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第9部分第3節(jié)《成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析》-2025屆高考一輪復(fù)習(xí)-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實(shí)+優(yōu)化提升
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．對(duì)于x，y兩變量，有四組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，分別算出它們的樣本相關(guān)系數(shù)r如下，則線性相關(guān)性最強(qiáng)的是(　　)
A．－0.82 B．0.78 C．－0.69 D．0.87
2．在對(duì)兩個(gè)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)有下列步驟：
①對(duì)所求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程作出解釋；②收集數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求經(jīng)驗(yàn)回歸方程；④根據(jù)所收集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖．
則下列操作順序正確的是(　　)
A．①②④③ B．③②④①
C．②③①④ D．②④③①
3．某單位為了了解辦公樓用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了四個(gè)工作日的用電量與當(dāng)天平均氣溫，并制作了對(duì)照表：
氣溫(℃) 18 13 10 －1
用電量(度) 24 34 38 64
由表中數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝－2x＋，當(dāng)氣溫為－4 ℃時(shí)，預(yù)測(cè)用電量約為(　　)
A．68度 B．52度
C．12度 D．28度
4．某機(jī)構(gòu)為調(diào)查網(wǎng)游愛好者是否有性別差異，通過調(diào)研數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：在500名男生中有200名愛玩網(wǎng)游，在400名女生中有50名愛玩網(wǎng)游．若要確定網(wǎng)游愛好是否與性別有關(guān)時(shí)，用下列最適合的統(tǒng)計(jì)方法是(　　)
A．均值 B．方差
C．獨(dú)立性檢驗(yàn) D．回歸分析
5．如表是2×2列聯(lián)表，則表中a，b的值分別為(　　)
y1 y2 合計(jì)
x1 a 8 35
x2 11 34 45
合計(jì) b 42 80
A.27,38 B．28,38
C．27,37 D．28,37
6．已知P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥10.828)＝0.001.在檢驗(yàn)喜歡某項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別是否有關(guān)的過程中，某研究員搜集數(shù)據(jù)并計(jì)算得到χ2＝7.235，則根據(jù)小概率值α＝________的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析喜歡該項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．
【知識(shí)歸納】
1.變量的相關(guān)關(guān)系
(1)相關(guān)關(guān)系
兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.
(2)相關(guān)關(guān)系的分類：正相關(guān)和負(fù)相關(guān).
(3)線性相關(guān)
一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).
一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).
2.樣本相關(guān)系數(shù)
(1)相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算
變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式如下：
(2)相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)
①當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)r＝0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系.
②樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[－1，1].
當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；
當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.
3.一元線性回歸模型
(1)經(jīng)驗(yàn)回歸方程與最小二乘法
我們將＝x＋稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估計(jì)，
其中
(2)利用決定系數(shù)R2刻畫回歸效果
，R2越大，即擬合效果越好，R2越小，模型擬合效果越差.
4.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)
(1)2×2列聯(lián)表
一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為
x y 合計(jì)
y＝y(tǒng)1 y＝y(tǒng)2
x＝x1 a b a＋b
x＝x2 c d c＋d
合計(jì) a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
(2)臨界值
χ2＝.忽略χ2的實(shí)際分布與該近似分布的誤差后，對(duì)于任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立.我們稱xα為α的臨界值，這個(gè)臨界值就可作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn).
(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)
基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則是：
當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；
當(dāng)χ2＜xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立 ，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立.
這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).
下表給出了χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
常用結(jié)論：
1.求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)，，應(yīng)充分利用回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(，).
2.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程計(jì)算的值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值.
3.根據(jù)χ2的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若χ2越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大.
【題型展示】
　考點(diǎn)一　成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性
1.在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直線y＝－x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為(　　)
A.－1 B.0 C.－ D.1
2.下列四個(gè)散點(diǎn)圖中，變量x與y之間具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系的是(　　)
3.某商家今年上半年各月的人均銷售額(單位：千元)與利潤(rùn)率統(tǒng)計(jì)表如下：
月份 1 2 3 4 5 6
人均銷售額 6 5 8 3 4 7
利潤(rùn)率(%) 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說法正確的是(　　)
A.利潤(rùn)率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系
B.利潤(rùn)率與人均銷售額成負(fù)相關(guān)關(guān)系
C.利潤(rùn)率與人均銷售額成正比例函數(shù)關(guān)系
D.利潤(rùn)率與人均銷售額成反比例函數(shù)關(guān)系
4.兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，它們的決定系數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是(　　)
A.模型1的決定系數(shù)R2為0.98
B.模型2的決定系數(shù)R2為0.80
C.模型3的決定系數(shù)R2為0.50
D.模型4的決定系數(shù)R2為0.25
　考點(diǎn)二　回歸分析
角度1　線性回歸分析
例1根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y(百千克)與某種液體肥料每畝使用量x(千克)之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示：
(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說明(若|r|>0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合)；
(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)液體肥料每畝使用量為12千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少.
附：相關(guān)系數(shù)
＝eq \f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)) ) \a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－)) ),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x－n\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))y－n\o(y,\s\up6(－))2))，
經(jīng)驗(yàn)回歸直線＝x＋的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為＝＝eq \f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)) ) \a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－)) ),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x－n\o(x,\s\up6(－))2)，＝－.
角度2　非線性回歸分析
例2 某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i＝1，2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
(xi－)2 (wi－)2 (xi－)·(yi－) (wi－)·(yi－)
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.
根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：
①年宣傳費(fèi)x＝49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？
②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：
＝，＝－ .
訓(xùn)練1 下圖是某地區(qū)2005年至2021年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖.
為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2023年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)2005年至2021年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根據(jù)2015年至2021年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t.
(1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2023年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；
(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由.
　考點(diǎn)三　獨(dú)立性檢驗(yàn)
例3 甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：
一級(jí)品 二級(jí)品 合計(jì)
甲機(jī)床 150 50 200
乙機(jī)床 120 80 200
合計(jì) 270 130 400
(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？
(2)依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)分析甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.
附：χ2＝，
α 0.1 0.05 0.01 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
訓(xùn)練2 某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：
鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)　　　　　 [0，200] (200，400] (400，600]
1(優(yōu)) 2 16 25
2(良) 5 10 12
3(輕度污染) 6 7 8
4(中度污染) 7 2 0
(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；
(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；
(3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？
人次≤400 人次>400
空氣質(zhì)量好
空氣質(zhì)量不好
附：χ2＝，
基礎(chǔ)夯實(shí)
1．觀察下列各圖，其中兩個(gè)分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是(　　)
2．下列關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的說法正確的是(　　)
A．獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一種檢驗(yàn)
B．獨(dú)立性檢驗(yàn)可以100%確定兩個(gè)變量之間是否具有某種關(guān)系
C．利用χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷吸煙與患肺病的關(guān)聯(lián)中，若有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，則我們可以說在100個(gè)吸煙的人中，有99人患肺病
D．對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量χ2的值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越大
3.某公司在2015～2019年的收入與支出情況如下表所示：
收入x(億元) 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9
支出y(億元) 0.2 1.5 2.0 2.5 3.8
根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.8x＋a，依此估計(jì)該公司收入為8億元時(shí)的支出為(　　)
A.4.2億元 B.4.4億元
C.5.2億元 D.5.4億元
4.已知某地的財(cái)政收入x與支出y滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝x＋＋e(單位：億元)，其中＝0.8，＝2，|e|≤0.5，如果今年該地區(qū)的財(cái)政收入為10億元，那么支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過(　　)
A.9億元 B.10億元
C.9.5億元 D.10.5億元
5．為了考察某種中成藥預(yù)防流感的效果，抽樣調(diào)查40人，得到如下數(shù)據(jù)：
藥物 流感
患流感 未患流感
服用 2 18
未服用 8 12
下表是χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：
α 0.1 0.05 0.01 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算χ2＝，若由此認(rèn)為“該藥物預(yù)防流感有效果”，則該結(jié)論出錯(cuò)的概率不超過(　　)
A．0.05 B．0.1 C．0.01 D．0.005
6．為考查某種營(yíng)養(yǎng)品對(duì)兒童身高增長(zhǎng)的影響，選取部分兒童進(jìn)行試驗(yàn)，根據(jù)100個(gè)有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表，由表可知下列說法正確的是(　　)
營(yíng)養(yǎng)品 身高 合計(jì)
有明顯增長(zhǎng) 無明顯增長(zhǎng)
食用 a 10 50
未食用 b 30 50
合計(jì) 60 40 100
參考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
參考數(shù)據(jù)：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.a＝b＝30
B．χ2≈12.667
C．從樣本中隨機(jī)抽取1名兒童，抽到食用該營(yíng)養(yǎng)品且身高有明顯增長(zhǎng)的兒童的概率是
D．根據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為該營(yíng)養(yǎng)品對(duì)兒童身高增長(zhǎng)有影響
7.在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡的關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)，并制成如圖所示的人體脂肪含量與年齡的關(guān)系的散點(diǎn)圖，下列結(jié)論中正確的是(　　)
A.人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%
B.人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%
C.人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%
D.人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%
8.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)A，B兩個(gè)變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得樣本相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m，如下表：
甲 乙 丙 丁
r 0.82 0.78 0.69 0.85
m 106 115 124 103
則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A，B兩個(gè)變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性？
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
9．下列有關(guān)線性回歸的說法，不正確的是(　　)
A．具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量不是因果關(guān)系
B．散點(diǎn)圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度
C．回歸直線最能代表線性相關(guān)的兩個(gè)變量之間的關(guān)系
D．任一組數(shù)據(jù)都有經(jīng)驗(yàn)回歸方程
10．對(duì)于樣本相關(guān)系數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是(　　)
A．樣本相關(guān)系數(shù)可以用來判斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)的正負(fù)性
B．樣本相關(guān)系數(shù)可以是正的，也可以是負(fù)的
C．樣本相關(guān)系數(shù)r∈[－1,1]
