資源簡介

第四章 數列
4.4數學歸納法 第1課時
歸納法原理
1.了解數學歸納法原理，會用數學歸納法原理證明一些簡單的與正整數有關的命題;
2.通過對多米諾骨牌全部倒下的條件的類比和遷移，歸納得到數學數學歸納法的兩個步驟,提高學生數學表達能力和推理論證能力;
3.體會從特殊到一般、無窮到有限的辯證思維過程，發展數學抽象素養.
重點：1.理解數學歸納法的原理；
2.理解數學歸納法中n和n+1的關系.
難點：1.理解構建遞推關系；
2.讓學生理解用數學歸納法證明數學命題的原理.
（一）創設情境
不完全歸納：從一個幾個（但不是全部）特殊情況作出一般性結論的歸納推理。這種歸納是以有限數量的事實作為基礎而得出的一般性結論.受限于樣本的數量，結論不具有必然性、普遍性、可靠性.
那么，如何解決不完全歸納法存在的問題呢？
師生活動：教師展示不同的動漫形象，提出問題，引導學生推理第四個形象的名字，從而引入不完全歸納法的定義，并提出不完全歸納法存在的問題.
設計意圖：通過直觀觀察，結合身邊的事物引出數學知識，學生會感到親切、生動、真實、易于接受. 同時，能使他們體會到生活中處處有數學，數學就在我們身邊，我們生活在充滿數學信息的現實世界中. 能促進學生會用數學的眼光去觀察和認識周圍的事物，有效的促進知識的遷移.
（二）探究新知
任務1：探究“骨牌原理”
探究：已知數列滿足，，計算，，，猜想其通項公式，并證明你的猜想.
思考1：如何證明這個猜想呢？
答：我們自然會想到從n=5開始一個個往下驗證.
思考2：一般來說，與正整數n有關的命題，當n比較小時可以逐個驗證，但當n比較大時，驗證起來會很麻煩.特別是證明n所取的所有正整數都成立的命題時，逐一驗證是不可能的.那么，能否通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數時命題都成立？
播放多米諾骨牌視頻.
思考3：在這個游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？
答：（1）第一塊骨牌倒下；
任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導致后一塊骨牌倒下.
思考4：你認為條件(2)的作用是什么 如何用數學語言描述它
答：條件（2）給出了遞推關系：
師生活動：小組內交流，并匯報展示.
設計意圖：通過多米諾骨牌游戲，尋找和構建遞推關系.
任務2：類比多米諾“骨牌原理”，探究數學歸納法.
思考5：你認為證明前面的猜想“數列的通項公式是”與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？
由及遞推關系；
由及遞推關系；
由及遞推關系；
......
遞推關系：
命題：當n=k時猜想成立，則n=k+1時猜想也成立.
如果n=k時猜想成立，即，那么
即當n=k+1時，猜想也成立.
“骨牌原理”與“猜想的證明步驟”對比分析
骨牌原理 猜想的證明步驟
①第一塊骨牌已經倒下 ①證明n=1時，的猜想正確
②證明“若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒下”這句話是真實的 ②證明“如果n=k時猜想正確，即，那么n=k+1時，猜想也正確”即
③根據①②所有的骨牌都倒下 ③根據①②，這個猜想對一切正整數n都成立
探究：請根據“骨牌原理”與“猜想的證明步驟”對比分析構建數學歸納法的結構框圖：
思考6：數學歸納法的第一步的初始值是否一定為1？
答：不一定.如證明n邊形的內角和為（n-2）·180°，第一個值.
思考7：數學歸納法中的兩個步驟之間有什么關系
答：記是一個關于正整數n的命題.
條件：
為真；
若為真，則也為真
真，真......真，真.......
結論：為真.
設計意圖：通過類比骨牌原理，得出數學歸納法的證明步驟，將無限個步驟轉化為有限個步驟，培養學生類比思想，便于理解和解釋復雜的概念和現象．
（三）應用舉例
例1 用數學歸納法證明：如果是一個公差為d的等差數列，那么
對任何都成立.
