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第五章 一元函數的導數及其應用
5.1.1 變化率問題
1.經歷用平均速度“逼近”瞬時速度和用拋物線的割線“逼近”切線的過程，培養觀察、歸納、類比、猜想、驗證的能力.通過問題的探究，體會逼近、類比、以已知探究未知、從特殊到一般的數學思想方法；
2.理解瞬時速度的本質是平均速度的極限值、拋物線的切線斜率是割線斜率的極限值，初步體會極限的思想與內涵；
3.通過求跳水運動員在具體時刻的瞬時速度，體會求瞬時速度的一般方法；
4.會求拋物線在某點處的切線的斜率.
重點：瞬時速度和切線的斜率的概念.
難點：在求瞬時速度和切線的斜率的過程中體會極限思想.
（一）創設情境
情境一：請同學們欣賞一段視頻，這是我國運動員全紅嬋在2024年巴黎奧運會10米臺跳水奪冠的精彩瞬間，看后你的感受是什么？
師生活動：學生作出感性認知，如動作優美，水花小等回答后，教師繼續闡述.
偉大的英國物理學家牛頓他思考的是運動員的運動變化規律之美！偉大的德國數學家萊布尼茨觀察到的是身體劃過的曲線之美！他們都是微積分的締造者.
牛頓：運動之美 萊布尼茨：曲線之美
微積分是17世紀數學史上最重大的研究成果，它改變了物理和數學的發展，微積分分為微分學和積分學，本節課我們跟隨兩個科學家的腳步，探索微分中最重要的內容, 導數的探索之旅吧！
情境二：在一次跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度(單位:)與起跳后的時間(單位:)存在函數關系.如何描述運動員從起跳到入水的過程中運動的快慢程度呢？
師生活動：教師提出問題，并引導學生用每段時間內的平均速度近似描述運動員的運動狀態.
思考1：什么是平均速度？
答：平均速度是一個描述物體運動平均快慢程度和運動方向的矢量，它粗略地表示物體在一段時間內的運動情況.
思考2：你能利用計算工具計算在和這兩個時間段的平均速度，并描述運動員的運動狀態嗎？
答：在這段時間里，；
在這段時間里，.
綜上，當時，運動員以的平均速度向上運動；
當時，運動員以的平均速度向下運動.
歸納：一般地，在這段時間里，
思考3：計算運動員在這段時間里的平均速度，發現了什么？用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎？
答：運動員在這段時間里的平均速度為.顯然，在這段時間內，運動員并不處于靜止狀態.因此，用平均速度不能準確反映運動員在這一時間段里的運動狀態.
總結：用平均速度刻畫運動員的運動狀態稍顯粗糙，為了精確刻畫運動員的運動狀態，需要引入瞬時速度的概念.
瞬時速度：把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.
設計意圖：通過對跳水運動員的速度這一具體問題的分析，引導學生認識到平均速度描述運動狀態的局限性，從而感受到引入瞬時速度這一新的概念來描述物體的運動狀態的必要性.
（二）探究新知
任務一：探究瞬時速度與平均速度的關系
探究：瞬時速度與平均速度有什么關系？你能利用這種關系求運動員在時的瞬時速度嗎？
師生活動：教師提出問題，引導學生認識瞬時速度與平均速度的關系，從而確定探究的方向.
答：瞬時速度與平均速度的關系：
設運動員在時刻附近某一時間段內的平均速度是，可以想象，如果不斷縮短這一時間段的長度，那么將越來越趨近于運動員在時刻的瞬時速度.
為了求運動員在時的瞬時速度，我們在之后或之前，任意取一個時刻，是時間改變量，可以是正值，也可以是負值，但不為.當時，在之后；當時，在之前.當時，把運動員在時間段內近似看成做勻速直線運動，計算時間段內的平均速度，用平均速度近似表示運動員在時的瞬時速度.當時，在時間段內可作類似處理.
