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第四章 數(shù)列
4.3.1等比數(shù)列的概念
第1課時(shí)
1.理解等比數(shù)列的定義,會(huì)用定義判斷一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列.
2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,并能靈活運(yùn)用公式進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.
3.掌握等比中項(xiàng)的定義并能解決相關(guān)問題.
4.體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的過程,提高邏輯推理能力與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
重點(diǎn)：等比數(shù)列、等比中項(xiàng)的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.
難點(diǎn)：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和運(yùn)用
（一）創(chuàng)設(shè)情境
回顧：
1.等差數(shù)列的概念
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的公差，公比通常用字母d表示.
2.等差中項(xiàng)
若三個(gè)數(shù) a，A，b 組成等差數(shù)列，那么 A 叫做 a 與 b 的等差中項(xiàng)．此時(shí)，2A＝a+b．
3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
設(shè)計(jì)意圖：通過已經(jīng)講述過的等差數(shù)列的研究方法，讓學(xué)生聯(lián)系、類比已學(xué)知識(shí)，為等比數(shù)列的概念的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。
（二）探究新知
任務(wù)1：探索等比數(shù)列的定義.
思考： 觀察下列兩個(gè)情境，情境中的兩個(gè)數(shù)列有哪些共同特征呢？
情境1：有一種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，4個(gè)分裂成8個(gè)，···，那么細(xì)胞分裂而成的個(gè)數(shù)依次是1，2， 4， 8，….
情境2：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭” 。如果將“一尺之棰”視為一份，那么每日剩下的部分依次為1,
思考：
(1)你能發(fā)現(xiàn)數(shù)列中相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系嗎 它們是等差數(shù)列嗎
1，2， 4， 8，….
1,
答：都不是等差數(shù)列,因?yàn)椴环系炔顢?shù)列的定義.
通過觀察數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系,你會(huì)發(fā)現(xiàn)有怎樣的共同特點(diǎn)
答：從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)非零常數(shù).
探究：
類比等差數(shù)列的概念，從上述幾個(gè)數(shù)列的規(guī)律中，你能抽象出這類數(shù)列的概念嗎？
師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考、討論交流．
教師提示，類比已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是一個(gè)好方法，比如“等差數(shù)列”；然后指引學(xué)生回顧等差數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，確定新數(shù)列的研究問題：相鄰兩項(xiàng)比是固定常數(shù)．
設(shè)計(jì)意圖：意在引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算的角度，類比已有研究對(duì)象的主要特征，發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的特殊數(shù)列作為研究對(duì)象，這樣的過程有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力．
總結(jié)：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示.
探究：你能嘗試用符號(hào)語言表示等比數(shù)列嗎？
總結(jié)：等比數(shù)列的符號(hào)語言
或
思考：類比等差中項(xiàng)的概念，你能得到等比中項(xiàng)的概念嗎
答：若三個(gè)數(shù) a，G，b 組成等比數(shù)列，那么 G 叫做 a 與 b 的等比中項(xiàng)．
思考：
(1)等差數(shù)列的項(xiàng)、公差均可以是0嗎？等比數(shù)列呢？
等差數(shù)列的項(xiàng)和公差都可以為0；等比數(shù)列的項(xiàng)和公比都不可以為0.
(2)常數(shù)列是等差數(shù)列嗎？是等比數(shù)列嗎？
常數(shù)列是等差數(shù)列，公差為0；非零常數(shù)列是等比數(shù)列，公比為1.
(3)是否存在既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列？
非零常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，公差為0，公比為1.
(4)q>0時(shí)，等比數(shù)列各項(xiàng)的符號(hào)有何特點(diǎn)？q<0時(shí)呢？
q>0時(shí)，等比數(shù)列各項(xiàng)符號(hào)和首項(xiàng)保持一致；
q<0時(shí)，等比數(shù)列各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)間隔，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別同號(hào)。
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析， 等比數(shù)列的每一項(xiàng)，公比．
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生充分經(jīng)歷從觀察、分析到抽象、概括的過程，其中包括獨(dú)立思考和交流討論．同時(shí)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)列的每一項(xiàng)和公比均不等于0的了解和記憶，這是一個(gè)提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的時(shí)機(jī)．
任務(wù)2：探索等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
探究：(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義,你能推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎
設(shè)一個(gè)等比數(shù)列的公比為．根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得
所以
...
