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第四章 數列
4.2.2 等差數列的前n項和
第1課時
1.掌握等差數列前n項和公式及其推導過程.
2.能用前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題.
3.經歷公式的推導過程，體會數形結合的數學思想，體驗從特殊到一般的研究方法.
重點：掌握等差數列前n項和公式及其推導過程
難點：能用前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題.
（一）創設情境
前面的學習，我們了解了等差數列的概念，以及等差數列的通項公式.找兩位同學說說看.
答：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列.這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母 表示.
答：首項為，公差為的等差數列的通項公式為
在掌握了等差數列的概念及通項公式后，我們來看這樣一個問題：
思考：如何求
學生討論、思考.
答：高斯的計算方法是用1+100=101，2+ 99=101，3+ 98=101，···，50+ 51=101，這樣計算出來.
思考：為什么呢？嘗試從數列的角度給出解釋.
師生活動：師生互動，生生討論、交流；師揭示課題.
設計意圖：教師以回顧舊知，幫助學生建立與新知的聯系，通過高斯問題引發學生思考，高斯的算法的核心，設疑激發學生主動學習，以此順利揭示本節課題.
（二）探究新知
任務1：探究高斯算法中蘊含的數學思想.
思考：說說高斯在求和的過程中采用了什么方法？利用了數列的什么性質呢？
師生活動：1.先獨立思考1分鐘；2.小組內交流討論；3.以小組為單位進行匯報.
分析：采用了首尾配對相加的方法.高斯的算法實際上解決了求等差數列
前100項的和的問題.
答：設，那么高斯的計算方法可以表示為
可以發現，高斯在計算中利用了
在等差數列中，若，則.
思考：說說高斯求和過程的本質.
總結：高斯算法的本質:通過配對湊成相同的數（即101），變“多步求和”為“一步相乘”.
思考：你能用高斯的方法求嗎？
師生活動:1.先獨立思考計算; 2.小組內交流討論;3.以小組為單位進行匯報;4.師小結.
分析：可以采用不同的方法進行配對.
答：方法1：先取出中間項，再首、尾項;次首、尾項依次相加.原式方法2：先取出未項，再首、尾項;次首、尾項依次相加.原式方法3：先湊成偶數項，再進行首、尾項相加.原式方法4：先湊成偶數項，再進行進行首、尾項相加.原式
任務2：探究高斯算法思想的進一步推廣.
思考：嘗試計算.
師生活動：1.先獨立思考計算; 2.小組內交流討論;3.以小組為單位進行匯報;4.師小結.
分析：可以對項數n的奇偶性進行討論.
答：當 是偶數時，有
所以
當 是奇數時，有所以
綜上，對任意正整數，都有 .
思考：如果不對項數n的奇偶性進行討論，能否計算得出自然數列的前n項和呢？
答：采用倒序相加法，，
，將上述兩式相加，可得
所以
思考：如何理解倒序相加法呢，它的妙處在哪里呢？
分析：在一堆木棒中，第一層有1根木棒，下面的每一層都比上一層多一根，第層有根，如何快速求出這堆木棒有多少根？
，∵ ，∴ .
任務3：探究用倒序相加法推導等差數列{}的前 項和.
思考：能夠利用倒序相加法求等差數列的前項和嗎？
分析：由，
兩式相加得,，.
推導出：，
兩式相加得,
思考：如果將稍作變形，你能發現等差數列的什么特性呢？
分析：，變形為，等差數列前項的平均數等于 .
總結：等差數列首項為，第項為,等差數列前n項和公式: ①
因為，代入①得: ②
思考：如果不從公式①變形推導，能得到公式②嗎？
分析：
總結：等差數列前n項和公式.
已知首項、末項與項數，求出 ①
已知首項、公差與項數，求出 ②
注意： ① ②運用方程思想在五個量中知三求二.
思考：類比推導，說說等差數列的前項和公式與梯形的面積公式間的聯系.
如圖，上底為，下底為，高為，梯形的面積即為數列之和， .
如圖，梯形由一個三角形和一個平行四邊形組成，.
設計意圖：通過情境中高斯算法繼續深入，探究高斯算法蘊含的數學思想、探究高斯算法進一步推廣、進而探究等差數列的前項和公式，層層遞進、由淺入深，加深對等差數列的前項和公式推導的理解與應用，在思考和啟發中滲透新知的學習，在合作與討論中加深進行思維的深加工，以此突破本節課的重難點.