D．樣本相關(guān)系數(shù)越大，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越強(qiáng)
11．色差和色度是衡量毛絨玩具質(zhì)量?jī)?yōu)劣的重要指標(biāo)，現(xiàn)抽檢一批產(chǎn)品測(cè)得數(shù)據(jù)列于表中：已知該產(chǎn)品的色度y和色差x之間滿足線性相關(guān)關(guān)系，且＝0.8x＋，現(xiàn)有一對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)為(30,23.6)，則該數(shù)據(jù)的殘差為(　　)
色差x 21 23 25 27
色度y 15 18 19 20
A.－0.96 B．－0.8 C．0.8 D．0.96
12．(多選)為考察一種新型藥物預(yù)防疾病的效果，某科研小組進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，收集整理數(shù)據(jù)后將所得結(jié)果填入相應(yīng)的2×2列聯(lián)表中，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2≈9.616.參照附表，下列結(jié)論正確的是(　　)
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．根據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物有效”
B．根據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物無效”
C．根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物有效”
D．根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物無效”
13．(多選)根據(jù)分類變量x與y的觀察數(shù)據(jù)，計(jì)算得到χ2＝2.974，依據(jù)表中給出的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中的小概率值和相應(yīng)的臨界值，作出下列判斷，正確的是(　　)
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析變量x與y相互獨(dú)立
B．根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析變量x與y不相互獨(dú)立
C．變量x與y相互獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1
D．變量x與y不相互獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1
14．(多選)某工廠研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(單位：噸)與所需某種材料y(單位：噸)之間的相關(guān)關(guān)系，在生產(chǎn)過程中收集4組數(shù)據(jù)如表所示．根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.7x＋，則下列四個(gè)說法中正確的為(　　)
x 3 4 6 7
y 2.5 3 4 5.9
A.變量x與y正相關(guān)
B．y與x的樣本相關(guān)系數(shù)r<0
C.＝0.35
D．當(dāng)產(chǎn)量為8噸時(shí)，預(yù)測(cè)所需材料約為5.95噸
15．(多選)某制衣品牌為使成衣尺寸更精準(zhǔn)，選擇了10名志愿者，對(duì)其身高(單位：cm)和臂展(單位：cm)進(jìn)行了測(cè)量，這10名志愿者身高和臂展的折線圖如圖所示．已知這10名志愿者身高的平均值為176 cm，根據(jù)這10名志愿者的數(shù)據(jù)求得臂展u關(guān)于身高v的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝1.2v－34，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．這10名志愿者身高的極差小于臂展的極差
B．這10名志愿者的身高和臂展呈負(fù)相關(guān)
C．這10名志愿者臂展的平均值為176.2 cm
D．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程可估計(jì)身高為160 cm的人的臂展為158 cm
16.(多選)已知變量x，y之間的線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝－0.7x＋10.3，且變量x，y之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說法正確的是(　　)
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A.變量x，y之間成負(fù)相關(guān)關(guān)系
B.可以預(yù)測(cè)，當(dāng)x＝20時(shí)，＝－3.7
C.m＝4
D.該經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過點(diǎn)(9，4)
17.(多選)某大學(xué)為了解學(xué)生對(duì)學(xué)校食堂服務(wù)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了50名男生和50名女生，每位學(xué)生對(duì)食堂的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到如下所示的列聯(lián)表，經(jīng)計(jì)算χ2≈4.762，則可以推斷出(　　)
滿意 不滿意
男 30 20
女 40 10
α 0.100 0.050 0.010
xα 2.706 3.841 6.635
A.該學(xué)校男生對(duì)食堂服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為
B.調(diào)研結(jié)果顯示，該學(xué)校男生比女生對(duì)食堂服務(wù)更滿意
C.認(rèn)為男、女生對(duì)該食堂服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05
D.認(rèn)為男、女生對(duì)該食堂服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01
18．已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)隨機(jī)變量的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分布在函數(shù)y＝2e2x＋1的圖象附近，設(shè)z＝ln y，將其變換后得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為z＝mx＋n，則mn＝________.
19．某智能機(jī)器人的廣告費(fèi)用x(萬元)與銷售額y(萬元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：
廣告費(fèi)用x(萬元) 2 3 5 6
銷售額y(萬元) 28 31 41 48
根據(jù)此表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝5x＋，據(jù)此模型預(yù)測(cè)廣告費(fèi)用為8萬元時(shí)銷售額為________萬元．
20.已知x和y的散點(diǎn)圖如圖所示，在相關(guān)關(guān)系中，若用y＝c1ec2x擬合時(shí)的決定系數(shù)為R，用＝x＋擬合時(shí)的決定系數(shù)為R，則R，R中較大的是________.
21.某市物價(jià)部門對(duì)本市的5家商場(chǎng)的某商品一天的銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，5家商場(chǎng)的售價(jià)x(元/件)和銷售量y(件)的數(shù)據(jù)如下表所示：
售價(jià)x 9 9.5 m 10.5 11
銷售量y 11 n 8 6 5
由散點(diǎn)圖可知，銷售量y與售價(jià)x之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程是＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，則其中的n＝________.
22.某醫(yī)療研究所為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H0：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得χ2≈3.918，經(jīng)查臨界值表知x0.05＝3.841.則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是________.
①認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05；②若某人未使用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③這種血清預(yù)防感冒的有效率為95%；④這種血清預(yù)防感冒的有效率為5%.
23．如表是對(duì)于“喜歡運(yùn)動(dòng)”與性別是否有關(guān)的2×2列聯(lián)表，依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2≈________(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后3位)．
喜歡運(yùn)動(dòng) 不喜歡運(yùn)動(dòng) 合計(jì)
男 40 28 68
女 5 12 17
合計(jì) 45 40 85
24．一項(xiàng)研究同年齡段的男、女生的注意力差別的腦功能實(shí)驗(yàn)，其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所示：
注意力穩(wěn)定 注意力不穩(wěn)定
男生 29 7
女生 33 5
則χ2＝________(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)，依據(jù)概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，該實(shí)驗(yàn)________該年齡段的學(xué)生在注意力的穩(wěn)定性上對(duì)于性別沒有顯著差異(填拒絕或支持)．
25.某城市地鐵將于2023年6月開始運(yùn)營(yíng)，為此召開了一個(gè)價(jià)格聽證會(huì)，擬定價(jià)格后又進(jìn)行了一次調(diào)查，隨機(jī)抽查了50人，他們的收入與態(tài)度如下：
月收入(單位：百元) [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75]
贊成定價(jià)者人數(shù) 1 2 3 5 3 4
認(rèn)為價(jià)格偏高者人數(shù) 4 8 12 5 2 1
(1)若以區(qū)間的中點(diǎn)值為該區(qū)間內(nèi)的人均月收入，求參與調(diào)查的人員中“贊成定價(jià)者”與“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入的差距是多少(結(jié)果保留2位小數(shù))；
(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可否認(rèn)為“月收入以55百元為分界點(diǎn)對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度有差異”.
對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度 人均月收入
不低于55百元的人數(shù) 低于55百元的人數(shù) 合計(jì)
認(rèn)為價(jià)格偏高者
贊成定價(jià)者
合計(jì)
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
參考數(shù)據(jù)：
α 0.1 0.05 0.01 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
26.某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得xi＝60，yi＝1 200， (xi－)2＝80， (yi－)2＝9 000， (xi－)(yi－)＝800.
(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；
(2)求樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；
(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.
附：樣本相關(guān)系數(shù)r＝
，≈1.414.
27．某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積(單位：m2)和材積量(單位：m3)，得到如下數(shù)據(jù)：
樣本號(hào)i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總和
根部橫截面積xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材積量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并計(jì)算得x＝0.038，y＝1.615 8，xiyi＝0.247 4.
(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；
(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186 m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．
附：樣本相關(guān)系數(shù)r＝＝，≈1.377.
28．甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：
一級(jí)品 二級(jí)品 合計(jì)
甲機(jī)床 150 50 200
乙機(jī)床 120 80 200
合計(jì) 270 130 400
(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？
(2)依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)?zāi)芊裾J(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
29．某花圃為提高某品種花苗質(zhì)量，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，A，B在實(shí)驗(yàn)地分別用甲、乙方法培育該品種花苗．為觀測(cè)其生長(zhǎng)情況，分別在實(shí)驗(yàn)地隨機(jī)抽取各50株，對(duì)每株進(jìn)行綜合評(píng)分，將每株所得的綜合評(píng)分制成如圖所示的頻率分布直方圖．記綜合評(píng)分為80 及以上的花苗為優(yōu)質(zhì)花苗．
(1)求圖中a的值，并求綜合評(píng)分的中位數(shù)；
(2)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法是否有關(guān)，請(qǐng)說明理由．
優(yōu)質(zhì)花苗 非優(yōu)質(zhì)花苗 合計(jì)
甲培育法 20
乙培育法 10
合計(jì)
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
優(yōu)化提升
30.在吸煙與患肺癌這兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)的計(jì)算中，下列說法正確的是(　　)
A.若χ2＝6.635，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺癌
B.由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系時(shí)，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺癌
C.若從統(tǒng)計(jì)量中求出在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系，是指有1%的可能性使得判斷出現(xiàn)錯(cuò)誤
D.以上三種說法都不正確
31．在某病毒疫苗的研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)．現(xiàn)隨機(jī)抽取100只基因編輯小鼠對(duì)該病毒疫苗進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下2×2列聯(lián)表(部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失)：
被某病毒感染 未被某病毒感染 合計(jì)
注射疫苗 10 50
未注射疫苗 30 50
合計(jì) 30 100
計(jì)算可知，根據(jù)小概率值α＝________的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析 “給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”(　　)
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.0.001 B．0.05
C．0.01 D．0.005
32．(多選)有兩個(gè)分類變量X，Y，其列聯(lián)表如表所示．
X Y 合計(jì)
Y1 Y2
X1 a 20－a 20
X2 15－a 30＋a 45
合計(jì) 15 50 65
其中a,15－a均為大于5的整數(shù)，若依據(jù)α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)可以認(rèn)為X與Y有關(guān)，則a的可能取值為(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
33．(多選)在一次惡劣天氣的飛行航程中，調(diào)查男、女乘客在飛機(jī)上暈機(jī)的情況，得到如下列聯(lián)表：(單位：人)，則(　　)
性別 暈機(jī) 合計(jì)
暈機(jī)者 未暈機(jī)者
男 a 15 c
女 6 b d
合計(jì) e 28 46
A.<
B．χ2<2.706
C．依據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為在惡劣天氣的飛行航程中，是否暈機(jī)與性別有關(guān)
D．依據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為在惡劣天氣的飛行航程中，是否暈機(jī)與性別無關(guān)
34．(多選)針對(duì)某疾病，各地醫(yī)療機(jī)構(gòu)采取了各種有針對(duì)性的治療方法，取得了不錯(cuò)的成效，某地開始使用中西醫(yī)結(jié)合方法后，每周治愈的患者人數(shù)如表所示，由表格可得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝6x2＋，則下列說法正確的是(　　)
周數(shù)(x) 1 2 3 4 5
治愈人數(shù)(y) 2 17 36 93 142
A.＝4
B.＝－8
C．此回歸模型第4周的殘差為5
D．估計(jì)第6周治愈人數(shù)為220
35．(多選)已知由樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2,3，…，10)組成的一個(gè)樣本，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝2x－0.4，且＝2，去除兩個(gè)歧義點(diǎn)(－2,1)和(2，－1)后，得到新的經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率為3.則下列說法正確的是(　　)
A．相關(guān)變量x，y具有正相關(guān)關(guān)系
B．去除兩個(gè)歧義點(diǎn)后，新樣本中變量xj(j＝1,2，…，8)的平均值變大
C．去除兩個(gè)歧義點(diǎn)后的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為1＝3x－3
D．去除兩個(gè)歧義點(diǎn)后，樣本數(shù)據(jù)(4,8.9)的殘差為0.1
36．為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：
藥物 疾病 合計(jì)
未患病 患病
服用 a 50－a 50
未服用 80－a a－30 50
合計(jì) 80 20 100
若在本次考察中得出“在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為藥物有效”的結(jié)論，則a的最小值為________．(其中a≥40且a∈N*)(參考數(shù)據(jù)：≈2.58，≈3.29)
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
37．2020年，全球開展了某疫苗研發(fā)競(jìng)賽，我國(guó)處于領(lǐng)先地位，為了研究疫苗的有效率，在某地進(jìn)行臨床試驗(yàn)，對(duì)符合一定條件的10 000名試驗(yàn)者注射了該疫苗，一周后有20人感染，為了驗(yàn)證疫苗的有效率，同期，從相同條件下未注射疫苗的人群中抽取2 500人，分成5組，各組感染人數(shù)如下：
調(diào)查人數(shù)x 300 400 500 600 700
感染人數(shù)y 3 3 6 6 7
并求得y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.011x＋，同期，在人數(shù)為10 000的條件下，以擬合結(jié)果估算未注射疫苗的人群中感染人數(shù)，記為N；注射疫苗后仍被感染的人數(shù)記為n，則估計(jì)該疫苗的有效率為________．(疫苗的有效率為1－，結(jié)果保留3位有效數(shù)字)
38.在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，6)都在曲線y＝bx2－附近波動(dòng).經(jīng)計(jì)算xi＝12，yi＝14，x＝23，則實(shí)數(shù)b的值為________.