由此可得
又，這就是說，當(dāng)n=1時(shí)上式也成立．
因此，首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為
（2）除了根據(jù)等比數(shù)列的定義,還能有其他的推導(dǎo)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的方法嗎
證明：由等比數(shù)列的定義得
……
即
又，這就是說，當(dāng)n=1時(shí)上式也成立．
因此，首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為
任務(wù)3：探索等比數(shù)列與指數(shù)型函數(shù)的關(guān)系
探究：類比等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，等比數(shù)列可以與哪類函數(shù)建立聯(lián)系呢？
等比數(shù)列的第n項(xiàng)是函數(shù)當(dāng)x=n時(shí)的函數(shù)值，即.
以等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為橫坐標(biāo)、以項(xiàng)為縱坐標(biāo)的點(diǎn)是指數(shù)型函數(shù)圖象上一系列孤立的點(diǎn).（三）應(yīng)用舉例
例1若等比數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12，求的第5項(xiàng)．
分析：等比數(shù)列由唯一確定，可利用條件列出關(guān)于的方程（組），進(jìn)行求解．
解法1：由，得
②的兩邊分別除以①的兩邊，得．解得或．
把代入①，得．此時(shí)，．
把代入①，得．此時(shí)，．
因此，的第5項(xiàng)是24或．
解法2：因?yàn)椋允桥c的等比中項(xiàng)，于是．
所以．
因此，的第5項(xiàng)是24或．
師生活動(dòng)：帶領(lǐng)學(xué)生完成第一個(gè)通項(xiàng)公式的尋找，后面三個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式由學(xué)生獨(dú)立完成，最后教師組織學(xué)生訂正．
設(shè)計(jì)意圖：通過以上四個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的尋找，學(xué)生進(jìn)一步理解掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用．
總結(jié)：等比數(shù)列的計(jì)算
(1)等比數(shù)列的基本量是和n,很多等比數(shù)列問題都可以歸結(jié)為其基本量的運(yùn)算問題.解決這類問題時(shí),最核心的思想方法是解方程(組)的方法,即依據(jù)題目條件,先根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式建立關(guān)于和q的方程(組),再解方程(組),求得和q的值,最后解決其他問題.
(2)在等比數(shù)列的基本量運(yùn)算問題中,建立方程(組)進(jìn)行求解時(shí),要注意運(yùn)算的技巧性,特別注意整體思想的應(yīng)用.
例2 已知等比數(shù)列的公比為q，試用的第m項(xiàng)表示.
解：由題意,得
①
②
②的兩邊分別除以①的兩邊，得，所以.
師生活動(dòng)：讓學(xué)生先獨(dú)立思考，教師展示學(xué)生推導(dǎo)并規(guī)范解答．
設(shè)計(jì)意圖：內(nèi)容難度不大，引導(dǎo)學(xué)生類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程進(jìn)行推導(dǎo)，并得到等比數(shù)學(xué)的通項(xiàng)公式．這是一個(gè)提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的時(shí)機(jī)．
例3 數(shù)列共有5項(xiàng)，前三項(xiàng)成等比數(shù)列，后三項(xiàng)成等差數(shù)列，第3項(xiàng)等于80，第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的和等于136，第1項(xiàng)與第5項(xiàng)的和等于132．求這個(gè)數(shù)列．
分析：先利用已知條件表示出數(shù)列的各項(xiàng)，再進(jìn)一步根據(jù)條件列方程組求解．
解：設(shè)前三項(xiàng)的公比為q，后三項(xiàng)的公差為d，則數(shù)列的各項(xiàng)依次為，，80，80+d，80+2d．
于是得解方程組，得或
所以這個(gè)數(shù)列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48．
總結(jié)：巧設(shè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的方法
(1)若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則常設(shè)成.若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則常設(shè)成或.
(2)若四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則可設(shè)為.若四個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列,則可設(shè)為.