（三）應用舉例
例1 已知數列是等差數列.
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）若，求.
分析：（1）已知首項、末項與項數，可以直接利用公式求和.
（2）可以先利用和的值求出，再利用公式求和.
（3）已知公式中的、和，解方程即可求得.
解：（1）因為，根據公式 ，可得
（2）因為，所以. 根據公式，得
（3）把代入，得
整理，得
解得， ，或（舍去）.
所以， .
例2 若等差數列的前10項和為310,前20項和為1220,求該數列的前n項和.
分析：把已知條件代入等差數列前項和的公式后，可得到兩個關于與的二元一次方程.解方程即可求得.
解：方法一
聯立①②解得
∴前n項和
方法二 :
由②-①解得
例3 我國數列求和的概念起源很早，在南北朝時,張丘建始創等差數列求和解法.他在《張丘建算經》中給出等差數列求和問題.
今有女子不善織布，每天所織的布以同數遞減，初日織五尺，末日織一尺，共織三十日，問共織幾何？
答：由題意得：在等差數列中則
設計意圖：通過例題講解，引導學生思考能用前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題，更好的理解等差數列前n項和公式及其推導過程.
（四）課堂練習
1.張丘建算經中女子織布問題為：某女子善于織布，一天比一天織得快，且從第天開始，每天比前一天多織相同量的布，已知第一天織尺布，一月按天計共織尺布，則從第天起每天比前一天多織 尺布．
A. B. C. D.
解：設此等差數列的公差為，
則，解得，
故選C．
2.已知等差數列的前項和為，，，則( )
A. B. C. D.
解：設數列的公差為，
則由題意，得，，
，，
則，，
所以．
故選D．
3.已知等差數列的前項和為，且點在直線上，則( )
A. B. C. D.
解：因為點 在直線 上，
所以 ，
因為等差數列 滿足 ，
所以 ．
故選：．
4.公差為的等差數列，其前項和為，，，下列說法正確的有( )
A. B. C. 中最大 D.
解：根據等差數列的性質及求和公式得到
，，，，
該數列的前項和最大，故A正確，B錯誤，C錯誤，
，，，
即，，D正確，
故選AD．
5.在等差數列中，，．
求數列的通項公式；
設，求的值．
解：設其公差為，由題意可得．
解得，，
，．
設數列的前項和為，則由可得，，，
由知，令，得，當時，，
當時，可得，
當時，可得，
因為，所以，
所以．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固用前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題，能夠靈活運用.
（五）總結歸納
回顧本節課所學內容，你都學會了哪些內容？第四章 數列
4.2.2 等差數列的前n項和
第2課時
1.理解并應用等差數列前n項的性質.
2.構造等差數列求和模型（建模）,解決實際問題.
3.能夠解決等差數列前n項和的最值問題.
4.經歷公式性質的推導過程，體會數形結合的數學思想，體驗從特殊到一般的研究方法.
重點：理解并應用等差數列前n項的性質和最值問題.
難點：構造等差數列求和模型（建模）,解決實際問題.
（一）創設情境
前面的學習，我們知道了等差數列的前項和公式，等差數列的性質。找兩位同學說說看。
答：采用倒序相加法，；將。
性質1 若是等差數列，公差為，則是公差為的等差數列．
性質2 在等差數列中，若，則.
性質3 數列都是等差數列, 公差分別為,則數為常數)是公差為的等差數列.
思考：結合等差數列的前項和公式，等差數列還有哪些性質呢？
學生討論、思考.
師生活動：師生互動，生生討論、交流；師揭示課題.
設計意圖：教師以回顧舊知，幫助學生建立與新知的聯系，通過高斯問題引發學生思考，設疑激發學生主動學習，以此順利揭示本節課題.
（二）探究新知
任務1：探究等差數列前項和的性質.
思考：已知數列的前項和為，其中為常數，且.任
取若干組，在電子表格中計算，的值，觀察數列的特點，
研究它是一個怎樣的數列，并證明你的結論.
師生活動：1.先獨立思考1分鐘；2.小組內交流討論；3.以小組為單位進行匯報.