39.《中國(guó)經(jīng)濟(jì)周刊》主辦的第十八屆中國(guó)經(jīng)濟(jì)論壇在人民日?qǐng)?bào)社舉行，就中國(guó)企業(yè)如何提升全球行業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力進(jìn)行了研討.數(shù)據(jù)顯示，某企業(yè)近年加大了科技研發(fā)資金的投入，其科技投入x(百萬元)與收益y(百萬元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：
科技投入x 1 2 3 4 5 6 7
收益y 19 20 22 31 40 50 70
根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，甲認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在指數(shù)型曲線y＝2bx＋a的周圍，據(jù)此他對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了一些初步處理.如下表：
x xiyi xizi (yi－)2 (yi－)2
5 140 1 239 149 2 134 130
其中zi＝log2 yi，＝zi.
(1)請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.1)；
(2)①乙認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在直線y＝mx＋n的周圍，并計(jì)算得回歸方程為＝8.25x＋3，以及該回歸模型的決定系數(shù)(即相關(guān)指數(shù))R＝0.893，試比較甲、乙兩人所建立的模型，誰的擬合效果更好？
②由①所得的結(jié)論，計(jì)算該企業(yè)欲使收益達(dá)到1億元，科技投入的費(fèi)用至少要多少百萬元？(精確到0.1)
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線方程＝u＋的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為＝＝eq \f(\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))uivi－n\o(u,\s\up6(－)) \o(v,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))u－n\o(u,\s\up6(－))2)，＝－，決定系數(shù)：R2＝1－.
參考數(shù)據(jù)：log2 5≈2.3.
參考答案：
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．D　2.D　3.A
4．C　5.A　6.0.01
【題型展示】
　考點(diǎn)一　成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性
1.A
2.D
3.A
4.A
　考點(diǎn)二　回歸分析
角度1　線性回歸分析
例1解　(1)＝＝5，
＝＝5.
(xi－)(yi－)＝(－3)×(－2)＋(－1)×(－1)＋0×0＋1×1＋3×2＝14，
(xi－)2＝(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝20，
(yi－)2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10.
＝＝>0.75，
∴可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.
(2)＝＝＝0.7，
則＝－＝5－0.7×5＝1.5，
∴＝0.7x＋1.5.
當(dāng)x＝12時(shí)，＝0.7×12＋1.5＝9.9，
∴預(yù)測(cè)液體肥料每畝使用量為12千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為9.9百千克.
角度2　非線性回歸分析
例2 解　(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，y＝c＋d適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型.
(2)令w＝，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于
＝＝＝68，
＝－＝563－68×6.8＝100.6，
所以y關(guān)于w的線性回歸方程為＝100.6＋68w，因此y關(guān)于x的回歸方程為＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，當(dāng)x＝49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值
＝100.6＋68＝576.6，
年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值
＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值
＝0.2×(100.6＋68)－x
＝－x＋13.6＋20.12.
所以當(dāng)＝＝6.8，即x＝46.24時(shí)，
取得最大值.
故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.
訓(xùn)練1
解　(1)利用模型①，該地區(qū)2023年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元).
利用模型②，該地區(qū)2023年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為
＝99＋17.5×9＝256.5(億元).
(2)利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.
理由如下：
(ⅰ)從折線圖可以看出，2005年至2021年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2005年至2021年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì).2015年相對(duì)2014年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2015年至2021年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2015年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用2015年至2021年的數(shù)據(jù)建立的線性模型＝99＋17.5t可以較好地描述2015年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.
(ⅱ)從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2021年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.
　考點(diǎn)三　獨(dú)立性檢驗(yàn)
例3
解　(1)根據(jù)題表中數(shù)據(jù)知，甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是＝0.75，乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是＝0.6.
(2)需假設(shè)H0為：甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量無差異.
根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)可得
χ2＝＝≈10.256＞6.635＝x0.01.
根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.
此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.
訓(xùn)練2
解　(1)由所給數(shù)據(jù)，得該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率的估計(jì)值如下表：
空氣質(zhì)量等級(jí) 1 2 3 4
概率的估計(jì)值 0.43 0.27 0.21 0.09
(2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為
(100×20＋300×35＋500×45)＝350.
(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：
人次≤400 人次>400
空氣質(zhì)量好 33 37
空氣質(zhì)量不好 22 8
零假設(shè)為H0：
一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量無關(guān).
根據(jù)列聯(lián)表得
χ2＝≈5.820>3.841＝xα.
根據(jù)小概率值α＝0.050的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，可推斷H0不成立，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，可認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).
基礎(chǔ)夯實(shí)
1．D　
2.D　
3.C
4.D
5.A　
6.D
7.B
8.D
9．D　
10.D　
11．C
12.BC　
13.AD　
14.ACD
15．AD　
16.ABD
17.AC
18.2ln 2＋2
19．57　
20.R
21.10
22.①
23．4.722
24．0.538　支持
25.解　(1)“贊成定價(jià)者”的月平均收入為x1＝
≈50.56.
“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入為x2＝
＝38.75，
∴“贊成定價(jià)者”與“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2＝50.56－38.75＝11.81(百元).
(2)根據(jù)條件可得2×2列聯(lián)表如下：
對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度 人均月收入 合計(jì)
不低于55百元的人數(shù) 低于55百元的人數(shù)
認(rèn)為價(jià)格偏高者 3 29 32
贊成定價(jià)者 7 11 18
合計(jì) 10 40 50
零假設(shè)為H0：月收入以55百元為分界點(diǎn)對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度無差異.
χ2＝≈6.27<6.635＝x0.01，
∴根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為“月收入以55百元為分界點(diǎn)對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度沒有差異”.
26.解　(1)由已知得樣本平均數(shù)為＝y(tǒng)i＝60，從而該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為60×200＝12 000.
(2)樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)為
r＝
＝＝≈0.94.
(3)分層隨機(jī)抽樣：根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層，再對(duì)200個(gè)地塊進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣.
理由如下：由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系.由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大，采用分層隨機(jī)抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).
27．解　(1)樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值
＝＝0.06(m2)，
樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值＝＝0.39(m3)，
據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.06 m2，平均一棵的材積量為0.39 m3.
(2)r＝
＝≈≈0.97.
(3)設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為Y m3，
又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，
可得＝，解得Y＝1 209.
則該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為1 209 m3.
28．解　(1)根據(jù)題表中數(shù)據(jù)知，甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是＝0.75，乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是＝0.6.
(2)零假設(shè)為H0：甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量無差異，
根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)可得
χ2＝
＝≈10.256>6.635＝x0.01，
所以依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異．
29．解　(1)由直方圖的性質(zhì)可知，0.005×10＋0.010×10＋0.025×10＋10a＋0.020×10＝1，
解得a＝0.040，
因?yàn)?0.02＋0.04)×10＝0.6>0.5，所以中位數(shù)位于[80,90)內(nèi)，
設(shè)中位數(shù)為x，則有0.020×10＋0.040×(90－x)＝0.5，
解得x＝82.5.
故綜合評(píng)分的中位數(shù)為82.5.
(2)由(1)得優(yōu)質(zhì)花苗的頻率為0.6，
所以樣本中優(yōu)質(zhì)花苗的數(shù)量為60，
得如下列聯(lián)表：
優(yōu)質(zhì)花苗 非優(yōu)質(zhì)花苗 合計(jì)
甲培育法 20 30 50
乙培育法 40 10 50
合計(jì) 60 40 100
零假設(shè)為H0：優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法無關(guān)，
χ2＝
≈16.667>6.635＝x0.01，
所以根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān)．
優(yōu)化提升
30.C
31．B
32．CD
33．BD
34．BC
35．ABC
36．46
37．0.818
38.
39.解　(1)將y＝2bx＋a兩邊取對(duì)數(shù)得log2 y＝bx＋a，令z＝log2 y，則＝x＋，
∵＝4，∴根據(jù)最小二乘估計(jì)可知
＝≈0.3，
∴＝－＝5－0.3×4＝3.8，
∴回歸方程為＝0.3x＋3.8，即＝20.3x＋3.8.
(2)①甲建立的回歸模型：R＝1－≈0.939>R＝0.893.
∴甲建立的回歸模型擬合效果更好.
②由①知，甲建立的回歸模型擬合效果更好.
設(shè)20.3x＋3.8≥100，解得0.3x＋3.8≥log2 100＝2＋2log2 5，解得x≥9.3.
