資源簡介

第四章 數列
4.3.2等比數列的前n項和公式
第1課時
1.理解用錯位相減法推導等比數列前項和公式的過程，掌握公式的特點，并能應用公式解決一些簡單問題．
2.在公式的推導中滲透了特殊到一般、一般到特殊、類比、分類討論等數學思想，培養學生邏輯思維能力和逆向思維的能力．
3.通過學生自主對公式的探索，激發學生的求知欲，鼓勵學生大膽嘗試、勇于探索、敢于創新，磨練思維品質，并從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美、數學的嚴謹美
重點：等比數列前項和公式的推導及公式的簡單應用．
難點：用錯位相減法推導等比數列前項和公式及等比數列前項和公式的運用．
（一）創設情境
國際象棋起源于古代印度，相傳國王要獎賞國際象棋的發明者，問他想要什么，發明者說：“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4顆麥粒……依此類推，每個格子里放的麥粒數都是前一個格子里放的麥粒數的2倍，直到第64個格子.請給我足夠的麥粒以實現上述要求.”國王覺得這個要求不高，就欣然同意了.已知一千顆麥粒的質量約為40g，據查，2016-2017年度世界小麥產量約為7.5億噸，根據以上數據，判斷國王是否能實現他的諾言.
思考：（1）如果把棋盤格中所放的麥粒數看成一個數列，會得的怎樣的數列呢
答：得到一個等比數列，數列的首項是1，公比是2，一共有64項.
一共有多少顆麥粒呢 國王能實現他的愿望嗎
答：麥粒數總和就是求這個等比數列前64項的和.
師生活動：教師引導學生從實際背景中抽象出等比數列模型，如果把各格所放的麥粒數看成一個數列，我們可以得到一個等比數列，它的首項是1公比是2，求第1個格子到第64個格子各格所放的麥粒數總和就是求這個等比數列前64項的和.由于項數較多，直接計算繁瑣不易操作，適時引起學生的認知沖突，引人本課時重點探究內容.
設計意圖：通過將實際問題抽象成數學問題，激起學生的認知沖突，引入本課時的學習內容，為學生后續探究公式作準備.
一般地，如何求一個等比數列的前n項和呢？一起來探究吧！
（二）探究新知
任務1：探索等比數列的前n項和公式.
師生活動：教師啟發學生思考，看能否利用已有的經驗和方法，比如等差數列前n項和公式推導所用的“倒序相加法”去推導.碰到困難后，師生一起分析原因，引導學生從等比數列的概念去展開思考.
設等比數列的首項為，公比為q，則的前n項和是
根據等比數列的通項公式，上式可寫成
我們發現，如果用公比q乘①的兩邊，可得
①②兩式的右邊有很多相同的項，
用①的兩邊分別減去②的兩邊，就可以消去這些相同的項，
可得，
即．
因此，當q≠1時，我們就得到了等比數列的前n項和公式
(1)
因為,所以公式（1）還可以寫成
(2)
思考： 當q=1時，等比數列的前n項和Sn等于多少？
總結：比數列的前n項和公式
當q=1時，
上述推導等比數列的前n項和公式的方法，稱為“錯位相減法”.
有了上述公式，就可以解決“情境”中提出的問題了.
由，可得
這個數很大，超過了.
如果一千顆麥粒的質量約為40g，那么以上這些麥粒的總質量超過了7000億噸，約是2016-2017年度世界小麥產量的981倍.
因此，國王根本不可能實現他的諾言.
思考：當數列滿足什么特點時，可以用“錯位相減法”求前n項和？
要求：1.先獨立思考2分鐘；
2.小組內交流討論；
3.以小組為單位進行展示匯報.
如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么求這個數列的前n項和即可用錯位相減法求解．
（三）應用舉例
例1 已知數列是等比數列.
（1）若，，求；
（2）若，求；
（3）若，，，求.
分析：利用公式求解即可.
解：因為，，所以
(2)分析：
解：由，可得
即．
又由q<0，得
所以.
分析：
解：把，，代入，得
整理，得
解得n=5.
師生活動：學生選擇公式進行求解，并在小組內交流解題方法，教師適時點評.
設計意圖：這個環節主要是通過等比數列通項公式和前項和公式的聯用幫助學生鞏固公式，掌握基本量的確定方法，強化方程的思想，提升學生的數學運算素養.
總結：計算等比數列基本量的方法技巧
(1)等比數列的基本量有知道其中任何三個量，都可以求其余的兩個量，即“知三求二”.
(2)計算等比數列的基本量的關鍵是掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，通常將已知條件轉化為首項和公比的方程（組）求解，在解方程組時經常用到兩式相除達到整體消元的目的，這里運用了方程的思想.