分析：
第一步：證明n=1時命題成立；
第二步：明確證明目標：如果n=k時，①式是正確的，那么n=k+1時①式也是正確的.
證明：（1）當n=1時，左邊=，右邊=，①式成立.
（2）假設當時，①式成立，即
，
根據等差數列的定義，有
，
于是
即當n=k+1時，①式也成立.
由（1）（2）可知，①式對任何都成立.
【總結】
口訣：遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉.
用數學歸納法證明命題時，應關注以下三點：
弄清n取第一個值時等式兩端項的情況；
弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項，減少了哪些項；
證明n=k+1時結論也成立，要設法將待證式與歸納假設建立聯系，并朝n=k+1證明目標的表達式變形.
例2：已知數列滿足，．
求；
猜想的通項公式并用數學歸納法證明．
試題ID:4b76c2bc-507a-4826-8f35-385f89e037ea
解：，
，
，
，
．
猜想；
證明：當時，猜想成立，
假設當時命題成立，即，
那么當時，
有
，
所以當時命題也成立，
由得，對任意正整數均有．
【總結】
①根據遞推式依次計算，，，；
②由歸納推理得出數列的通項公式；
③先驗證時情況，假設時猜想成立，證明時結論正確．
設計意圖：通過例題，熟悉數學歸納法的運用.
（四）課堂練習
1.在用數學歸納法證明等式成立時，第一步要驗證成立的等式是 ( )
A. B.
C. D.
試題ID: bfb39c4b-a540-4b8d-9bcc-af0509a32995
解：原等式右邊有項，當時，右邊有項，
故選D．
2.用數學歸納法證明“”時，從“到”時，左邊應增添的式子是( )
A. B. C. D.
試題ID: 84bf792a-c241-45ba-a462-c09d53826ec0
解：用數學歸納法證明時，
從到時左邊需增乘的代數式是．
故選：．
3.用數學歸納法證明不等式成立，起始值至少應取為 ．
試題ID: e6bf7fa8-9e90-4d10-a7a0-96a8d1a7443e
解： ，
即，
解得，即，
起始值至少應取．
故答案為．
已知，用數學歸納法證明時，比多了 項．
試題ID: 84679203-7492-4384-b932-6c0827bedbc1
解：因為，，
所以，
所以比多了項
故答案為：．
5.記數列的前項和為，，且當時，．
分別計算，，，，并由此猜想的表達式；
用數學歸納法證明你的猜想．
試題ID: ccb1630d-3b38-43de-ac4d-e461283af309
解：當時，，
所以，
同理可得，
因為，
所以猜想；
證明：當時，，猜想成立；
假設當時，猜想成立，，
，
即，
所以當時，也成立，
根據，可以斷定，對任何正整數都成立．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固數學歸納法，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
回顧本節課的內容，你都學到了什么？第四章 數列
4.4數學歸納法
第2課時
1.能用數學歸納法證明數列中的一些簡單命題.
2.讓學生熟悉用數學歸納法證明數學命題的基本過程和表述規范.
3.通過用數學歸納法證明一個數學命題，使學生學會數學演繹證明的方法，理解將無限問題轉化為有限問題的化歸思想，培養數學探究的意識.
重點：進一步理解數學歸納法中n和n+1的關系；能用數學歸納法證明數列中的一些簡單命題.
難點：用n=k時的假設推導n=k+1時的命題
（一）創設情境
回顧：
數學歸納法
一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：
（1）（歸納奠基）證明當（∈N ）時命題成立；
（2）（歸納遞推）以“當n＝k（k∈N ，k≥）時命題成立”為條件，
推出“當n＝k+1時命題也成立”.
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數n都成立，這種證明方法稱為數學歸納法.
用途：數學歸納法用于解決關于正整數的猜想與命題.