∴科技投入的費(fèi)用至少要9.3百萬元，下一年的收益才能達(dá)到1億.第9部分第1節(jié)《隨機(jī)抽樣與統(tǒng)計(jì)圖表》-2025屆高考一輪復(fù)習(xí)-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實(shí)+優(yōu)化提升
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．從某市參加升學(xué)考試的學(xué)生中隨機(jī)抽查1 000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，在這個(gè)問題中，下列說法錯(cuò)誤的是(　　)
A．總體指的是該市參加升學(xué)考試的全體學(xué)生
B．樣本是指1 000名學(xué)生
C．樣本量指的是1 000名學(xué)生
D．個(gè)體指的是該市參加升學(xué)考試的每一名學(xué)生
2．已知某一段公路限速70千米/時(shí)，現(xiàn)抽取400輛通過這一段公路的汽車的速度，其頻率分布直方圖如圖所示，則這400輛汽車中在該路段超速的有________輛．
3．為了了解我國(guó)某品牌手機(jī)的銷售情況，小張?jiān)谀尘W(wǎng)站上下載了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖．
小張是通過________獲取數(shù)據(jù)．
【知識(shí)歸納】
1．總體、個(gè)體、樣本
調(diào)查對(duì)象的全體(或調(diào)查對(duì)象的某些指標(biāo)的全體)稱為 ，組成總體的每一個(gè)調(diào)查對(duì)象(或每一個(gè)調(diào)查對(duì)象的相應(yīng)指標(biāo))稱為 ，在抽樣調(diào)查中，從總體中抽取的那部分個(gè)體稱為 ，樣本中包含的個(gè)體數(shù)稱為 ，簡(jiǎn)稱樣本量．
2．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
________和 是比較常用的兩種方法．
3．分層隨機(jī)抽樣
一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為 ，每一個(gè)子總體稱為 ．
4．統(tǒng)計(jì)圖表
(1)常見的統(tǒng)計(jì)圖表有 、 、 、 等．
(2)作頻率分布直方圖的步驟
①求 ；
②決定 與 ；
③將 分組；
④列頻率分布表；
⑤畫頻率分布直方圖．
常用結(jié)論：
1．利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣要注意按比例抽取，若各層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)不都是整數(shù)，可以進(jìn)行一定的技術(shù)處理，比如將結(jié)果取成整數(shù)等．
2．在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，以層數(shù)是2層為例，如果第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n，第1層和第2層的樣本平均數(shù)分別為，，樣本平均數(shù)為，則＝＋＝＋.
3．頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距，不要和條形圖混淆．
【題型展示】
題型一　抽樣方法
例1　(1)某社區(qū)為迎接中秋節(jié)，組織了隆重的慶祝活動(dòng)，為全面了解社區(qū)居民的文娛喜好，已知參加活動(dòng)的老年人、中年人、青年人的人數(shù)比為10∶13∶12，如果采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從所有人中抽取一個(gè)70人的樣本進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)抽取的青年人的人數(shù)為(　　)
A．20 B．22 C．24 D．26
(2)總體由編號(hào)01,02，…，29,30的30個(gè)個(gè)體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6個(gè)個(gè)體，選取方法是從第1行的第6列和第7列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為(　　)
第1行　78　 16　 62　 32　 08　 02　 62
42　 62　 52　 53　 69　 97　 28
01　 98
第2行　32　 04　 92　 34　 49　 35　 82　
00　 36　 23　 48　 69　 69　 38
74　 81
A．19 B．25 C．26 D．27
跟蹤訓(xùn)練1　(1)假設(shè)要考查某公司生產(chǎn)的500 g袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)，先將800袋牛奶按000,001，…，799進(jìn)行編號(hào)，若從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀，則得到的第4個(gè)個(gè)體的編號(hào)是________．
(下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行到第9行)
84421753315724550688770474476721763350258392120676
63016378591695566719981050717512867358074439523879
33211234297864560782524207443815510013429966027954
(2)2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”設(shè)計(jì)造型可愛，市場(chǎng)供不應(yīng)求，某廠的三個(gè)車間在一個(gè)小時(shí)共生產(chǎn)450個(gè)冰墩墩，在出廠前要檢查這批冰墩墩的質(zhì)量，決定采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法進(jìn)行抽取，若從一、二、三車間中抽取的冰墩墩數(shù)量分別為a，b，c且a，b，c構(gòu)成等差數(shù)列，則第二車間生產(chǎn)的冰墩墩的個(gè)數(shù)為(　　)
A．200 B．300 C．120 D．150
題型二　統(tǒng)計(jì)圖表
例2　(1)(多選)我國(guó)人口老齡化加劇，出現(xiàn)勞動(dòng)人口不斷減少，生育率降低等問題．為了緩解人口壓力，我國(guó)陸續(xù)開放二胎、三胎政策．為了解戶籍和性別對(duì)生育多胎(二胎或三胎)選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機(jī)抽取了容量為100的調(diào)查樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)村戶籍各50人；男性60人，女性40人．繪制不同群體中傾向選擇生育多胎與傾向選擇不生育多胎的人數(shù)比例圖(如圖所示)，其中陰影部分表示傾向選擇生育多胎的對(duì)應(yīng)比例，則下列敘述中正確的是(　　)
A．是否傾向選擇生育多胎與戶籍有關(guān)
B．是否傾向選擇生育多胎與性別有關(guān)
C．傾向選擇生育多胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同
D．傾向選擇不生育多胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)
(2)(多選)新式茶飲是指以上等茶葉通過萃取濃縮液，再根據(jù)消費(fèi)者偏好，添加牛奶、堅(jiān)果、檸檬等小料調(diào)制而成的飲料．如圖為2022年我國(guó)消費(fèi)者購買新式茶飲的頻次扇形圖及月均消費(fèi)新式茶飲金額的條形圖．
根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)圖，下列結(jié)論中正確的是(　　)
A．每周都消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比不到90%
B．每天都消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比超過20%
C．月均消費(fèi)新式茶飲50～200元的消費(fèi)者占比超過50%
D．月均消費(fèi)新式茶飲超過100元的消費(fèi)者占比超過60%
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(多選)某中學(xué)組織三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行禁毒知識(shí)競(jìng)賽．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到成績(jī)排在前200名學(xué)生分布的扇形圖(圖1)和其中的高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖(圖2)．則下列命題正確的是(　　)
A．成績(jī)排在前200名的200人中，高二人數(shù)比高三人數(shù)多10
B．成績(jī)排在第1～50名的50人中，高一人數(shù)比高二的多
C．成績(jī)排在第51～150名的100人中，高三人數(shù)占比可能超過
D．成績(jī)排在第51～100名的50人中，高二人數(shù)肯定多于23
(2)已知全國(guó)農(nóng)產(chǎn)品批發(fā)價(jià)格200指數(shù)月度變化情況如圖所示，下列選項(xiàng)正確的是(　　)
A．全國(guó)農(nóng)產(chǎn)品夏季價(jià)格比冬季低
B．全國(guó)農(nóng)產(chǎn)品批發(fā)價(jià)格200指數(shù)2022年每個(gè)月逐漸增加
C．2022年“菜籃子”產(chǎn)品批發(fā)價(jià)格指數(shù)與農(nóng)產(chǎn)品批發(fā)價(jià)格200指數(shù)趨勢(shì)基本保持一致
D．2022年6月農(nóng)產(chǎn)品批發(fā)價(jià)格200指數(shù)大于126
題型三　頻率分布直方圖
例3　下面是北方某城市2022年1～2月的日平均氣溫(單位：℃)的記錄數(shù)據(jù)：
－3　2　 －4　－7　－11　－1　7　 8　 9　－6
－14 －18 －15 －9 －6 －1 0 5 －4 －9
－6 －8 －12 －16 －19 －15 －22 －25 －24 －19
－8 －6 －15 －11 －12 －19 －25 －24 －18 －17
－14 －22 －13 －9 －6 0 －1 5 －4 －9
－3 2 －4 －4 －1 7 5 －6 －5
(1)將數(shù)據(jù)適當(dāng)分組，并畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖；
(2)試估計(jì)該城市2022年1～2月的日平均氣溫在0℃以下的天數(shù)所占的百分比．
跟蹤訓(xùn)練3　某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，進(jìn)行了一次摸底考試，從中選取60名學(xué)生的成績(jī)，分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六組后，得到不完整的頻率分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問題：
(1)求分?jǐn)?shù)在區(qū)間[70,80)內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；
(2)根據(jù)評(píng)獎(jiǎng)規(guī)則，排名在前10%的學(xué)生可以獲獎(jiǎng)，請(qǐng)你估計(jì)獲獎(jiǎng)的學(xué)生至少需要多少分？
基礎(chǔ)夯實(shí)
1．下列情況中，適合用全面調(diào)查的是(　　)
A．檢查某人血液中的血脂含量
B．調(diào)查某地區(qū)的空氣質(zhì)量狀況
C．乘客上飛機(jī)前的安檢
D．調(diào)查某市市民對(duì)垃圾分類處理的意識(shí)
2.從某班50名同學(xué)中選出5人參加戶外活動(dòng)，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，先將50名同學(xué)按01，02，…，50進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)表的第1行第5列和第6列數(shù)字開始從左往右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為(　　)
注：表為隨機(jī)數(shù)表的第1行與第2行
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297
7424 6792 4281 1457 2042 5332 3732 1676
A.24 B.36 C.46 D.47
3.某中學(xué)400名教師的年齡分布情況如圖，現(xiàn)要從中抽取40名教師作樣本，若用分層隨機(jī)抽樣方法，則40歲以下年齡段應(yīng)抽取(　　)
A.40人 B.200人 C.20人 D.10人
4.在某中學(xué)舉行的環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽中，將三個(gè)年級(jí)參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分為5組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五小組，已知第二小組的頻數(shù)是40，則成績(jī)?cè)?0～100分的學(xué)生人數(shù)是(　　)
A.15 B.18 C.20 D.25
5.某學(xué)校于3月12日組織師生舉行植樹活動(dòng)，購買垂柳、銀杏、側(cè)柏、海桐四種樹苗共計(jì)1 200棵，所占比例如圖所示．高一、高二、高三報(bào)名參加植樹活動(dòng)的人數(shù)分別為600,400,200，若每種樹苗均按各年級(jí)報(bào)名人數(shù)的比例進(jìn)行分配，則高三年級(jí)應(yīng)分得的側(cè)柏的棵數(shù)為(　　)
A．34 B．46 C．50 D．70