例2 已知等比數列的首項為－1，前項和為，若，求公比.
解：若q=1,則，所以q≠1.
當q≠1時，由得
，
整理，得,
即
所以.
師生活動：學生獨立思考完成后在小組內交流，小組代表展示.教師評價時注意強調對公比是否為1的討論，強化學生對等比數列前項和公式為分類表達式的理解.經驗證當時不合題意；當時，根據公式列出關于的方程，可求出.
設計意圖：相較于例1，例2的解答中涉及對公比取值的討論，學生容易忽視的情形.此環節設置例題和變式主要是通過題目的對比，引導學生注意對的取值情況進行分類討論.
例3 已知等比數列的公比，前項和為.證明，，成等比數列，并求這個數列的公比．
證明：當時，
,
所以，，成等比數列，公比為1.
當時，
所以.
因為為常數，所以，，成等比數列，公比為.
師生活動：教師讓學生討論，并適時啟發學生歸納等比數列的證明方法.學生獨立完成解題過程，并進行展示交流，教師及時評價.師生一起對比定義法和等比中項法，突出算法選擇的重要性，進一步強化分類討論意識.另外，教師可適時指出本題的結論是等比數列的一個性質.當時符合題意；當時，根據公式可得到.
設計意圖：例3條件中出現了等比數列的前項和，所以例3與例2的解決過程類似，教科書中對公比的取值進行分類討論，再利用等比數列的前項和公式加以證明，這種方法體現了計算在證明中的作用.
思考：不用分類討論的方式能否證明該結論？
由數列的前項和的定義，得
所以.
因為為常數，所以，，成等比數列.
師生活動：小組合作交流后進行展示.教師適時啟發學生利用數列前項和的定義，再結合等比數列的定義，思考探究后得出思路.
設計意圖：對于等比數列的概念揭示得更充分，方法也更為簡潔.
例4 已知為各項都為正數的等比數列，，．
求數列的通項公式；
求數列的前項和為．
解：設等比數列的公比為，因為，，
所以，即，解得，舍，
所以數列的通項．
設數列的通項為，結合知，
則，
得：，
得：，
所以．
總結：應用“錯位相減法”求數列前n項和的解題策略
(1)一般地，如果數列是等差數列，{}是等比數列，求數列{·}的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以數列{}的公比，然后作差求解．
(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式．
師生活動：學生讀懂題意，嘗試解答.
設計意圖： 通過例題，熟悉等比數列的前n項和公式以及錯位相減法，并強化數學運算的核心素養．
課堂練習
1.設等比數列的前項和為，已知，，則( )
A. B. C. D.
解：因為，，成等比數列，
所以，
即，解得：．
故選：．
2.如圖給出的是一道典型的數學無字證明問題，各矩形塊中填寫的數字構成一個無窮數列，所有數字之和等于按照圖示規律，有同學提出了以下結論，其中正確的是( )
A. 矩形塊中所填數字構成的是以為首項，為公比的等比數列
B. 前八個矩形塊中所填寫的數字之和等于
C. 面積由大到小排序的第九個矩形塊中應填寫的數字為
D. 記為除了前塊之外的矩形塊面積之和，則
解：設每個矩形塊中的數字從大到小形成數形，
則可得是首項為，公比為的等比數列，故A錯誤；
所以，
前八個矩形塊中所填寫的數字之和等于，故B正確；
所以面積由大到小排序的第九個矩形塊中應填寫的數字為，故C錯誤；
按照這個規律繼續下去，前塊矩形塊面積之和為，
故前塊之外的矩形塊面積之和為，故D正確；
故選：．
3.已知，且對于，證明：．
證明：由于，是不為的常數，且，
則數列：，，，，為首項為，公比為，項數為的等比數列，
即有．
4.已知遞增的等比數列的前項和為，且，．
求數列的通項公式；
設，求數列的前項和．
解：設等差數列 公差為，首項為，
由題意有 ，解得 ，
所以 ．
，
所以 ，

，
．
5.已知等差數列的前項和為，滿足．
求的值；
設的前項和為，求證：．
解：，
，得：，
，
，
；
證明：由得，
，
，
得： ，

，
所以．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固等比數列的前n項和公式，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
【課堂小結】通過本節課的研究，大家學到了哪些知識？第四章 數列
4.3.2等比數列的前n項和公式公式
第2課時
1.熟練應用等比數列前n項和公式的性質解題．
2.能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題．
3.通過本節課例題講解提高學生分析解決問題的能力.