思考1：你能利用函數關系式計算運動員在和之間的平均速度嗎？
答：當時，在時間段內，
當時，在時間段內，
為了提高近似表示的精確度，我們不斷縮短時間間隔，得到如下表格.
當時，在時間段內 當時，在時間段內
師生活動：教師讓學生觀察表格，并找幾名同學說出通過觀察發現的結論.教師點評后總結出結論：隨著時間間隔不斷地變小，平均速度越來越接近常數.
思考2：給出更多的值，利用計算工具計算對應的平均速度的值.當無限趨近于時，平均速度 有什么變化趨勢？
答：當無限趨近于，即無論從小于的一邊，還是從大于的一邊無限趨近于時，平均速度都無限趨近于
事實上，由可以發現，當無限趨近于時，也無限趨近于，所以無限趨近于.這與前面得到的結論一致.
數學中,我們把叫做“當無限趨近于時，的極限”，記為
.
從物理的角度看，當時間間隔無限趨近于時，平均速度就無限趨近于時的瞬時速度.
結論：運動員在時的瞬時速度.
設計意圖：通過對運動員在時的瞬時速度的思考分析，讓學生經歷用平均速度“逼近”瞬時速度的過程，理解瞬時速度就是平均速度的極限，感受其中蘊含的極限思想.
思考3：(1)求運動員在 s時的瞬時速度；
(2)如何求運動員從起跳到入水過程中在某一時刻的瞬時速度？
答：(1)當時，由可以發現，當無限趨近于時，也無限趨近于，所以無限趨近于.所以運動員在 s時的瞬時速度為 .
(2)由可以發現，當無限趨近于時，也無限趨近于，所以無限趨近于.所以運動員在 s時的瞬時速度為 .
師生活動：教師引導學生總結求運動物體瞬時速度的一般步驟.
總結：設非勻速直線運動中物體的位移隨時間變化的函數為，則求物體在時的瞬時速度的步驟如下：
①寫出時間改變量，位移改變量，
②求平均速度，，
③求瞬時速度，當時，，是常數.
設計意圖：將求某一具體時刻瞬時速度的方法推廣到求一般時刻的瞬時速度，引導學生總結求運動物體瞬時速度的步驟，使學生體會從特殊到一般地數學思想方法，并為概括瞬時變化率的概念作鋪墊.
任務二 探究割線斜率與切線斜率
思考：我們以前學習的圓的切線是如何定義的？對于一般的曲線，如何定義它的切線？
師生活動：教師提出問題，并找一名學生回答.
答：圓的切線的定義：如果一條直線與一個圓只有一個公共點，那么這條直線與這個圓相切，這條直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點.
思考：對于我們學習的拋物線，能否像定義圓的切線那樣定義拋物線的切線？即如果一條直線與一個拋物線只有一個公共點，那么這條直線與這個拋物線相切，這條直線叫做拋物線的切線.這樣定義拋物線的切線對嗎？
答：不對.因為和拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線都只有一個公共點，但這些直線與拋物線是相交的.
探究：如何定義拋物線在點處的切線？
類比研究瞬時速度的方法進行研究，在點的附近任取一點，考察拋物線的割線的變化情況.
師生活動：教師利用信息技術工具或手繪分解圖，展示圖中的動態變化趨勢，引導學生觀察圖象并思考.
思考1：如圖，當點沿著拋物線趨近于點時,割線有什么變化趨勢
答：當點無限趨近于點時,割線無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線稱為拋物線在點處的切線.
思考2：斜率是確定直線的一個要素.如何求拋物線在點處的切線的斜率呢？
答：從上述切線的定義可見，拋物線在點處的切線的斜率與割線的斜率有內在聯系.記則點的坐標是.于是,割線的斜率.
可以用割線的斜率近似地表示切線的斜率，并且可以通過不斷縮短橫坐標間隔來提高近似表示的精確度，得到如下表格.