6.要完成下列兩項(xiàng)調(diào)查：(1)某社區(qū)有100戶高收入家庭，210戶中等收入家庭，90戶低收入家庭，從中抽取100戶調(diào)查購買力的某項(xiàng)指標(biāo)；(2)從某中學(xué)高二年級(jí)的10名體育特長(zhǎng)生中抽取3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況.應(yīng)采取的抽樣方法是(　　)
A.(1)(2)都用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法
B.(1)用分層隨機(jī)抽樣法，(2)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法
C.(1)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，(2)用分層隨機(jī)抽樣法
D.(1)(2)都用分層隨機(jī)抽樣法
7．下列調(diào)查方式合適的是(　　)
A．為了了解一批炮彈的殺傷半徑，采用普查的方式
B．為了了解一批玉米種子的發(fā)芽率，采用普查的方式
C．為了了解一條河流的水質(zhì)，采用抽樣調(diào)查的方式
D．為了了解一個(gè)寢室的學(xué)生(共5個(gè)人)每周體育鍛煉的時(shí)間，采用抽樣調(diào)查的方式
8．某工廠為了對(duì)40個(gè)零件進(jìn)行抽樣調(diào)查，將其編號(hào)為00,01，…，38,39.現(xiàn)要從中選出5個(gè)，利用下面的隨機(jī)數(shù)表，從第一行第3列開始，由左至右依次讀取，則選出來的第5個(gè)零件編號(hào)是(　　)
0347　4373　8636　9647　3661　4698　6371　6233　2616　8045　6011　1410
A．36 B．16 C．11 D．14
9．從某中學(xué)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高數(shù)據(jù)(單位：cm)繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．若要從身高在[150,160)，[160,170)，[170,180]三組內(nèi)的學(xué)生中，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法選取16人參加一次活動(dòng)．則從身高在[170,180]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為(　　)
A．3 B．4 C．5 D．7
10.(多選)某中學(xué)高一年級(jí)有20個(gè)班，每班50人；高二年級(jí)有30個(gè)班，每班45人.甲就讀于高一，乙就讀于高二.學(xué)校計(jì)劃從這兩個(gè)年級(jí)中共抽取235人進(jìn)行視力調(diào)查，下列說法中正確的有(　　)
A.應(yīng)該采用分層隨機(jī)抽樣法
B.高一、高二年級(jí)應(yīng)分別抽取100人和135人
C.乙被抽到的可能性比甲大
D.該問題中的總體是高一、高二年級(jí)的全體學(xué)生的視力
11.(多選)港珠澳大橋是中國(guó)境內(nèi)一座連接中國(guó)香港、廣東珠海和中國(guó)澳門的橋隧工程，因其超大的建筑規(guī)模、空前的施工難度以及頂尖的建造技術(shù)聞名世界，為內(nèi)地前往香港的游客提供了便捷的交通途徑，某旅行社分年齡統(tǒng)計(jì)了大橋落地以后，由香港大橋?qū)崿F(xiàn)內(nèi)地前往香港的老中青旅客的比例分別為5∶2∶3，現(xiàn)使用分層隨機(jī)抽樣的方法從這些旅客中隨機(jī)抽取n名，若青年旅客抽到60人，則(　　)
A.老年旅客抽到100人
B.中年旅客抽到20人
C.n＝200
D.被抽到的老年旅客以及中年旅客人數(shù)之和超過200人
12.(多選)我國(guó)新冠肺炎疫情防控進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是(　　)
A.這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加
B.這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量
C.第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均增大都超過80%
D.第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量
13.(多選)某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在一周生活方面的支出情況，抽出了一個(gè)樣本量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50，60)元的學(xué)生有60人，則下列說法正確的是(　　)
A.樣本中支出在[50，60)元的頻率為0.03
B.樣本中支出不少于40元的人數(shù)為132
C.n的值為200
D.若該校有2 000名學(xué)生，則一定有600人的支出在[50，60)元
14．(多選)某大學(xué)通過專業(yè)化、精細(xì)化、信息化和國(guó)際化的就業(yè)指導(dǎo)工作，引導(dǎo)學(xué)生把個(gè)人職業(yè)生涯發(fā)展同國(guó)家社會(huì)需要緊密結(jié)合，鼓勵(lì)學(xué)生到祖國(guó)最需要的地方建功立業(yè).2022年該校畢業(yè)生中，有本科生2 971人，碩士生2 527人，博士生1 467人，畢業(yè)生總體充分實(shí)現(xiàn)就業(yè)，就業(yè)地域分布更趨均勻合理，實(shí)現(xiàn)畢業(yè)生就業(yè)率保持高位和就業(yè)質(zhì)量穩(wěn)步提升．如圖，下列說法正確的是(　　)
A．博士生有超過一半的畢業(yè)生選擇在北京就業(yè)
B．畢業(yè)生總?cè)藬?shù)超半數(shù)選擇在北京以外的單位就業(yè)
C．到四川省就業(yè)的碩士畢業(yè)生人數(shù)比到該省就業(yè)的博士畢業(yè)生人數(shù)多
D．到浙江省就業(yè)的畢業(yè)生人數(shù)占畢業(yè)生總?cè)藬?shù)的12.8%
15.從一群玩游戲的小孩中隨機(jī)抽出k人，一人分一個(gè)蘋果，讓他們返回繼續(xù)游戲.過了一會(huì)兒，再從中任取m人，發(fā)現(xiàn)其中有n個(gè)小孩曾分過蘋果，估計(jì)參加游戲的小孩的人數(shù)為________.
16.為了解學(xué)生“陽光體育”活動(dòng)的情況，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了n名學(xué)生的“陽光體育”活動(dòng)時(shí)間(單位：分鐘)，所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間[10，110]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示.已知活動(dòng)時(shí)間在[10，35)內(nèi)的頻數(shù)為80，則n的值為________.
17.某班的數(shù)學(xué)老師要對(duì)該班一模考試的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)，先將該班70名同學(xué)按00，01，02，…，69進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)表第9行第9列的數(shù)開始向右讀，則選出的10個(gè)樣本中第8個(gè)樣本的編號(hào)是________.
注：以下是隨機(jī)數(shù)表的第8行和第9行
第8行：
63　　01　　63　　78　　59　　16　　95　　55　　67　　19　　98
10　　50　　71　　75　　12　　86　　73　　58　　07　　44　　39
52　　38　　79
第9行：
33　　21　　12　　34　　29　　78　　64　　56　　07　　82　　52
42　　07　　44　　38　　15　　51　　00　　13　　42　　99　　66
02　　79　　54
18.一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如表(單位：輛)：
轎車A 轎車B 轎車C
舒適型 100 150 z
標(biāo)準(zhǔn)型 300 450 600
按類型用分層隨機(jī)抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛，則z的值為________.
19．在樣本頻率分布直方圖中，共有9個(gè)小長(zhǎng)方形，若中間一個(gè)小長(zhǎng)方形面積等于其他8個(gè)小長(zhǎng)方形的面積和的，且樣本容量為140，則中間一組的頻數(shù)為________．
20.某汽車研究院現(xiàn)有300名研究員，他們的學(xué)歷情況如圖所示，該研究院今年計(jì)劃招聘一批新研究員，并決定不再招聘本科生，且使得招聘后本科生的比例下降到15%，碩士生的比例不變，則該研究院今年計(jì)劃招聘的碩士生人數(shù)為________．
21．某手機(jī)店根據(jù)手機(jī)銷售的相關(guān)數(shù)據(jù)繪制了兩幅統(tǒng)計(jì)圖．來自該店財(cái)務(wù)部的數(shù)據(jù)報(bào)告表明，該手機(jī)店 1～4 月的手機(jī)銷售總額是290萬元．請(qǐng)根據(jù)圖1、圖2解答下列問題：
圖1
圖2
(1)該手機(jī)店3月份的銷售額為多少萬元？
(2)該店1月份音樂手機(jī)的銷售額為多少萬元？
(3)小剛觀察圖2后，認(rèn)為四月份音樂手機(jī)的銷售額比3月份減少了，你同意他的看法嗎？請(qǐng)說明理由．
22．為了了解某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品情況，從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為200的樣本，測(cè)量它們的尺寸(單位：mm)，并將數(shù)據(jù)分為[92,94)，[94,96)，[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]七組，其頻率分布直方圖如圖所示．
(1)求圖中的x值；
(2)根據(jù)頻率分布直方圖，求200件樣本中尺寸在[98,100)內(nèi)的樣本數(shù)；
(3)記產(chǎn)品尺寸在[98,102)內(nèi)為A等品，每件可獲利5元；產(chǎn)品尺寸在[92,94)內(nèi)為不合格品，每件虧損2元；其余為合格品，每件可獲利3元．若該工廠一個(gè)月共生產(chǎn)3 000件產(chǎn)品．以樣本的頻率代替總體在各組的頻率，若單月利潤(rùn)未能達(dá)到11 000元，則需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造．試判斷是否需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造．
優(yōu)化提升
23．工業(yè)生產(chǎn)者出廠價(jià)格指數(shù)(PPI)是反映工業(yè)企業(yè)產(chǎn)品第一次出售時(shí)的出廠價(jià)格的變化趨勢(shì)和變動(dòng)幅度．根據(jù)下面提供的我國(guó)2020年1月－2021年12月的工業(yè)生產(chǎn)者出廠價(jià)格指數(shù)的月度同比(將上一年同月作為基期進(jìn)行對(duì)比的價(jià)格指數(shù))和月度環(huán)比(將上月作為基期進(jìn)行對(duì)比的價(jià)格指數(shù))漲跌情況的折線圖判斷，以下結(jié)論中正確的是(　　)
A．2020年各月的PPI在逐月增大
B．2020年各月的PPI均高于2019年同期水平
C．2021年1月～12月各月的PPI在逐月減小
D．2021年1月～12月各月的PPI均高于2020年同期水平
24．為了研究人們生活健康情況，某市隨機(jī)選取年齡在15～75歲之間的1 000人進(jìn)行調(diào)查，得到頻率分布直方圖如圖所示，其中＝，利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從年齡在[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65)，[65,75]之間共選取20名市民書寫生活健康的報(bào)告，其中選取年齡在[35,45)內(nèi)的市民人數(shù)為(　　)
A．2 B．3 C．4 D．7
25．(多選)2022年舉辦的北京冬奧會(huì)促進(jìn)了我國(guó)冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，冰雪運(yùn)動(dòng)人數(shù)快速上升，冰雪運(yùn)動(dòng)市場(chǎng)需求得到釋放，將引領(lǐng)戶外用品行業(yè)市場(chǎng)進(jìn)一步增長(zhǎng)．下面是2015年至2021年中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次(單位：萬人次)與同比增長(zhǎng)率的統(tǒng)計(jì)圖，則下面結(jié)論中正確的是(　　)
A．2015年至2021年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次逐年增加
B．2016年至2018年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次和同比增長(zhǎng)率均逐年增加
C．2021年與2016年相比，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次的同比增長(zhǎng)率近似相等，所以同比增長(zhǎng)人數(shù)也近似相等
D．2021年與2019年相比，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次增長(zhǎng)率約為30.5%
26.(多選)去年7月，有關(guān)部門出臺(tái)在疫情防控常態(tài)化條件下推進(jìn)電影院恢復(fù)開放的通知，規(guī)定低風(fēng)險(xiǎn)地區(qū)在電影院各項(xiàng)防控措施有效落實(shí)到位的前提下，可有序恢復(fù)開放營(yíng)業(yè).一批影院恢復(fù)開放后，統(tǒng)計(jì)影院連續(xù)14天的相關(guān)數(shù)據(jù)得到如下的統(tǒng)計(jì)圖表.其中，編號(hào)為1的日期是周一，票房指影院門票銷售金額，觀影人次相當(dāng)于門票銷售數(shù)量.
