)別與聯(lián)系？
答：區(qū)別：是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，是對(duì)一個(gè)區(qū)間而言的，它是一個(gè)確定的函數(shù)，依賴于函數(shù)本身，而與，無關(guān)；表示的是函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，是對(duì)一個(gè)點(diǎn)而言的，它是一個(gè)確定的數(shù)，與給定的函數(shù)及的位置有關(guān)，而與無關(guān).
聯(lián)系：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，可以先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算導(dǎo)函數(shù)在這點(diǎn)的函數(shù)值.
設(shè)計(jì)意圖：通過求導(dǎo)的過程，結(jié)合函數(shù)的定義，給出導(dǎo)函數(shù)的概念.對(duì)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行辨析，加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng).
（三）應(yīng)用舉例
例1：一輛汽車在公路上沿直線變速行駛，假設(shè)時(shí)汽車的速度單位：為，求汽車在第與第時(shí)的瞬時(shí)加速度，并說明它們的意義．
分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可得，化簡，分別代入或，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，瞬時(shí)加速度是速度關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率因此，在第與第時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度分別為，．
解：在第和第時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度就是和根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，
，
所以．
同理可得．
在第與第時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度分別是與說明在第附近，汽車的速度每秒大約增加；在第附近，汽車的速度每秒大約減少．
例2：下圖是人體血管中藥物濃度單位：隨時(shí)間單位：變化的函數(shù)圖象根據(jù)圖象，估計(jì)，，，時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率精確到．
師生活動(dòng)：教師出示例題，學(xué)生小組合作，利用網(wǎng)格估計(jì)，，，時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率.
解：血管中某一時(shí)刻藥物濃度的瞬時(shí)變化率，就是藥物濃度在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)，
從圖象上看，它表示曲線在此點(diǎn)處的切線的斜率．
如上圖，畫出曲線上某點(diǎn)處的切線，利用網(wǎng)格估計(jì)這條切線的斜率，可以得到此時(shí)刻藥物濃度瞬時(shí)變化率的近似值．
作處的切線，并在切線上取兩點(diǎn)，如，，
則該切線的斜率，
所以．
下表給出了藥物濃度的瞬時(shí)變化率的估計(jì)值．
藥物濃度的瞬時(shí)變化率
設(shè)計(jì)意圖：通過例題的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與意義，學(xué)生根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的過程及利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題.
（四）課堂練習(xí)
1.為了響應(yīng)國家節(jié)能減排的號(hào)召，甲乙兩個(gè)工廠進(jìn)行了污水排放治理，已知某月兩廠污水的排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示，下列說法正確的是( )
A. 該月內(nèi)，甲乙兩廠中甲廠污水排放量減少得更多
B. 該月內(nèi)，甲廠污水排放量減少的速度是先慢后快
C. 在接近時(shí)，甲乙兩廠中乙廠污水排放量減少得更快
D. 該月內(nèi)存在某一時(shí)刻，甲乙兩廠污水排放量減少的速度相同
【答案】D
解：選項(xiàng)A，設(shè)，
設(shè)甲工廠的污水排放量減少為，乙工廠的污水排放量減少為，
結(jié)合圖象可知：，
所以該月內(nèi)乙工廠的污水排放量減少得更多，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，作出如圖所示表示甲廠曲線的條切線 ，
根據(jù)三條切線的傾斜程度可知，
該月內(nèi)，甲廠污水排放量減少的速度并非先慢后快，
從圖象的變化也可以看出，甲廠污水排放量減少的速度先快再慢后快，故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C，設(shè)為接近的時(shí)刻且，
從時(shí)刻到時(shí)刻，污水排放量的平均變化率，
由導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義可知，
在接近時(shí)，污水排放量減少快慢，
可以用在處切線斜率的大小比較近似代替．
設(shè)甲工廠在處切線的斜率為，乙工廠在處切線的斜率為，
結(jié)合圖象可知，
所以在接近時(shí)，甲工廠的污水排放量減少得更快，故 C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D，如圖，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，存在時(shí)刻，兩曲線切線的斜率相等，
即甲乙兩廠污水排放量的瞬時(shí)變化率相同，
所以該月內(nèi)存在某一時(shí)刻，甲乙兩廠污水排放量減少的速度相同，故D正確．
故選：．

2.設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，
．
故選：．
3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：由題意可得：．
故選：．
4.設(shè)函數(shù)在附近有定義，且，，，為常數(shù)，則( )
A. B. C. D.
【答案】D
解：由題意可得．
故選D．
設(shè)計(jì)意圖：通過課堂練習(xí)，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)本節(jié)所學(xué)內(nèi)容的掌握情況.
（五）歸納總結(jié)
回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你都學(xué)到了什么？
設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).

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