4.通過利用等比數列的前n項和公式解決實際應用問題，提升學生的數學建模和數學運算素養
重點：等比數列的前n項和公式及其應用．
難點：運用等比數列解決實際問題．
（一）創設情境
回顧：
1.等比數列的前n項和公式
2.等比數列的前n項和公式的性質
等比數列的公比q≠ 1，前n項和為.則成等比數列.
3.等比數列求和的求和方法：乘比錯位相減法
設計意圖：復習舊知識，使學生更快地接受新知識，即加強新舊知識間的聯系，同時又使整節課教學結構緊密.
（二）探究新知
任務1：探索等比數列的前n項和公式的函數特征
我們知道，等差數列的前n項和公式
是常數項為0的關于n的二次型函數．
思考：類比等差數列，等比數列的前n項和有什么函數特性？
師生活動：先獨立思考，再交流討論.
提示：等比數列的前n項公式的應用中，注意前n項和公式要分類討論，即q≠1和q=1時是不同的公式形式，不可忽略q=1的情況.
當q=1時，是n的正比例函數.
當公比 q≠1時，等比數列的前n項和公式是
令 ，上式可寫成
即是n的指數型函數，的系數與常數項互為相反數.
任務2：探索“分組求和法”求數列的前n項和
一般地，如果數列是等差數列，{}是等比數列，求數列{·}的前n項和時，可采用“錯位相減法”求和，如果是數列{+}，該如何求它的的前n項和呢？
分別將數列和數列{}求和，再相加即可.
上述求數列前n項和的方法，稱為“分組求和法”.
師生活動：先獨立思考，再交流討論，教師進行完善.
設計意圖：通過該問題讓學生理解分組求和法，讓學生會求一類可轉化為等差數列和等比數列的求和的數列求和問題．
（三）應用舉例
例1 如圖，正方形 的邊長為，取正方形 各邊的中點 作第2個正方形 ，然后再取正方形各邊的中點，作第3個正方形 ，依此方法一直繼續下去.
(1) 求從正方形 開始，連續10個正方形的面積之和；
(2) 如果這個作圖過程可以一直繼續下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？
分析：可以利用數列表示各正方形的面積，根據條件可知，這是一個等比數列。
解：設正方形的面積為，后續各正方形的面積依次為, ,…，則=25,
由于第個正方形的頂點分別是第個正方形各邊的中點，
所以=,
因此{}，是以25為首項，為公比的等比數列.
設{}的前項和為
（1）===
所以，前10個正方形的面積之和為c.
(2)當無限增大時，無限趨近于所有正方形的面積和
，
而==
隨著的無限增大，將趨近于0，將趨近于50.
所以，所有這些正方形的面積之和將趨近于50.
師生活動：學生建立數學模型求解，并在小組內交流解題方法，教師適時點評.
設計意圖：以正方形面積求和問題為背景，引導學生運用等比數列求和知識解決問題．并體會等比數列與指數函數的關系，感悟函數思想．發展學生數學抽象、數學運算、數學建模的核心素養．
總結：
設等比數列的公比為q,當|q|<1時，該數列稱為無窮遞縮等比數列，無窮遞縮等比數列的所有項的和.
例2 去年某地產生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環保方式處理.預計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸.為了確定處理生活垃圾的預算，請你測算一下從今年起5年內通過填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬噸）.
分析：由題意可知，每年生活垃圾的總量構成等比數列，而每年以環保方式處理的垃圾量構成等差數列。因此，可以利用等差數列、等比數列的知識進行計算。
解：設從今年起每年生活垃圾的總量（單位：萬噸）構成數列{}，每年以環保方式處理的垃圾量（單位：萬噸）構成數列{}， 年內通過填埋方式處理的垃圾總量為 （單位：萬噸），則=20, =6+1.5
=
=
=()
當時，
所以，從今年起5年內，通過填埋方式處理的垃圾總量約為 63.5萬噸.
師生活動：生獨立思考后小組合作探究.教師引導學生對“陌生”數列的探究從通項公式入手.
設計意圖：以生活中的垃圾處理為背景，引導學生運用等比數列求和知識解決實際問題．并掌握分組求和法．發展學生數學抽象、數學運算、數學建模的核心素養．
總結：數列求和方法：分組求和法
(1)求形如的前n項和公式，其中與是等差數列或等比數列；
(2)將等差數列和等比數列分開：
± ( )
(3)利用等差數列和等比數列前n項和公式來計算.
例3 某牧場今年初牛的存欄數為1200，預計以后每年存欄數的增長率為8% ，且在每年年底賣出100頭牛。設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數依次為
（1）寫出一個遞推公式，表示與之間的關系；
（2）將（1）中的遞推公式表示成 的形式，其中, 為常數；
（3）求=的值（精確到1）.