由統(tǒng)計(jì)圖表可以看出，連續(xù)14天內(nèi)(　　)
A.周末日均的票房和觀影人次高于非周末
B.影院票房，第二周相對(duì)于第一周同期趨于上升
C.觀影人次，在第一周的統(tǒng)計(jì)中逐日增長(zhǎng)量大致相同
D.每天的平均單場(chǎng)門票價(jià)格都高于20元
27.某工廠的三個(gè)車間在12月份共生產(chǎn)了3 600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行抽取，若從第一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為a，b，c，且a，b，c構(gòu)成等差數(shù)列，則第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為________.
28.為了了解全區(qū)科級(jí)干部“黨風(fēng)廉政知識(shí)”的學(xué)習(xí)情況，按照分層隨機(jī)抽樣的方法，從全區(qū)320名正科級(jí)干部和1 280名副科級(jí)干部中抽取40名科級(jí)干部預(yù)測(cè)全區(qū)科級(jí)干部“黨風(fēng)廉政知識(shí)”的學(xué)習(xí)情況.現(xiàn)將這40名科級(jí)干部分為正科級(jí)干部組和副科級(jí)干部組，利用同一份試卷分別進(jìn)行預(yù)測(cè).經(jīng)過預(yù)測(cè)后，兩組各自將預(yù)測(cè)成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析如下表：
分組 人數(shù) 平均成績(jī)
正科級(jí)干部組 a 80
副科級(jí)干部組 b 70
(1)則a＝________，b＝________.
(2)這40名科級(jí)干部預(yù)測(cè)成績(jī)的平均分＝________.
29.對(duì)某市“四城同創(chuàng)”活動(dòng)中800名志愿者的年齡抽樣調(diào)查統(tǒng)計(jì)后得到頻率分布直方圖(如圖)，但是年齡組為[25，30)的數(shù)據(jù)不慎丟失，則依據(jù)此圖可得：
(1)[25，30)年齡組對(duì)應(yīng)小長(zhǎng)方形的高為________；
(2)據(jù)此估計(jì)該市“四城同創(chuàng)”活動(dòng)中志愿者年齡在[25，35)的人數(shù)為________.
30．某地各項(xiàng)事業(yè)取得令人矚目的成就，以2022年為例，社會(huì)固定資產(chǎn)總投資約為3 730億元，其中包括中央項(xiàng)目、省屬項(xiàng)目、地(市)屬項(xiàng)目、縣(市)屬項(xiàng)目和其他項(xiàng)目．圖1、圖2分別是這五個(gè)項(xiàng)目的投資額不完整的條形圖和扇形圖，請(qǐng)完成下列問題．
(1)地(市)屬項(xiàng)目投資額為________億元；
(2)在圖2中，縣(市)屬項(xiàng)目部分所占百分比為m%，對(duì)應(yīng)的圓心角為β，則m＝________，β＝________度(m，β均取整數(shù))．
參考答案：
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．C　2.80　3.查詢
【知識(shí)歸納】
1．總體　個(gè)體　樣本　樣本容量
2．抽簽法　隨機(jī)數(shù)法
3．分層隨機(jī)抽樣　層
4．(1)條形圖　扇形圖　折線圖
頻率分布直方圖　(2)①極差
②組距　組數(shù)　③數(shù)據(jù)
【題型展示】
例1 (1)C
(2)B
跟蹤訓(xùn)練1 (1)068
(2)D
例2 (1)AD
(2)BC
跟蹤訓(xùn)練2 (1)AC
(2)C
例3 解　(1)經(jīng)過統(tǒng)計(jì)可得頻率分布表如下．
分組 頻數(shù) 頻率
[－25，－20) 6 0.020
[－20，－15) 7 0.024
[－15，－10) 10 0.034
[－10，－5) 13 0.044
[－5,0) 12 0.041
[0,5) 4 0.013
[5,10] 7 0.024
合計(jì) 59 1 0.2
頻率分布直方圖為
(2)該城市2022年1～2月的日平均氣溫在0℃以下的天數(shù)為48,2022年1～2月共有59天，
所以該城市2022年1～2月的日平均氣溫在0℃以下的天數(shù)所占的百分比為×100%≈81%.
跟蹤訓(xùn)練3 解　(1)設(shè)分?jǐn)?shù)在[70,80)內(nèi)的頻率為x，
根據(jù)頻率分布直方圖，可得(0.01＋0.015＋0.02＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，
解得x＝0.25，所以分?jǐn)?shù)在[70,80)內(nèi)的頻率為0.25，
補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖，如圖所示．
(2)因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)在區(qū)間[80,90)內(nèi)的頻率為0.25，在區(qū)間[90,100]內(nèi)的頻率為0.05，
而0.05<10%<0.25＋0.05，
所以設(shè)排名前10%的分界點(diǎn)為90－a，則0.025a＋0.005×10＝10%，解得a＝2，
所以排名前10%的分界點(diǎn)為88分，即獲獎(jiǎng)的學(xué)生至少需要88分．
基礎(chǔ)夯實(shí)
1．C　
2.A
3.C
4.A
5.C
6.B
7.C　
8.C　
9.B　
10.ABD
11.AC
12.CD
13.BC
14．ABC
15.
16.800
17.38
18.400
19．40　
20.40
21．解　(1)由已知及圖1得，3月份手機(jī)銷售額為
290－(85＋80＋65)＝60(萬元)．
(2)由圖1及圖2得，1月份音樂手機(jī)銷售額為85×23%＝19.55(萬元)．
(3)不同意．由圖1及圖2知，3月份音樂手機(jī)銷售額為
60×18%＝10.8(萬元)，
4月份音樂手機(jī)銷售額為
65×17%＝11.05(萬元)，
11．05>10.8，所以4月份音樂手機(jī)銷售額比3月份音樂手機(jī)銷售額增加了，所以不同意小剛的看法．
22．解　(1)由(0.02＋0.04＋0.06＋0.07＋0.09＋0.10＋x)×2＝1，
解得x＝0.12.
(2)200件樣本中尺寸在[98,100)內(nèi)的樣本數(shù)為200×0.09×2＝36.
(3)由題意可得，這批產(chǎn)品中優(yōu)等品有3 000×(0.18＋0.20)＝1 140(件)，
這批產(chǎn)品中不合格品有3 000×0.04＝120(件)，
這批產(chǎn)品中合格品有3 000－1 140－120＝1 740(件)，
1 140×5＋1 740×3－120×2
＝10 680(元)．
所以該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品一個(gè)月所獲得的利潤(rùn)為10 680元，
因?yàn)?0 680<11 000，
所以需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造．
優(yōu)化提升
23．D
24．D
25．ABD
26.AB
27.1 200
28.(1)8　32　(2)72
29.(1)0.04　(2)440
30．(1)830　(2)18　65第9部分第2節(jié)《用樣本估計(jì)總體》-2025屆高考一輪復(fù)習(xí)-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實(shí)+優(yōu)化提升
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，x9的方差為2，則數(shù)據(jù)2x1，2x2，…，2x9的方差為(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
2．某射擊運(yùn)動(dòng)員7次的訓(xùn)練成績(jī)分別為86,88,90,89,88,87,85，則這7次成績(jī)的第80百分位數(shù)為(　　)
A．88.5 B．89 C．91 D．89.5
3．某校體育節(jié)10名旗手的身高(單位：cm)分別為175,178,176,180,179,175,176,179,180,179，則中位數(shù)為________．
【知識(shí)歸納】
1.總體百分位數(shù)的估計(jì)
(1)第p百分位數(shù)的定義
一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.
(2)計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟
第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).
第2步，計(jì)算i＝n×p%.
第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).
2.樣本的數(shù)字特征
(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
(2)中位數(shù)：把n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
(3)平均數(shù)：把稱為a1，a2，…，an這n個(gè)數(shù)的平均數(shù).
(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是
s＝，
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].
常用結(jié)論：
1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系
(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).
(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的.
(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.
2.平均數(shù)、方差的公式推廣
(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是m＋a.
(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，那么
①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；
②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.
