資源簡介

第四章 數列
4.2.1等差數列的概念
第1課時 等差數列的概念及通項公式
1.理解并掌握等差數列、等差中項的概念，能判斷一個數列是否為等差數列.
2.經歷由等差數列的遞推公式推導通項公式的過程，掌握等差數列的通項公式，并掌握其與一次函數之間的關系.
3.對等差數列的通項公式進行簡單應用，體會函數與方程的思想在研究等差數列時的重要意義.
重點：掌握等差數列的定義，等差數列的通項公式.
難點：掌握等差數列的通項公式，并進行簡單應用.
（一）創設情境
觀察下列現實生活中的數列，回答后面的問題。
1、我國有用12生肖紀年的習慣，例如，2017年是雞年，從2017年開始，雞年的年份為2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①
2、我國確定鞋號的腳長值以毫米為單位來表示，常用確定鞋號腳長值按從大到小的順序可排列為275，270，265，260，255，250，…；②
3、2020年1月中，每個星期日的日期為5，12，19，26.③
思考：觀察數列①②③你能發現他們的規律嗎？
師生活動：獨自思考，并匯報交流.
答：對于數列2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①
我們發現：2029=2017+12，2041=2029+12，2053=2041+12，…
換一種寫法就是：2029-2017=12，2041-2029=12，2053-2041=12，…
如果用表示數列①，則有：
對于數列①，有這樣的規律：數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數12.
同樣數列②滿足從第二項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數-5.
數列③滿足從第二項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數7.
設計意圖：通過三個例子，讓學生研究三個數列的共性，從而引出等差數列的定義.
探究新知
任務1：探究等差數列的概念．
探究：什么是等差數列，你能給出等差數列的定義嗎？
師生活動：教師提出問題，學生自主探究，嘗試通過上述實例總結等差數列的定義，并交流分享.
總結：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示．
對定義的理解：等差數列的定義中的幾個關鍵詞是“從第2項起”，“同一個常數”
條件 從第2項起
每一項與它的前一項的差都等于同一個常數
結論 這個數列就叫做等差數列
有關概念 這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示
思考：如果在數a與b中間插入一個數A，使a，A，b成等差數列，那么A應滿足什么條件？
師生活動：獨自思考，并匯報交流.
答：由等差數列定義，有,所以，即.
此時，我們把A叫做a和b的等差中項.
a和b的等差中項是它們的算術平均數.
任務2：探究等差數列的通項公式．
探究：你能根據等差數列的概念寫出它的遞推公式嗎？
師生活動：教師引導學生利用等差數列的概念，嘗試寫出遞推公式.
設數列的首項為，公差為，則由定義可得：
an＋1－an＝d.
思考1：你能根據遞推公式，推導出等差數列的通項公式嗎？
答：設一個等差數列的首項為,公差為,根據等差數列的定義，可得
=
所以= ,= , = ,…
于是 + ,
+ =(+ ) + + 2,
+ =(+ ) + + 3,……
歸納可得+() (n)
當n時，上式為+() ，這就是說,上式當時也成立.
因此，首項為,公差為的等差數列的通項公式為+()
思考2：還有什么其他方法，推導等差數列的通項公式嗎？
一共有個等式，將它們進行累加，有即
思考3：由等差數列的通項公式可以看出，要求，需要哪幾個條件？
答：只要求出等差數列的首項和公差，代入公式即可.
設計意圖：用不完全歸納法和累加法求出等差數列的通項公式，并且了解由等差數列的基本量：首項和公差，就可以求出通項公式，讓學生自己分析、推導、得出結論，可以培養學生歸納、概括的能力，提高思維能力.
任務3：探究等差數列與一次函數的關系.
探究：觀察等差數列的通項公式，它和哪一類函數有關？
師生活動：小組交流，并匯報交流.
答：由于，
當時，常用函數.
當時，是一次函數當時的函數值，即
思考1：等差數列的圖像與一次函數的圖像有什么關系？
師生活動：教師提出問題，學生自主探究，通過畫圖得出函數與數列之間的關系，引導學生用函數的知識來研究通項公式，學會類比思想的應用，得到數列學習的路線.
答：數列的圖像是落在一次函數圖像上的一系列點。
思考2：由一次函數得到的數列 一定是等差數列嗎？
答：任給，則，
數列是以為首項，k為公差的等差數列.
數列是公差不為0的等差數列數列的通項公式是關于的一次函數.
思考3：可以從函數的角度，研究等差數列的單調性嗎？
師生活動：教師引導，學生自主探究，類比函數的性質來得出數列的單調性.