提示：操作演示：打開《數據》多取幾組值，看看有什么規律？說說你的發現？
總結：當時，數列為等差數列.當時，數列從第二項起為等差數列.
分析：證明：當時，當時，，所以，此時數列從第二項起為等差數列，且公差為.
總結：若數列{an}的前n項和是一個不含有常數項的二次函數：Sn=An2+Bn (A,B為常數) ，則該數列{an}是等差數列.
思考：若等差數列中，公差為，前項的和為，則、、能構成等差數列嗎？
師生活動：1.先獨立思考1分鐘；2.小組內交流討論；3.以小組為單位進行匯報.
分析：證明： ，
總結：性質1 在等差數列中，公差為，前項的和為，則、、為等差數列，且公差為.
思考：若前項的和，證明：數列也是等差數列.
師生活動：1.先獨立思考1分鐘；2.小組內交流討論；3.以小組為單位進行匯報.
分析：證明：
總結：性質2 若是公差為的等差數列，其前項的和為，則數列也是等差數列，公差為.
各抒已見：已知一個等差數列的項數為奇數，其中所有奇數項的和為290，所有偶數項的和為261. 求此數列中間一項的值以及項數.
分析：
說一說：通過解決本題，想一想等差數列還有什么性質呢？這個性質和什么有關呢？
探究：若一個等差數列的項數為奇數，設其項數為2n+1，探究 的關系.
分析：，
總結：性質3
探究：若一個等差數列的項數為偶數，設其項數為2n，探究 的關系.
分析：，
總結：性質4
思考：如果數列{an}、{bn}是項數相同的等差數列，Sn、Tn分別是它們前n項和，那么S2n-1與T2n-1會有什么關系？.
師生活動：1.先獨立思考1分鐘；2.小組內交流討論；3.以小組為單位進行匯報.
分析：
(, )
總結：性質5
任務2：探究等差數列前項和公式的實際應用.
思考：《張邱建算經》卷上第22題為：今有女善織，日益功疾，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第1天織5尺布，現在一月(按30天計)共織390尺布，則每天比前一天多織____尺布.
師生活動：1.先獨立思考1分鐘；2.小組內交流討論；3.以小組為單位進行匯報.
分析：由題意知，該女每天的織布尺數構成等差數列{an}，其中a1＝5，S30＝390，設公差為d,則有S30＝30d=390
解得 d= .故該織布機每天比前一天多織尺布.
任務3：探究等差數列前項和公式與一元二次函數的聯系.
各抒已見：從函數的角度，公式改寫成 ，當時，可以看成二次函數當時的函數值.討論的單調性與最值問題.
總結：在等差數列中， 的取值影響函數的單調性.
若，時，有最大值，使取到最值的可由不等式組確定；
若，時，有最小值，使取到最值的可由不等式組確定；
若，時，則是遞增數列，是的最小值；
若，時，則是遞減數列，是的最大值.
，若，則從二次函數的角度看：當時，有最大值；
當時，有最小值. 當取最接近對稱軸的正整數時，取到最值.
總結：等差數列{} 前 項和的性質.
設數列為等差數列，公差為，為其前項和，為所有奇數項的和， 為所有偶數項的和，則有如下性質：
性質1 在等差數列中，公差為，前項的和為，則、、為等差數列，且公差為.
性質2 若是公差為的等差數列，其前項的和為，則數列也是等差數列，公差為.
性質3
性質4
性質5
等差數列{} 前 項和的最值問題.
在等差數列中， 的取值影響函數的單調性:
若，時，有最大值，使取到最值的可由不等式組確定；
若，時，有最小值，使取到最值的可由不等式組確定；
若，時，則是遞增數列，是的最小值；
若，時，則是遞減數列，是的最大值.
，若，則從二次函數的角度看：當時，有最大值；
當時，有最小值.當取最接近對稱軸的正整數時，取到最值.
設計意圖：通過回顧等差數列前n項和公式，進而探究等差數列前n項和公式性質、進而探究等差數列前n項和公式實際應用與最值問題，層層遞進、由淺入深，加深對等差數列的前項和公式性質與最值問題的理解與應用，在思考和啟發中滲透新知的學習，在合作與討論中加深進行思維的深加工，以此突破本節課的重難點.
（三）應用舉例
例1 某校新建一個報告廳，要求容納800個座位，報告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多2個座位. 問第1排應安排多少個座位.