【題型展示】
題型一　樣本的數(shù)字特征和百分位數(shù)的估計(jì)
例1　(1)(多選)下面是某城市某日在不同觀測(cè)點(diǎn)對(duì)細(xì)顆粒物(PM2.5)的觀測(cè)值：
396　275　268　225　168　166　176　173　188　168　141　157
若在此組數(shù)據(jù)中增加一個(gè)比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù)，下列數(shù)字特征發(fā)生改變的是(　　)
A．極差 B．中位數(shù)
C．眾數(shù) D．平均數(shù)
(2)從某中學(xué)抽取10名同學(xué)，他們的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢?2,85,88,90,92,92,92,96,96,98(單位：分)，則這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)、第25百分位數(shù)分別為(　　)
A．92,85 B．92,88
C．95,88 D．96,85
延伸探究 本例中，第70百分位數(shù)是多少？
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(多選)冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)．自1924年起，每四年舉辦一屆.2022年2月在北京舉辦了第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，為了宣傳奧運(yùn)精神，紅星實(shí)驗(yàn)學(xué)校組織了甲、乙兩個(gè)社團(tuán)，利用一周的時(shí)間對(duì)外進(jìn)行宣傳，將每天宣傳的次數(shù)繪制成如圖所示的頻數(shù)分布折線圖，則(　　)
A．甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的眾數(shù)小于乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的眾數(shù)
B．甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的極差大于乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的極差
C．甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的平均數(shù)大于乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的平均數(shù)
D．甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的方差大于乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的方差
(2)某中學(xué)高一年級(jí)8名學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分150分)分別為85,90,93,99,101,103,116,130，則這8名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為(　　)
A．102 B．103 C．109.5 D．116
題型二　總體集中趨勢(shì)的估計(jì)
例2　治理沙漠化離不開優(yōu)質(zhì)的樹苗，現(xiàn)從苗圃中隨機(jī)地抽測(cè)了200株樹苗的高度(單位：cm)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求直方圖中a的值及眾數(shù)、中位數(shù)；
(2)若樹苗高度在185 cm及以上是可以移栽的合格樹苗．從樣本中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取20株樹苗作進(jìn)一步研究，不合格樹苗、合格樹苗分別應(yīng)抽取多少株？
跟蹤訓(xùn)練2　為了謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)學(xué)生對(duì)中國(guó)共產(chǎn)黨的熱愛，某學(xué)校舉辦了一場(chǎng)黨史競(jìng)賽活動(dòng)，共有500名學(xué)生參加了此次競(jìng)賽活動(dòng)．為了解本次競(jìng)賽活動(dòng)的成績(jī)，從中抽取了50名學(xué)生的成績(jī)(成績(jī)均為整數(shù)，滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，所有學(xué)生的成績(jī)都不低于60分，將這50名學(xué)生的成績(jī)(單位：分)進(jìn)行分組，第一組[60,70)，第二組[70,80)，第三組[80,90)，第四組[90,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求圖中m的值，并估計(jì)此次競(jìng)賽活動(dòng)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；
(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)此次競(jìng)賽活動(dòng)成績(jī)的平均數(shù)．若對(duì)成績(jī)不低于平均數(shù)的同學(xué)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，請(qǐng)估計(jì)在參賽的500名學(xué)生中有多少名學(xué)生獲獎(jiǎng)．
題型三　總體離散程度的估計(jì)
例3　某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下．
舊設(shè)備 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新設(shè)備 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為s和s.
(1)求，，s，s；
(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果－≥2，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高)．
跟蹤訓(xùn)練3　甲、乙兩名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
(1)求兩位學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均數(shù)和方差；
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？請(qǐng)說明理由．
基礎(chǔ)夯實(shí)
1．為做好疫情防控工作，某校堅(jiān)持落實(shí)“雙測(cè)溫兩報(bào)告”制度，以下是某宿舍6名學(xué)生某日上午的體溫記錄：36.3,36.1,36.4,36.7,36.5,36.6(單位：℃)，則該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為(　　)
A．36.7 B．36.6 C．36.5 D．36.4
2．已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)為2，方差為，則另一組數(shù)據(jù)3x1－2,3x2－2,3x3－2,3x4－2,3x5－2的平均數(shù)、方差分別為(　　)
A．2， B．2,1 C．4， D．4，
3.12名跳高運(yùn)動(dòng)員參加一項(xiàng)校際比賽，成績(jī)分別為1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，1.78，1.55，1.75(單位：m)，則比賽成績(jī)的75%分位數(shù)是(　　)
A.1.72 B.1.73 C.1.74 D.1.75
4.某樣本中共有5個(gè)數(shù)據(jù)，其中四個(gè)值分別為0，1，2，3，第五個(gè)值丟失，已知該樣本的平均數(shù)為1，則樣本方差為(　　)
A.2 B. C. D.
5.甲組數(shù)據(jù)為：5，12，16，21，25，37，乙組數(shù)據(jù)為：1，6，14，18，38，39，則甲、乙的平均數(shù)、極差及中位數(shù)相同的是(　　)
A.極差 B.平均數(shù)
C.中位數(shù) D.都不相同
6.演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是(　　)
A.中位數(shù) B.平均數(shù)
C.方差 D.極差
7．根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平均氣溫低于10 ℃即為入冬，將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)(記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù))作為一組樣本，現(xiàn)有4組樣本①，②，③，④，依次計(jì)算得到結(jié)果如下：
①平均數(shù)<4；
②平均數(shù)<4且極差小于或等于3；
③平均數(shù)<4且標(biāo)準(zhǔn)差s≤4；
④眾數(shù)等于5且極差小于或等于4.
則4組樣本中一定符合入冬指標(biāo)的共有(　　)
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
8.(多選)下表為2021年某煤炭公司1～10月份的煤炭生產(chǎn)量：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
產(chǎn)量(單位：萬噸) 23 25 24 17.5 17.5 21 26 29 30 27
則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.極差為12.5萬噸 B.平均數(shù)為24萬噸
C.中位數(shù)為24萬噸 D.眾數(shù)為17.5萬噸
9.(多選)某校進(jìn)行了一次創(chuàng)新作文大賽，共有100名同學(xué)參賽，經(jīng)過評(píng)判，這100名參賽者的得分都在[40，90]之間，其得分的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.得分在[40，60)之間的共有40人
B.從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，其得分在[60，80)之間的概率為0.5
C.估計(jì)得分的眾數(shù)為55
D.這100名參賽者得分的中位數(shù)為65
10．(多選)成立時(shí)間少于10年、估值超過10億美元且未上市的企業(yè)稱為獨(dú)角獸企業(yè).2022年中國(guó)新經(jīng)濟(jì)獨(dú)角獸企業(yè)分布較廣泛、覆蓋居民生活的各個(gè)方面．如圖為2022年中國(guó)新經(jīng)濟(jì)獨(dú)角獸企業(yè)TOP100的行業(yè)分布圖，在中國(guó)新經(jīng)濟(jì)獨(dú)角獸企業(yè)TOP100榜單中，京、滬、粵三地的企業(yè)數(shù)量共同占比達(dá)到70%.下列說法正確的是(　　)
A．隨著智能出行與共享經(jīng)濟(jì)觀念的普及，汽車交通行業(yè)備受投資者關(guān)注
B．在該TOP100榜單中獨(dú)角獸企業(yè)數(shù)量的中位數(shù)是3
C．在中國(guó)新經(jīng)濟(jì)獨(dú)角獸企業(yè)TOP100榜單中，京、滬、粵三地的企業(yè)超過82家
D．2022年中國(guó)新經(jīng)濟(jì)獨(dú)角獸企業(yè)TOP100榜單中，企業(yè)服務(wù)、汽車交通、先進(jìn)制造行業(yè)的企業(yè)數(shù)量共同占比超過30%
11．(多選)習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)，要堅(jiān)持健康第一的教育理念，加強(qiáng)學(xué)校體育工作，推動(dòng)青少年文化學(xué)習(xí)和體育鍛煉協(xié)調(diào)發(fā)展．某學(xué)校對(duì)高一年級(jí)學(xué)生每周在校體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)(單位：小時(shí))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布表：
分組 [2,3) [3,4) [4,5) [5,6]
頻率 0.25 0.30 0.20 0.25
則下列關(guān)于高一年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)的說法中正確的是(　　)
A．眾數(shù)約為2.5
B．中位數(shù)約為3.83
C．平均數(shù)為3.95
D．第80百分位數(shù)約為5.2
12．(多選)第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日在國(guó)家體育場(chǎng)鳥巢舉行了盛大開幕式．在冬奧會(huì)的志愿者選拔工作中，某高校承辦了面試工作，面試成績(jī)滿分100分，現(xiàn)隨機(jī)抽取了80名候選者的面試成績(jī)并分為五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)(　　)
A．b的值為0.25
B．候選者面試成績(jī)的中位數(shù)約為69.4
C．在被抽取的候選者中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間[65,75)之間的候選者有30人
D．估計(jì)候選者的面試成績(jī)的平均數(shù)約為69.5
13．電影《長(zhǎng)津湖》點(diǎn)燃了人們心中對(duì)英雄的崇敬之情，也更加顯示出如今和平生活的來之不易．某影院記錄了觀看此片的70位觀眾的年齡，其中年齡位于區(qū)間[10,20)內(nèi)的有10位，位于區(qū)間[20,30)內(nèi)的有20位，位于區(qū)間[30,40)內(nèi)的有25位，位于區(qū)間[40,50]內(nèi)的有15位，則這70位觀眾年齡的眾數(shù)的估計(jì)值為________．
14．已知某樣本數(shù)據(jù)分別為1,2,3，a,6，若樣本平均數(shù)＝3，則樣本方差s2＝________.
15.若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)＝5，方差s2＝2，則數(shù)據(jù)3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的平均數(shù)和方差分別為________.
16.為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了20名工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量得到頻率分布直方圖如圖所示，則：
(1)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在[55，75)的人數(shù)是________；
(2)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù)為________；
(3)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù)為________.
17.某年級(jí)120名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間.將測(cè)試結(jié)果分成5組：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如圖所示的頻率分布直方圖.如果從左到右的5個(gè)小矩形的面積之比為1∶3∶7∶6∶3，那么成績(jī)的70%分位數(shù)約為________秒.
18.一次數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽中，兩組學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢?br/>分?jǐn)?shù) 50 60 70 80 90 100
人數(shù) 甲組 2 5 10 13 14 6
乙組 4 4 16 2 12 12
經(jīng)計(jì)算，兩組的平均分都是80分，請(qǐng)根據(jù)所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，進(jìn)一步判斷這次競(jìng)賽中哪個(gè)組更優(yōu)秀，并說明理由.
19.某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)將參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求參賽學(xué)生的成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)；
(2)求參賽學(xué)生的平均成績(jī).