師生活動:學生作答，師生共同回顧、鞏固相關內容.
設計意圖：本節課的主要內容是數學歸納法的應用，其目的是讓學生熟悉數學歸納法的兩個步驟，深刻理解數學原理的本質，不斷積累使用數學歸納法解決數學問題的經驗，領悟數學歸納法的思想方法.
（二）探究新知
任務1：探索數學歸納法的應用
思考：什么時候需要應用數學歸納法？
數學歸納法一般被用于證明某些與無限多個正整數n有關的命題.
證明對任意的正整數n，等式恒成立,不必應用數學歸納法.
證明的單調性,難以應用數學歸納法.
探究：下面這道題在應用數學歸納法證明的過程中，有沒有錯誤？
用數學歸納法證明：如果{}是一個公差為d的等差數列，那么
① 對任何都成立.
證明：假設當n=k()時，①式成立，即，
則當n=k+1時，有,
所以當n=k+1時等式也成立.
由此得出，對任何，等式都成立.
答案：有錯誤.
思考：這道題需要證明n=1的情況嗎？
需要，當n=1時，左邊=，右邊=+0×d=，①式成立.
上述證法如果加上證明n=1的情況，還有錯誤嗎？
證明 n=k+1也成立的時候有錯誤.
如何修改上述證法？
假設當n=k 時該式成立，當成已知條件.比較一下已知條件和要證明的式子，進行化簡即可. 說明n=k時該式成立能推出n=k+1時該式也成立，加之k的任意性，可知：對任何，等式都成立.
正確的證明過程如下：
證明：（1）當n＝1時，左邊=，右邊=+0×d=，①式成立.
（2）假設當n＝k（）時，①式成立，即，
根據等差數列的定義，有，
于是
即當n＝k+1時，①式也成立.
由（1）（2）可知，①式對任何都成立.
思考：怎樣正確地使用數學歸納法？
不能缺少第一步的驗證；
第二步要證命題“若P(k)（，k≥）為真, 則P(k＋1)也為真”.
用上假設，遞推才真!
（三）應用舉例
例1用數學歸納法證明：
分析：用數學歸納法證明時，第二步要證明的是一個以“當n=k時，①式成立”為條件，得出“當n=k+1時，①式也成立”的命題，證明時必須用上述條件.
證明：(1)當n＝1時，①式的左邊=12 =1，
右邊＝=1 ，等式成立．
(2)假設n＝k時,①式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＝，
那么，當n＝k＋1時，有
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＝＋(k＋1)2
＝＝
＝＝
所以當n＝k＋1時，①式成立．
根據(1)(2)可知，①式對任何n∈N*，等式都成立．
師生活動： 學生獨立思考并書寫證明過程，然后教師在全班展示部分學生的證明過程，同學進行點評.在展示交流過程中，教師引導學生重點關注：
（1）證明過程中，兩個步驟是否清晰；
（2）在第二步用歸納遞推證明時命題成立時，是否用到了時成立這一條件；
（3）是否標注了的取值范圍.
設計意圖：這是一個證明恒等式的問題，使學生進一步熟悉用數學歸納法證明數學命題的基本過程和表述規范.
總結：
用數學歸納法證明恒等式、不等式時,應關注以下三點:
(1)弄清n取第一個值時等式兩端項的情況;
(2) 弄清從n=k到n=k+1等式、不等式兩端增加了哪些項,減少了哪些項;
(3) 證明n=k+1時結論也成立,要設法將待證式與歸納假設建立聯系,并朝n=k+1證明目標的表達式變形.
例2 已知數列滿足試猜想數列的通項公式，并用數學歸納法加以證明.
分析：先將數列{}的遞推關系 化為，通過計算的值，歸納共性并作出猜想，再應用數學歸納法證明猜想.
解：由，可得
由可得 .
同理可得
歸納上述結果，猜想 ②
下面用數學歸納法證明這個猜想.