提示：將第1排到第20排的座位數依次排成一列，構成數列.設數列的前項和為. 由題意可知，是等差數列，公差，，所以可利用等差數列的前項和公式求.
答：設報告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數依次排成一列，構成數列，其前項和為.根據題意，數列是一個公差為2的等差數列，且.由 ，可得 .因此，第1排應安排21個座位.
例2 我國古代某數學著作中有這么一道題：九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏；次第每人多十七，要將第八數來言；務要分明依次第，孝和休惹外人傳．意思是說，有996斤棉花全部贈送給8個子女做旅費，從第1個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止．在這個問題中，第1個孩子分到的棉花為（ ）.
答：第一個孩子分到斤棉花，則由題意，得，解得.
例3 已知等差數列的前項和為，若，公差，則是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值時的值；若不存在，請說明理由.
提示：由，公差，可以證明是遞減數列.存在正整數，當時，，遞減.把求的最大值轉化為求的所有正數項的和.
答：（方法一）由，得，所以是遞減數列.又由，可知當時，，
當時，，當時，，所以，.也就是說，當或時，最大.
因為，所以的最大值為30.
提示：如圖，當時，關于的圖象是一條開口向下的拋物線上的一些點，可以利用二次函數求相應的的值.
答：由，，得
所以，當取與 最接近的整數即5或6時，最大，最大值為30.
設計意圖：通過例題講解，引導學生思考能用前n項和公式性質和最值解決實際問題，更好的理解等差數列前n項和公式性質與最值問題的方法.
（四）課堂練習
1.萊茵得紙草書是世界上最古老的數學著作之一，書中有這樣一道題目：把個面包分給個人，每個人所得成等差數列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為( )
A. B. C. D.
答：設五個人所分得的面包為，，，，，其中；則，，；由，得；，；所以，最小的分為．
故選A．
2.一百零八塔，因塔群的塔數而得名，是中國現存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一，塔群隨山勢鑿石分階而建，由下而上逐層增高，依山勢自上而下各層的塔數分別為，，，，，，，若該數列從第項開始成等差數列，則該塔群共有( )
A. 層 B. 層 C. 層 D. 層
答：根據題意，設該數列為，塔群共有層，即數列有項，數列為，，，，，，，則，該數列從第項開始成等差數列，而，，則其公差，則，
又由，則有，即，解得或舍，
則．
故答案選：．
3.在我國古代著名的數學專著九章算術里有一段敘述：今有良馬與駑馬發長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復還迎駑馬，二馬相逢．則( )
A. 駑馬第七日行九十四里 B. 第七日良馬先至齊
C. 第八日二馬相逢 D. 二馬相逢時良馬行一千三百九十五里
答：設良馬每天所行路程為，則是以為首項，以為公差的等差數列，其前項和為，弩馬每天所行路程為，則是以為首項，以為公差的等差數列，其前項和為，駑馬第七日行了：里，故A正確；設共用天二馬相逢，
則，所以，
化簡得，解得，則第九日二馬相逢，故 C錯誤；
所以二馬相逢時良馬行了：里，故D正確；
設良馬第日先至齊，當時，所以，
當時，所以，故B錯誤．故選AD．
4.設無窮等差數列的前項和為，已知，．
求與的值；
對任意的正整數，不等式恒成立，試求實數的取值范圍．
答：因數列是等差數列，
所以，所以，
又，所以公差，
所以，，
所以，
根據題意，對任意的正整數，不等式恒成立，
當時，，得，
而時，得，，顯然不是恒成立，故，
所以，
當時，，所以，
所以當，不等式恒成立等價于
當，恒成立，
記，且，
則當時，
即，
所以且，單調遞增，，
所以，得，
因此，實數的取值范圍為．
5.設等差數列的前項和為，且，．
求數列的通項公式；
若，求數列的前項和．
解：由題意，設等差數列的公差為，
則，
又，
解得，
，．
由可得，，
則

設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固用前n項和公式性質和最值問題解決一些簡單的與前n項和有關的問題，能夠靈活運用.
（五）總結歸納
通過這節課學習，你都學會了哪些內容？
師生活動：學生回答上述問題，其他學生進行點評補充．
設計意圖：通過對之前知識的梳理，提高學生總結概括能力，明確這節課要突破和學習的重點知識內容.

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