20．某學(xué)校對(duì)高一某班的同學(xué)進(jìn)行了身高(單位：cm)調(diào)查，將得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組后(除最后一組為閉區(qū)間外其余每組為左閉右開區(qū)間)，畫出如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求m的值；
(2)估計(jì)全班同學(xué)身高的中位數(shù)；
(3)估計(jì)全班同學(xué)身高的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)．
21．對(duì)參加某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的1 000名選手的初賽成績(jī)(滿分：100分)作統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)根據(jù)直方圖完成以下表格；
成績(jī) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
頻數(shù)
(2)求參賽選手初賽成績(jī)的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；
(3)如果從參加初賽的選手中選取380人參加復(fù)賽，那么如何確定進(jìn)入復(fù)賽的選手成績(jī)？
優(yōu)化提升
22．某校排球社的同學(xué)為訓(xùn)練動(dòng)作組織了墊排球比賽，以下為根據(jù)排球社50位同學(xué)的墊球個(gè)數(shù)畫的頻率分布直方圖，所有同學(xué)墊球數(shù)都在5～40之間．估計(jì)墊球數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是(　　)
A．17.5 B．18.75 C．27 D．28
23．(多選)某學(xué)校規(guī)定，若五個(gè)工作日內(nèi)學(xué)校某天有超過3個(gè)人的體溫測(cè)量值高于37.5 ℃，則需全員進(jìn)行核酸檢測(cè)．該校統(tǒng)計(jì)了五個(gè)工作日內(nèi)每天體溫超過37.5 ℃的人數(shù)，則根據(jù)這組數(shù)據(jù)的下列信息，能斷定該校不需全員進(jìn)行核酸檢測(cè)的是(　　)
A．中位數(shù)是1，平均數(shù)是1
B．中位數(shù)是1，眾數(shù)是0
C．中位數(shù)是2，眾數(shù)是2
D．平均數(shù)是2，方差是0.8
24．(多選)已知一組數(shù)據(jù)丟失了一個(gè)大于3的數(shù)據(jù)，剩下的六個(gè)數(shù)據(jù)分別是3,3,5,3,6,11，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的和是中位數(shù)的2倍，則丟失的數(shù)據(jù)可能是(　　)
A．4 B．12 C．18 D．20
25.(多選)為比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項(xiàng)能力指標(biāo)值(滿分為5分，分值高者為優(yōu))，繪制了如圖所示的六維能力雷達(dá)圖，例如圖中甲的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為4，乙的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為5，則下面敘述正確的是(　　)
A.甲的邏輯推理能力指標(biāo)值優(yōu)于乙的邏輯推理能力指標(biāo)值
B.甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值優(yōu)于乙的直觀想象能力指標(biāo)值
C.乙的六維能力指標(biāo)值整體水平優(yōu)于甲的六維能力指標(biāo)值整體水平
D.甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值優(yōu)于甲的直觀想象能力指標(biāo)值
26．若等差數(shù)列{xn}的公差為3，則x1，x2，x3，…，x9的方差為________．
27.氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為：“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22 ℃”，現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)(記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù))：
①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；
②乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體均值為24；
③丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8.
則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)的序號(hào)為________.
28.“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱.某市為了了解人們對(duì)“一帶一路”的認(rèn)知程度，對(duì)不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿分為100分(90分及以上為認(rèn)知程度高).現(xiàn)從參賽者中抽取了x人，按年齡分成5組，第一組：[20，25)，第二組：[25，30)，第三組：[30，35)，第四組：[35，40)，第五組：[40，45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有6人.
(1)求x；
(2)求抽取的x人的年齡的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；
(3)從該市大學(xué)生、軍人、醫(yī)務(wù)人員、工人、個(gè)體戶五種人中用分層隨機(jī)抽樣的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分別記為1～5組，從這5個(gè)按年齡分的組和5個(gè)按職業(yè)分的組中每組各選派1人參加“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，分別代表相應(yīng)組的成績(jī)，年齡組中1～5組的成績(jī)分別為93，96，97，94，90，職業(yè)組中1～5組的成績(jī)分別為93，98，94，95，90.
①分別求5個(gè)年齡組和5個(gè)職業(yè)組成績(jī)的平均數(shù)和方差；
②以上述數(shù)據(jù)為依據(jù)，評(píng)價(jià)5個(gè)年齡組和5個(gè)職業(yè)組對(duì)“一帶一路”的認(rèn)知程度，并談?wù)勀愕母邢?
參考答案：
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．D　2.B　3.178.5
【題型展示】
例1 (1)ABD
(2)B
延伸探究 解　10×70%＝7，第70百分位數(shù)是第7項(xiàng)與第8項(xiàng)的平均數(shù)，為＝94.
跟蹤訓(xùn)練1 (1)ABD
(2)C
例2 解　(1)∵(0.001 5＋0.011 0＋0.022 5＋0.030 0＋a＋0.008 0＋0.002 0)×10＝1，
∴a＝0.025 0，
眾數(shù)為＝190，
設(shè)中位數(shù)為x，∵(0.001 5＋0.011 0＋0.022 5)×10＝0.35<0.5，
(0.001 5＋0.011 0＋0.022 5＋0.030 0)×10＝0.65>0.5，
則1850.35＋0.030 0×(x－185)＝0.5，
∴x＝190.
故a＝0.025 0，眾數(shù)為190，
中位數(shù)為190.
(2)由題意可知，合格樹苗所占頻率為(0.030 0＋0.025 0＋0.008 0＋0.002 0)×10＝0.65，不合格樹苗所占頻率為1－0.65＝0.35，
所以不合格樹苗抽取
20×0.35＝7(株)，
合格樹苗抽取20×0.65＝13(株)，
故不合格樹苗、合格樹苗應(yīng)分別抽取7株和13株．
跟蹤訓(xùn)練2 解　(1)由頻率分布直方圖知
(0.01＋m＋0.04＋0.02)×10＝1，解得m＝0.03；
設(shè)此次競(jìng)賽活動(dòng)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為x0，因?yàn)閿?shù)據(jù)落在[60,80)內(nèi)的頻率為0.4，落在[60,90)內(nèi)的頻率為0.8，
從而可得80所以估計(jì)此次競(jìng)賽活動(dòng)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為82.5.
(2)由頻率分布直方圖及(1)知，
＝65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.2＝82，
此次競(jìng)賽活動(dòng)學(xué)生成績(jī)不低于82的頻率為0.2＋×0.4＝0.52，
則獲獎(jiǎng)的學(xué)生有
500×0.52＝260(名)，
所以估計(jì)此次競(jìng)賽活動(dòng)成績(jī)的平均數(shù)為82，在參賽的500名學(xué)生中有260名學(xué)生獲獎(jiǎng)．
例3 解　(1)由表格中的數(shù)據(jù)易得
＝×(－0.2＋0.3＋0＋0.2－0.1－0.2＋0＋0.1＋0.2－0.3)＋10.0
＝10.0，
＝×(0.1＋0.4＋0.1＋0＋0.1＋0.3＋0.6＋0.5＋0.4＋0.5)＋10.0
＝10.3，
s＝×[(9.7－10.0)2＋2×(9.8－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋2×(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)2]＝0.036，
s＝×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋(10.6－10.3)2]＝0.04.
(2)由(1)中數(shù)據(jù)可得－＝10.3－10.0＝0.3，
而2＝
＝，
顯然有－>2成立，所以認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高．
跟蹤訓(xùn)練3 解　(1)甲＝×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85，
乙＝×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85，
s＝×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(84－85)2]＝35.5，
s＝×[(92－85)2＋(95－85)2＋(80－85)2＋(75－85)2＋(83－85)2＋(80－85)2＋(90－85)2＋(85－85)2]＝41.
(2)由(1)知甲＝乙，s甲的成績(jī)較穩(wěn)定，所以派甲參賽比較合適．
基礎(chǔ)夯實(shí)
1．B　
2.D　
3.B
4.A
5.B
6.A
7．B
8.ABD
9.ABC
10.AD　
11.BCD
12．BD
13．35　
14.
15.16，18
16.(1)13　(2)62.5　(3)64
17.16.5
18.解　從不同的角度分析如下：
①甲組成績(jī)的眾數(shù)為90分，乙組成績(jī)的眾數(shù)為70分，從成績(jī)的眾數(shù)這一角度看，甲組成績(jī)好些.
②s＝×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172.
同理得s＝256.
因?yàn)閟＜s，所以甲組的成績(jī)比乙組的成績(jī)穩(wěn)定.
③甲、乙兩組成績(jī)的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分，其中甲組成績(jī)?cè)?0分以上(含80分)的有33人，乙組成績(jī)?cè)?0分以上(含80分)的有26人，從這一角度看，甲組成績(jī)總體較好.
④從成績(jī)統(tǒng)計(jì)表看，甲組成績(jī)大于或等于90分的有20人，乙組成績(jī)大于或等于90分的有24人，所以乙組成績(jī)?cè)诟叻侄蔚娜藬?shù)多.
同時(shí)，乙組滿分比甲組多6人，從這一角度看，乙組成績(jī)較好.
19.解　(1)因?yàn)轭l率分布直方圖中最高小長(zhǎng)方形所在的區(qū)間的中點(diǎn)值為65，所以眾數(shù)為65，
又因?yàn)榈谝粋€(gè)小長(zhǎng)方形的面積為0.3，
第二個(gè)小長(zhǎng)方形的面積是0.4，0.3＋0.4＞0.5，所以中位數(shù)在第二組，
設(shè)中位數(shù)為x，則0.3＋(x－60)×0.04＝0.5，解得x＝65，所以中位數(shù)為65.
(2)依題意，
可得平均成績(jī)?yōu)?55×0.030＋65×0.040＋75×0.015＋85×0.010＋95×0.005)×10＝67，
所以參賽學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?7分.
20．解　(1)由頻率分布直方圖可得(m＋0.010＋0.010＋0.015＋0.040)×10＝1，解得m＝0.025.
(2)設(shè)全班同學(xué)身高的中位數(shù)為x，由題可知x∈[165,175)，得0.10＋0.15＋(x－165)×0.040＝0.5，
解得x＝171.25，
故估計(jì)全班同學(xué)身高的中位數(shù)為171.25.
(3)估計(jì)全班同學(xué)身高的平均數(shù)為150×0.10＋160×0.15＋170×0.40＋180×0.25＋190×0.10＝171，
估計(jì)全班同學(xué)身高的方差為(150－171)2×0.10＋(160－171)2×0.15＋(170－171)2×0.40＋(180－171)2×0.25＋(190－171)2×0.10＝119.
21．解　(1)填表如下：
成績(jī) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
頻數(shù) 50 150 350 350 100
(2)平均數(shù)為55×0.05＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.35＋95×0.1＝78，
方差為(55－78)2×0.05＋(65－78)2×0.15＋(75－78)2×0.35＋(85－78)2×0.35＋(95－78)2×0.1＝101.
(3)進(jìn)入復(fù)賽的選手成績(jī)?yōu)?0＋×10＝82(分)，
所以初賽成績(jī)?yōu)?2分及以上的選手均可進(jìn)入復(fù)賽．(說明：回答82分以上，或82分及以上均可)．
優(yōu)化提升
22．D
23．AD
24．AC
25.AC
26．60
27.①③
28.解　(1)根據(jù)頻率分布直方圖得第一組的頻率為0.01×5＝0.05，∴＝0.05，∴x＝120.
(2)設(shè)中位數(shù)為a，則0.01×5＋0.07×5＋(a－30)×0.06＝0.5，
∴a＝≈32，則中位數(shù)為32.
(3)①5個(gè)年齡組成績(jī)的平均數(shù)為1＝×(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差為s＝×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.
5個(gè)職業(yè)組成績(jī)的平均數(shù)為2＝×(93＋98＋94＋95＋90)＝94，方差為s＝×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.
②從平均數(shù)來看兩組的認(rèn)知程度相同，從方差來看年齡組的認(rèn)知程度更穩(wěn)定(感想合理即可).

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