（1）當n=1時， ②式的左邊，右邊, 猜想成立.
（2） 假設當時， ②式成立，即
那么
即當時，猜想也成立.
由（1）（2）可知，猜想對任何都成立.
師生活動：學生獨立思考、解答，并進行展示.同時，教師引導學生思考如下幾個問題：
（1）數列的遞推關系是什么？
（2）根據遞推關系，，，的值各是多少？
（3）根據，，的值猜想數列的的通項公式是什么？
（4）怎樣用數學歸納法證明所猜想的通項公式？
通過這幾個問題，把整個題目進行分解，引導學生逐步解決以上問題，最終達到解決問題的目的.
設計意圖：例2與第1課時中的探究問題十分相似，設計本題目的有二：一是讓學生進一步體會“先猜后證”的探究問題的方式，即觀察—歸納—猜想—證明；二是讓學生體會“遞推關系相同，而初始條件不同，則數列的通項公式不一定相同”，培養學生在學習中養成不斷總結和反思的習慣.
總結：“歸納——猜想——證明”的一般環節:
例3 設為實數，且，為大于1的正整數，若數列
的前項和為，試比較與的大小，并用數學歸納法證明你的結論.
分析：該問題中涉及兩個字母，x是大于-1且不等于零的實數，n 是大于1的正整數.
一種思路是不求和，而直接通過n取特殊值比較與nx的大小關系，并作出猜想；
另一種思路是先由等比數列的求和公式求出，再通過n取特殊值比較與nx的大小關系后作出猜想.兩種做法都必須用數學歸納法證明得到的猜想.
解法1：由已知可得
當時，,由，知可得；
當時，,由x>-1，且0，知，可得
由此，我們猜想，當，且n>1時，>nx.
下面用數學歸納法證明這個猜想.
（1） 當時，由上述過程知，不等式成立.
（2） 假設當2)時，不等式成立，即>kx，
則
①當時，因為,所以,所以
②當時，,且.又因為,所以，可得
綜合①②可得，當且時.
所以，當時，猜想也成立.
由（1）（2）可知，不等式>nx.對任何大于1的正整數n都成立.
解法2：因為，所以所給數列是等比數列，公比為，于是
當時，,由，知可得；
當時，,,由x>-1，且0得，可得.
由此，我們猜想，當，且n>1時，>nx.
下面用數學歸納法證明這個猜想.
（1） 當時，由上述過程知，猜想成立.
（2） 假設當2)時，不等式>kx成立，即，
亦即，
由，得.又因為,所以.于是
所以，當時，猜想也成立.
由（1）（2）可知，不等式>nx對任何大于1的正整數n都成立.
師生活動：教師先引導學生思考下面的問題：
（1）數列的前項和怎么求？
（2）這里n的值是從多少開始的？當n=2，3，4時，與的大小關系怎樣？
（3）用數學歸納法證明猜想時，第二步歸納遞推中與的關系是怎樣的？
在此基礎上，學生獨立思考，書寫解答過程，并以小組為單位進行討論，然后請部分學生展示其解答過程.
設計意圖：例3將等比數列求和、不等式的性質和“先猜后證”的探究方法結合起來，意在讓學生明白：數學歸納法除了能證明關于正整數的恒等式問題之外，還可以用于證明關于正整數的不等式問題.到此，運用數學歸納法不僅證明了數列中的等差數列、等比數列等特殊數列的通項公式，而且還可以解決一些具有遞推關系的非特殊數列的通項公式求解問題，從而把數學歸納法真正融入數列的整體知識結構之中.