答：
時，等差數列單調遞增；
時，等差數列單調遞減；
時，等差數列為常數列.
設計意圖：推導數列是公差不為0的等差數列的充要條件，了解它與一次函數的關系，并會從函數角度研究單調性.
（三）應用舉例
例1（1）已知等差數列{}的通項公式為，求等差數列{}的首項和公差.（2）求等差數列8，5，2，…的第20項；
分析：（1）已知等差數列的通項公式，只要根據等差數列的定義，由= ，即可求出公差.
解：（1）把代入通項公式得，
當
于是
所以數列的首項為3，公差為.
分析：（2）由給出的等差數列前三項，先找到首項,求出公差d,寫出通項公式，就可以求出第20項.
解：(2)由題意得，
,
因此這個數列的通項公式是：
所以
例 2 判斷是不是等差數列的項 如果是，是第幾項，如果不是，說明理由。
分析：先求出數列的通項公式，它是一個關于n的方程，再看-401是否能使這個方程有正整數解.
解：由得這個數列的通項公式為
令
解這個關于n的方程，得
n=100.
所以，-401是這個數列的項，是第100項.
例 3 求下列等差數列{an}的通項公式.
（1）已知a1=3,a7=15.（2）已知a2=8，且a3+a5=4a2.
解:（1）因為等差數列{an}中,a1=3,a7=15,所以公差d==2,
所以an=3+(n-1)×2=2n+1.
解:（2）設等差數列{an}的公差為d,
由
得
解得所以an=4n.
例 4在等差數列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首項a1與公差d.
解：由題意得,
這是一個以a1和d為未知數的二元一次方程組，解之得：
所以這個數列的首項a1是-2，公差d =3.
例 5 已知單調遞增的等差數列{an}的前三項之和為21，前三項之積為231，求數列{an}的通項公式.
解：根據題意，設等差數列{an}的前三項分別為a1，a1＋d，a1＋2d，
則
即
解得或
因為數列{an}為單調遞增的等差數列，所以
故等差數列{an}的通項公式為an＝4n－1.
總結：求通項公式的方法
(1)通過解方程組求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d寫出通項公式，這是求解這類問題的基本方法．
(2)已知等差數列中的兩項，可用d=直接求得公差，再利用an＝am＋(n－m)d寫出通項公式．
(3)抓住等差數列的通項公式的結構特點，通過an是關于n的一次函數形式，列出方程組求解．
設計意圖：通過例題，掌握等差數列的概念，并使用通項公式來解決問題，提高學生用數學抽象的思維方式思考并解決問題的能力，感悟其中蘊含的數學思想，增強學生的應用意識．
課堂練習
1.已知等差數列，則等于( )
A. B. C. D.
解：設等差數列的公差為，
因為，所以
解得：，．
故選：．
2.已知等差數列滿足，且，則首項( )
A. B. C. D.
解：設等差數列的公差為，
因為，且，
所以，所以．
故選：．
3.已知數列滿足若數列是公差為的等差數列，則( )
A. B. C. D.
解：，所以，
整理得，，
所以數列為常數列，每項均為，
所以，則，．
故選：．
4.已知數列滿足，且，若，則( )
A. B. C. D.
解：因為，所以 ，
因為，所以，所以，
所以 ，由，解得．
故選B．
5.定義數列的公共項組成的新數列為，則數列的第項為( )
A. B. C. D.
解：由數列的通項公式為，
可得數列的公差為，數列的公差為，
所以它們的公共項組成的新數列的公差為，
兩個數列的第個公共項為，
所以數列是首項為，公差為的等差數列，
則第項為．
故選：．
設計意圖：通過典型例題，加深學生對等差數列及其通項公式的理解和運用，發展學生邏輯推理、直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養.
（五）歸納總結
【課堂小結】回顧本節課的內容，你都學到了什么？第四章 數列
4.2.1等差數列的概念
第2課時 等差數列的性質及應用
1.能根據等差數列的定義推出等差數列的性質，并能運用這些性質簡化運算.
2.能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系，并解決相應的問題.
3.通過推導等差數列的性質及其應用，提升學生的數學抽象和邏輯推理素養，通過利用等差數列的相關公式解決實際應用問題，提升學生的數學建模和數學運算素養.
重點：等差數列的性質及其應用.
難點：等差數列的性質的推導.
創設情境
思考：上節課我們都學習了哪些內容呢？
師生活動：學生回顧上節課所學知識，教師完善知識結構.
預設答案：
等差數列定義
若，則{}為等差數列.