分析：（1）可以利用“每年存欄數的增長率為8%”和“每年年底賣出100頭”建立與的關系；（2）這是待定系數法的應用，可以將它還原為（1）中的遞推公式形式，通過比較系數，得到方程組；（3）利用（2）的結論可得出解答.
解:（1）由題意，得并且
①
（2）將 化成
= ②
比較①②的系數，可得
解這個方程組，得
所以（1）中的遞推公式可以化為
（3）由（2）可知，數列{-1250}是以-50為首項，1.08為公比的等比數列，則
所以=
師生活動： 第（1）小題根據實際背景，學生不難寫出與之間的遞推關系式，并且很容易判斷既不是等差數列，也不是等比數列.教師適時評價.教師引導學生加深理解：數列的遞推公式和通項公式一樣，也是數列的一種表示方法，只是一般情況下沒有通項公式簡便易用.教師可利用電子表格求出（3）的結果.
設計意圖：以牧場中牛的繁殖問題為背景，引導學生運用等比數列求和知識解決問題，并學會運用構造法，構造等比數列解決問題．發展學生數學抽象、數學運算、數學建模的核心素養．
總結：
在解決實際問題時，有時不容易發現呈等差關系或等比關系變化的量，但可以發現某些量的遞推關系．這時，往往可以先構建一個用遞推關系表達的數列，再嘗試通過代數變換，把這個數列轉化為等差數列或等比數列，或等差數列與等比數列的線性組合．
對于數列{cn}滿足：cn+1 =rcn+m ，先通過引入參數，建立一個含cn+1與cn的等比關系，再求出其中的參數，這實際上是待定系數法，即：cn+1-k=r(cn-k)，先求出數列{cn-k}的通項公式，進而求得數列{cn}的通項公式．
例4 已知數列{}的前n項和為，點()在直線上．
(1)當實數t為何值時，數列{}是等比數列？
(2)在(1)的結論下，設是數列{}的前n項和，求.
解：
當n≥2時，.
于是＝3() －＝3 ＝4.
又當n＝1時，，
所以當t＝1時，，此時，數列{}是等比數列．
(2)由(1)，可得＝，
所以，，
那么
總結：
解決等差數列和等比數列的綜合問題,一般不能直接套用公式,要先對已知條件轉化變形,使之符合等差數列或等比數列的形式,再利用公式求解.同時,要注意在題設條件下,尋求等差數列和等比數列之間的內在聯系,以便它們之間的相互轉化.
師生活動：學生讀懂題意，嘗試解答.
設計意圖： 通過例題，熟悉等比數列的前n項和公式以及分組求和法，并強化數學運算的核心素養．
課堂練習
1.已知等比數列的前項和為，若，則( )
A. B. C. D.
解：由題意，可得，
，，
故，可得經驗證，符合題意；
故選：．
2.某牛奶廠年初有資金萬元，由于引進了先進生產設備，資金年平均增長率可達到每年年底扣除下一年的消費基金后，剩余資金投入再生產．這家牛奶廠每年應扣除多少消費基金，才能實現經過年資金達到萬元的目標精確到萬元？
解：設這家牛奶廠每年應扣除萬元消費基金，經過年后資金為萬元，
則，
，
，
，
，
若經過年資金達到萬元的目標，
則，
，
所以，這家牛奶廠每年應扣除萬元消費基金，才能實現經過年資金達到萬元的目標．
3.在，，，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答該問題．
已知數列中，，滿足___________，求數列的前項和．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
解：若選
因為，所以．
因為，所以數列是以為首項，公比為的等比數列，
所以，即
所以，
，
兩式相減得，，
整理得．
若選
因為，所以．
因為，所以，
所以，
所以數列是以為首項，公比為的等比數列，
所以，即，
所以，
所以．
若選
因為，所以，
因為，所以數列是以為首項，公差為的等差數列，
所以，即．
所以，
，
兩式相減得，，
整理得．
4.已知數列的首項，且滿足．
求證：是等比數列．
求數列的前項和．
證明：因為，
所以，
所以數列是等比數列，其中首項為，公比為；
解：由可得，所以，
所以
當為奇數時，
當為偶數時，．
綜上所述，．
5.已知數列的首項，且滿足．
求證：數列為等比數列；
若，求滿足條件的最大整數．
解：，，
可得，
又由，所以，則數列 為首項為，公比為的等比數列．
由可得，所以．
設數列的前項和為，
則
，
若，即，因為函數為單調遞增函數，
所以滿足的最大整數的值為．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固等比數列的前n項和公式，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
【課堂小結】通過本節課的研究，大家學到了哪些知識？

展開更多......

收起↑