總結：用數學歸納法證明不等式的四個關鍵
(1)驗證第一個n的值時不等式成立，要注意不一定為1，若n>k(k為正整數)，則=k+1 ．
(2)證明不等式的第二步中，從n=k到n=k+1的推導過程中，一定要用到歸納假設，不運用歸納假設的證明不是數學歸納法，因為缺少歸納假設．
(3)用數學歸納法證明與n有關的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小.第二種形式往往要先對n取前幾個值的情況分別驗證比較，以免出現判斷失誤，最后猜出從某個n值開始都成立的結論，再用數學歸納法證明．
(4)用數學歸納法證明不等式的關鍵是由n=k時成立得出n=k+1時也成立，主要方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等．
例4 是否存在正整數m，使得對任意自然數n，都能被m整除 若存在，求出m的最大值，并證明你的結論；若不存在，說明理由.
解：
由此猜想m=36.
用數學歸納法證明如下:
①當n=1時，顯然成立.
②假設當n=k時，f(k)能被36整除，即能被36整除，
當n=k+1時，
由于是2的倍數，故能被36整除，
從而當n=k+1時，也能被36整除.
由①②可知，對一切正整數n，都有能被36整除，m的最大值為36.
師生活動：學生讀懂題意，嘗試解答.
設計意圖： 通過例題，熟悉數學歸納法的應用步驟，并強化數學運算的核心素養．
課堂練習
1.已知數列，的通項公式分別為，，其中試推斷對哪些正整數成立，證明你的結論．
解：當時，當，，，，時，，
當時，，
當時，，
所以當或時，．
下面利用數學歸納法進行證明．
當時，成立，
假設，當時，即成立，
當時，，
而
，
，
故，即，
即時不等式成立，
由知對任意，，不等式恒成立．
2.本小題分
已知數列滿足，試用數學歸納法證明，并比較與的大小關系．
解：用數學歸納法證明，
當時，，
假設時，，那么時，若，
則，矛盾，故，
由可知，
所以，因此
3.本小題分
證明：能夠被整除．
證明：當時，顯然能夠被整除，命題成立．
假設當時，命題成立，即能夠被整除．
當時，
．
由假設知 能夠被整除，而是偶數，故能夠被整除，從而 即 能夠被整除．
因此，當時命題成立．
由知，命題對一切正整數成立，即 能夠被整除．
4.本小題分
一本舊教材上有一個關于正整數的恒等式？其中問號處由于年代久遠，只能看出它是關于的二次三項式，具體的系數已經看不清楚了．請你猜想這個恒等式的形式，并用數學歸納法證明．
證明：假設存在符合題意的常數，，，
使得等式，
令，得
令，得
令，得
由解得，，，
于是，對于，，都有
成立．
下面用數學歸納法證明：對于一切正整數，式都成立．
當時，由上述知，成立 假設時，成立，
即，
那么當時，
，
由此可知，當時，式也成立．
綜上所述，當，，時題設的等
式對于一切正整數都成立．
5.本小題分
已知命題：設，為非負實數，，為正實數，若，則
．
請將該命題推廣到一般形式，并用數學歸納法證明你所推廣的命題．
解：該命題推廣的一般形式為：設，，，為非負實數，，，，為正實數，若，則
．
下面利用數學歸納法證明推廣的命題：
當時，，有，故式成立；
設當，時，式成立，即若，，，為非負實數，，，，為正實數，且，則，
當，時，下面證明式成立．
先證明命題“若，則函數非正，當且僅當時，”成立，事實上，先考慮，對函數求導，有，
因為，所以，令，解得，令，解得， 于是利用導函數性質可知函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增， 即函數在處取得極小值，故對任意，恒大于，又時，顯然成立，因此該命題為真．
由上命題可知，，成立 ．
于是原命題“設，為非負實數，，為正實數，若，則”成立，事實上若，中有一個為，則成立，
若，均不為，由得，在式中令，，得到，即為，
故有成立．
于是當時，若，，，為非負實數，，，，為正實數，，
則，即，于是
，
由歸納假設可知，成立
，
于是有，又，
利用式得
，
從而有成立．
故當時，式成立．
由可知，對一切正整數，所推廣的命題成立．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固數學歸納法的應用步驟，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
通過本節課的研究，大家學到了哪些知識和方法？

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