例4 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,判斷這個(gè)數(shù)列是否是等比數(shù)列.如果是,求出公比;如果不是,說明理由.
解：因?yàn)?br/>所以，數(shù)列是等比數(shù)列,且首項(xiàng)為6,公比為2.
總結(jié)：判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的基本方法是定義法
若數(shù)列滿足(q為常數(shù)且不為零)或(n≥2，q為常數(shù)且不為零)，則數(shù)列是等比數(shù)列．
師生活動(dòng)：學(xué)生讀懂題意，嘗試解答.
設(shè)計(jì)意圖： 通過例題，熟悉等比數(shù)列的概念，并強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
課堂練習(xí)
1.“”是“、、成等比數(shù)列”的 條件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
解：若、、成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，
若，當(dāng)時(shí)，、、不成等比數(shù)列，
則“”是“、、成等比數(shù)列”的必要不充分條件．
故選：B.
2.月相是指天文學(xué)中對(duì)于地球上看到的月球被太陽照亮部分的稱呼年，愛爾蘭學(xué)者在大英博物館所藏的一塊巴比倫泥板上發(fā)現(xiàn)了一個(gè)記錄連續(xù)天月相變化的數(shù)列，記為，其將滿月等分成份，且表示第天月球被太陽照亮部分所占滿月的份數(shù)例如，第天月球被太陽照亮部分占滿月的，即；第天為滿月，即已知的第項(xiàng)到第項(xiàng)是公比為的等比數(shù)列，第項(xiàng)到第項(xiàng)是公差為的等差數(shù)列，且，均為正整數(shù)，則( )
A. B. C. D.
解：依題意，有，，
時(shí)，不是正整數(shù)；
時(shí)，；
時(shí)，，不是正整數(shù)．
所以，，．
故選：
3.在等比數(shù)列中，，若對(duì)正整數(shù)都有，那么公比的取值范圍是( )
A. B. C. D.
解：在等比數(shù)列中，，若對(duì)正整數(shù)都有，則
即
若，則數(shù)列為正負(fù)交錯(cuò)數(shù)列，上式顯然不成立；
若，則，故，因此，
故選B．
4.對(duì)于數(shù)列，若點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，其中，為常數(shù)，且，，，試判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論．
解：數(shù)列是等比數(shù)列，證明如下：
證明：依題意得，
則，
，，，
所以數(shù)列是為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
5.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入個(gè)正數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等比數(shù)列
求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
記數(shù)列前項(xiàng)的乘積為，試問：是否有最大值？如果是，請(qǐng)求出此時(shí)以及最大值；若不是，請(qǐng)說明理由．
解：，公比，
，
設(shè)新數(shù)列的公比為，
則，，
，
即，
，舍去，
；
，
令，
當(dāng)或時(shí)，有最大值，最大值為，
有最大值為．
設(shè)計(jì)意圖：通過課堂練習(xí)，讓學(xué)生反復(fù)鞏固等比數(shù)列的概念，能夠靈活運(yùn)用.
（五）歸納總結(jié)
【課堂小結(jié)】通過本節(jié)課的研究，大家學(xué)到了哪些知識(shí)？第四章 數(shù)列
4.3.1等比數(shù)列的概念
第2課時(shí)
1.能根據(jù)等比數(shù)列的定義推出等比數(shù)列的性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)簡化運(yùn)算.
2.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.
3.通過推導(dǎo)等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)，通過利用等比數(shù)列的相關(guān)公式解決實(shí)際應(yīng)用問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
重點(diǎn)：運(yùn)用等比數(shù)列解決簡單的實(shí)際問題.
難點(diǎn)：等比數(shù)列的綜合運(yùn)用
（一）創(chuàng)設(shè)情境
回顧：
1.等比數(shù)列的概念
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示.
2.等比中項(xiàng)
若三個(gè)數(shù) a，G，b 組成等比數(shù)列，那么 G 叫做 a 與 b 的等比中項(xiàng)．此時(shí)，
3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
4.等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)若數(shù)列{}，{}是等差數(shù)列，則{+}也是等差數(shù)列.若{}是等差數(shù)列，c是常數(shù)，則{c}也是等差數(shù)列.