利用計算工具計算更多割線的斜率的值，可以發現，當無限趨近于時，即無論從小于 的一邊，還是從大于的一邊無限趨近于時，割線的斜率都無限趨近于.
事實上，由可以直接看出，當無限趨近于時，無限趨近于.
我們把上述的叫做“當無限趨近于時，的極限”，記為
.
從幾何圖形上看，當橫坐標間隔無限變小時，點無限趨近于點，于是割線無限趨近于點處的切線.這時，割線的斜率無限趨近于點處的切線的斜率.因此，切線的斜率.
師生活動：根據上述分析，教師引導學生總結拋物線切、割線的斜率的意義及求法.
總結：(1)一般地，對于，記作，即：，表示過兩點，的曲線割線的斜率，又稱為函數在區間上的平均變化率；
(2)表示曲線在點處的切線的斜率，又稱為函數在處的瞬時變化率；
(3)對變化率和極限的理解：
(4)求曲線在點處切線斜率的一般步驟：
①求變化量：；
②計算比值：；
③取極限，得切線斜率：.
設計意圖：通過從運動的角度和幾何角度得到了平均速度、瞬時速度、割線斜率和切線斜率四個概念，從中抽象出了函數的平均變化率、瞬時變化率的概念，培養了學生運用運動變化的觀點和逼近的極限思想的核心素養，同時也體現了數形結合、化歸與轉化的數學思想.
（三）應用舉例
例1：已知函數的圖象上一點及鄰近一點求：
割線的斜率；
函數的圖象上點處切線的斜率及切線方程．
分析：根據平均變化率的定義，，化簡整理即可；
將中求出的平均變化率中的，即可得到函數的圖像圖象上處切線的斜率，再利用直線的點斜式方程，即可求出切線的方程.
解：(1)
所以，，
從而割線的斜率為．
(2)因為，從而在函數的圖象上處切線的斜率為．
所以由直線的點斜式方程，可得拋物線在切點處的切線方程為，即.
設計意圖：通過例題，鞏固直線方程和拋物線在某點處的切線的斜率及方程求法，為后續學習導數的幾何意義作準備.
（四）課堂練習
1.午飯時間，同學從教室到食堂的路程與時間的函數關系如圖，記時刻的瞬時速度為，區間上的平均速度分別為，則下列判斷正確的有( )
A.
B.
C. 對于，存在，使得
D. 整個過程小明行走的速度一直在加快
【答案】AC
解：由題意可知；，，，
由圖像圖象可知，，即，因此，，
所以，因此，此時，故 A正確；
由，故，故 B不正確；
由圖像圖象可知，直線與曲線的交點為，故存在，使得，即當時，，故 C正確；
時刻的瞬時速度為判斷平均速度的快慢，可以看整個曲線在各點處的切線方程的斜率，
由圖象可知，當時，切線方程的斜率最大，
故而在此時，速度最快，故D不正確．
故選：．
2.一物體的運動方程為，且在時的瞬時速率為，則 ．
【答案】
解：因為，
所以，
令，可得．
故答案為：
3.已知函數．
求當，且時，函數值的增量和平均變化率；
求當，且時，函數值的增量和平均變化率；
若設，分析中的平均變化率的幾何意義．
解：
當，且時，，
所以平均變化率．
當，且時，
由得，
所以平均變化率．
在中，，它表示曲線上兩點與所在直線的斜率；
在中，，它表示曲線上兩點與所在直線的斜率．
4.一個作直線運動的物體，其位移單位：與時間單位：的關系是求：
此物體在時間段內的平均速度
此物體在時間段內的平均速度
此物體在時的瞬時速度．
解：，根據平均速度的定義，可得；
同理，根據平均速度的定義，
可得
在內，；
由第題得，當時，，
即該物體在時間時的瞬時速度．
設計意圖：通過課堂練習，檢驗學生對本節所學內容的掌握情況.
（五）歸納總結
回顧本節課的內容，你都學到了什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.

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