(2)在等差數(shù)列{}中，若，則.
特別地，若，則.
(3)在等差數(shù)列{}中，每隔k項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來的順序排列，所得新數(shù)列仍為等差數(shù)列.
師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧等比數(shù)列的概念、等差中項(xiàng)的定義和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)，并請(qǐng)同學(xué)作答.
設(shè)計(jì)意圖：通過簡單的復(fù)習(xí)回顧，鞏固前面所學(xué)知識(shí)，為本課時(shí)的學(xué)習(xí)作好鋪墊和引導(dǎo).
（二）探究新知
任務(wù)1：探索等比數(shù)列的性質(zhì).
思考：（1）觀察等比數(shù)列: 2 ，4 ，8 ，16 ，32，64，128，256,……
請(qǐng)問16是哪兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)？并說明理由.
答：∵162=8×32=4×64=2×128.
∴16是8與32的等比中項(xiàng)；也是4與64的等比中項(xiàng)；是2與128的等比中項(xiàng).
等比數(shù)列 2 ，4 ，8 ，16 ，32，64，128，256,……
思考：（2）若{}是公比為q的等比數(shù)列，正整數(shù)m，n，p，q滿足m＋n＝s＋t，那么、之間有怎樣的關(guān)系？
猜想：若{}是公比為q的等比數(shù)列，正整數(shù)m，n，p，q滿足m＋n＝s＋t，則.
證明： 因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋裕?br/>又m＋n＝s＋t，所以.
特別地，當(dāng)，則
探究：你能類比等差數(shù)列性質(zhì)，嘗試歸納等比數(shù)列的其他性質(zhì)嗎？
(1)若數(shù)列{}，{}是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則{}也是等比數(shù)列.若{}是等比數(shù)列，c是不等于0的常數(shù)，則{c}也是等比數(shù)列.
(2)等比數(shù)列{}是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)的積相等，且等于首末兩項(xiàng)的積.
(3)在等比數(shù)列{}中，每隔k項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來的順序排列，所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為.
（三）應(yīng)用舉例
例1用10 000元購買某個(gè)理財(cái)產(chǎn)品一年.
（1）若以月利率的復(fù)利計(jì)息，12個(gè)月能獲得多少利息（精確到1元）？
（2）若以季度復(fù)利計(jì)息，存4個(gè)季度，則當(dāng)每季度利率為多少時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息（精確到）？
分析：復(fù)利是指把前一期的利息與本金之和算作本金，再計(jì)算下一期的利息.所以若原始本金為元，每期的利率為，則從第一期開始，各期的本利和, ，…構(gòu)成等比數(shù)列.
解：（1）設(shè)這筆錢存?zhèn)€月以后的本利和組成一個(gè)數(shù)列，則是等比數(shù)列，
首項(xiàng)，公比，
所以，10490.7
所以，12個(gè)月后的利息為（元）.
（2）設(shè)季度利率為，這筆錢存?zhèn)€季度以后的本利和組成一個(gè)數(shù)列，則也是一個(gè)等比數(shù)列，
首項(xiàng) ，公比為，
于是 .
因此，以季度復(fù)利計(jì)息，存4個(gè)季度后的利息為
元.
解不等式，
得.
所以，當(dāng)季度利率不小于時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息.
師生活動(dòng)：請(qǐng)學(xué)生先獨(dú)立思考第（1）問，再將思考的內(nèi)容在小組內(nèi)進(jìn)行交流，教師適時(shí)點(diǎn)評(píng).引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題中具有等比關(guān)系的量，并構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列來刻畫這個(gè)量.第（2）問，學(xué)生認(rèn)真閱讀題目后，教師引導(dǎo)學(xué)生類比第（1）問建立另一個(gè)等比數(shù)列模型，并將問題最終轉(zhuǎn)化為利用不等式，求解參數(shù)范圍的問題.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀理解能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).促進(jìn)學(xué)生形成數(shù)據(jù)處理工具的使用意識(shí)，發(fā)展數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).
總結(jié)：
(1)復(fù)利是指把前一期的利息與本金之和算作本金，再計(jì)算下一期的利息.所以若原始本金為a元，每期的利率為r ，則從第一期開始，各期的本利和…構(gòu)成等比數(shù)列.
(2)一般地，涉及產(chǎn)值增長率、銀行利息、細(xì)胞繁殖等實(shí)際問題時(shí)，往往與等比數(shù)列有關(guān)，可建立等比數(shù)列模型進(jìn)行求解.
例2 已知數(shù)列的首項(xiàng).
（1）若為等差數(shù)列，公差，證明數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）若為等比數(shù)列，公比，證明數(shù)列為等差數(shù)列.
分析：根據(jù)題意，需要從等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義出發(fā)，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的知識(shí)進(jìn)行證明。
證明：（1）由，，得的通項(xiàng)公式為.
設(shè)，則 ：
，
又 ,
所以，是以 27為首項(xiàng)，9為公比的等比數(shù)列.
（2）由, ,得
兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)，得
所以 .
又，
所以，是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列.
師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成解題過程，并進(jìn)行展示交流，教師適時(shí)評(píng)價(jià).引導(dǎo)學(xué)生從等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義出發(fā)，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的知識(shí)進(jìn)行證明.可讓學(xué)生總結(jié)用符號(hào)化定義證明等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本路徑，即利用所給條件證明第項(xiàng)與第項(xiàng)的差（比）為定值.比如第（1）問中，只需證明數(shù)列的第項(xiàng)與第項(xiàng)的比為定值即可.
設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步學(xué)習(xí)如何運(yùn)用定義證明或判斷一個(gè)數(shù)列為等差或等比數(shù)列，滲透特殊與一般的數(shù)學(xué)思想.
思考：已知且.如果數(shù)列是等差數(shù)列，那么數(shù)列是否一定是等比數(shù)列？如果數(shù)列是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，那么數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？
已知且.如果數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
數(shù)列是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列.
師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成后進(jìn)行展示，學(xué)生互評(píng)，教師強(qiáng)調(diào)符號(hào)表達(dá)的規(guī)范.
設(shè)計(jì)意圖：通過思考，將對(duì)例2中等差數(shù)列與等比數(shù)列間聯(lián)系的一種特殊情形的思考，推廣到對(duì)等差數(shù)列與等比數(shù)列間聯(lián)系的一般情形的思考，著重滲透特殊與一般的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).
總結(jié)：
(1)若是等差數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若數(shù)列是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列.
例3 某工廠去年12月試產(chǎn)1050個(gè)高新電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為.從今年1月開始，工廠在接下來的兩年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品.1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上提高，產(chǎn)品合格率比前一個(gè)月增加，那么生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格品的數(shù)量能否控制在100個(gè)以內(nèi)？
分析：設(shè)從今年1月起各月的產(chǎn)量及合格率分別構(gòu)成數(shù)列，,則各月不合格品的數(shù)量構(gòu)成數(shù)列，由題意可知，數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列,由于數(shù)列既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，所以可以先列表觀察規(guī)律，再尋求問題的解決方法.
解：（1）設(shè)從今年1月起，各月的產(chǎn)量及不合格率分別構(gòu)成數(shù)列，由題意，知
，
則從今年1月起，各月不合格產(chǎn)品的數(shù)量是
（ ）
由計(jì)算工具計(jì)算（精確到0.1），并列表（表4.3-1）
表4.3-1
1 2 3 4 5 6 7
105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9
8 9 10 11 12 13 14
106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0
觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列先遞增，在第6項(xiàng)以后遞減，所以只要設(shè)法證明當(dāng)時(shí)，遞減，且<100即可.
由 ，
得.
所以，當(dāng)時(shí)，遞減
又 <100,
所以當(dāng)24時(shí), <100
所以，生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格的數(shù)量能控制在100個(gè)以內(nèi).
師生活動(dòng)：學(xué)生通過觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)的變化規(guī)律實(shí)際上就是數(shù)列的單調(diào)性.對(duì)于數(shù)列單調(diào)性的證明，教師先讓學(xué)生分組合作討論，再讓學(xué)生分組充分展示交流.對(duì)于作差法和作商法，要讓學(xué)生自己進(jìn)行對(duì)比，明白作商法更為簡潔是由等比數(shù)列的特點(diǎn)決定的.在得出單調(diào)性的基礎(chǔ)上，學(xué)生通過計(jì)算的數(shù)值得出結(jié)果.最后可以用一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律來解釋本題的結(jié)果：等差數(shù)列（近似一次函數(shù)）以恒定的速度增長，而等比數(shù)列（近似指數(shù)函數(shù)）隨著項(xiàng)數(shù)的增大，遞減的速度越來越快，所以它們的乘積是先增后減.
設(shè)計(jì)意圖：通過本例的教學(xué)可以讓學(xué)生體會(huì)到，對(duì)于數(shù)列問題，一般從它的通項(xiàng)出發(fā)進(jìn)行研究，對(duì)于一個(gè)“陌生”數(shù)列（非等差或等比數(shù)列）的通項(xiàng)公式，往往可以從數(shù)值、圖象上尋找規(guī)律，然后通過運(yùn)算、論證獲得解答.
例4 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求使取得最大值時(shí)的的值。
解：，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即，
故當(dāng)時(shí)，取得最大值．
師生活動(dòng)：學(xué)生讀懂題意，嘗試解答.
設(shè)計(jì)意圖： 通過例題，熟悉等比數(shù)列的概念及性質(zhì)，并強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
課堂練習(xí)
1.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則( )
A. B. C. D.
解：．
故答案選：．
2.設(shè)是公比為的等比數(shù)列，下列四個(gè)選項(xiàng)中是正確的命題有( )
A. 是公比為的等比數(shù)列 B. 是公比為的等比數(shù)列
C. 是公比為的等比數(shù)列 D. 是公比為的等比數(shù)列
解：由題設(shè)知：公比，
，選項(xiàng)A正確；
，選項(xiàng)B正確；
，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選AB．
3.已知是一個(gè)無窮等比數(shù)列，公比為．
將數(shù)列中的前項(xiàng)去掉，剩余項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公比分別是多少？
取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公比分別是多少？
在數(shù)列中，每隔項(xiàng)取出一項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的公比是多少？你能根據(jù)得到的結(jié)論作出關(guān)于等比數(shù)列的一個(gè)猜想嗎？
解：將數(shù)列中的前項(xiàng)去掉，剩余的數(shù)列為，
令，則數(shù)列可視為，
所以，則是等比數(shù)列，
即是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為；
數(shù)列中的所有奇數(shù)列是，所以，
則數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為；
數(shù)列中每隔項(xiàng)取出一項(xiàng)組成的數(shù)列是，
所以，
則數(shù)列，是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為；
猜想：在數(shù)列中每隔是一個(gè)正整數(shù)取出一項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為．
4.已知為等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，且是和的等差中項(xiàng)，是和的等差中項(xiàng)．
證明：．
已知，記數(shù)列是將數(shù)列和中的項(xiàng)從小到大依次排列而成的新數(shù)列，求．
解：設(shè)數(shù)列的公差為，
因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，是和的等差中項(xiàng)，
所以，
，
所以，解得，得證．
因?yàn)椋裕?br/>．
為奇數(shù)，為偶數(shù)，故數(shù)列和沒有相同的項(xiàng)．
因?yàn)椋?br/>所以的前項(xiàng)中，含有個(gè)，
所以．
5.已知數(shù)列滿足，點(diǎn)在直線上．
求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式
求滿足的的取值構(gòu)成的集合．
解：由已知得，
，
且，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，
，則．
因?yàn)椋?br/>所以，
，
，
得，又因?yàn)椋?br/>所以的取值構(gòu)成的集合是．
設(shè)計(jì)意圖：通過課堂練習(xí)，讓學(xué)生反復(fù)鞏固等比數(shù)列的概念及性質(zhì)，能夠靈活運(yùn)用.
（五）歸納總結(jié)
【課堂小結(jié)】通過本節(jié)課的研究，大家學(xué)到了哪些知識(shí)？

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