若，則{}為等差數列.
等差數列的通項公式
等差數列通項公式的性質
等差中項
a，A，b成等差數列，則
設計意圖：通過回顧等差數列的定義、通項公式、中項性質，溫故知新.
探究新知
任務1：探究等差數列的性質．
1.已知一個等差數列的首項為，公差為d
，，，……
將前m項去掉，其余各項組成的數列是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是多少？
取出數列中的所有奇數項，組成一個數列，是等差數列嗎？如果是，他的首項與公差分別是多少？取出數列中的所有偶數項呢？
取出數列中所有項是7的倍數的各項，組成一個數列，是等差數列嗎？如果是，他的首項與公差分別是多少？取出的是所有k倍數的項呢？
師生活動：學生帶著問題自主去探究等差數列的性質，教師不斷地引導，最終得出等差數列的性質.
答：（1），，……是等差數列，首項為，公差為d，項數為n-m.
（2），，，……是等差數列，首項是，公差為2d.
，，，……是等差數列，首項是，公差為2d.
(3)，，，……是等差數列，首項是，公差為7d.
，，，……是等差數列，首項是，公差為kd.
總結：等差數列的一個重要性質：若{}是等差數列，公差為d，則，，…(k，m∈N )是公差為md的等差數列．
證明：∵{}是等差數列，公差為d，
∴=+md，=+2md即2=+.
即，，…(k，m∈N )是公差為md的等差數列．
2.已知數列{}為等差數列，那么若成等差數列，是否，， 成等差數列，請猜想并證明.
師生活動：學生小組討論，分享交流，教師總結.
猜想：上述條件下，，，成等差數列.
證明：根據等差數列的定義，m,p,n成等差數列，
所以
所以
所以=
即，，成等差數列
3.對于等差數列: ,…說出是哪兩項的等差中項？
===
觀察與猜想：觀察上述各項的角標滿足什么關系？由此猜想相關結論.
師生活動：學生觀察并自主猜想，嘗試證明，教師小結.
等差數列{}中，若，則
證明：由等差數列的定義可知，，，，，
所以+=,+=
因為，所以.
追問：對于等差數列的這條性質，圖中是它的一種情形．你能從幾何角度解釋等差數列的這一性質嗎？
根據等差數列的通項是關于n的一次型函數，我們知道等差數列對應的點分布在一條直線上，我們可以從直線斜率的角度來解釋這一性質：=
總結：表示等差數列的各個點均勻分布在一條直線上，這條直線的斜率是公差d，即
設計意圖：讓學生理解利用等差數列的通項公式可推導出等差數列的性質，深化對等差數列的理解,提高學生用數學抽象的思維方式思考并解決問題的能力，感悟其中蘊含的數學思想，增強學生的應用意識．
（三）應用舉例
例1某公司購置了一臺價值為220萬元的設備，隨著設備在使用過程中老化，其價值會逐年減少.經驗表明，沒經過一年其價值就會減少d(d為正常數)萬元.已知這臺設備的使用年限為10年，超過10年，它的價值將低于購進價值的5%，設備將報廢.請確定d的取值范圍.
分析：這臺設備使用n年后的價值構成一個數列{}，由題意可知，年之內（含10年），這臺設備的價值應不小于11萬元；而10年后，這臺設備的價值應小于11萬元，可以利用{}的通項公式列不等式求解。
解：設使用n年后，這臺設備的價值為萬元，則可得數列{}．由已知條件，得
＝－d（n≥2）．
由于d是與n無關的常數，所以數列{}是一個公差為－d的等差數列.因為購進設備的價值為220萬元，所以＝220－d，于是
＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.
由題意，得≥11，＜11.
即：解得19所以，d的求值范圍為19例2某公司經銷一種數碼產品，第1年可獲利200萬元.從第2年起，由于市場競爭等方面的原因，其利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規律，如果公司不開發新產品，也不調整經營策略，那么從哪一年起，該公司經銷這一產品將虧損？
解：設從第1年起，第n年的利潤為，則 =220，
(n≥2，nN )，
∴每年的利潤可構成一個等差數列{}，且公差d= 20，
∴=+(n 1)×( 20)=220 20n.
若<0，則該公式經銷這種產品將虧損，由=220 20n<0，得n>11，
故從第12年起，該公司經銷此產品將虧損.
總結：解決實際問題的步驟：
（1）審題——仔細閱讀材料，認真理解題意.
（2）建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數學（數列）語言，將實際問題轉化成數學（數列）問題，弄清該數列的結構和特征.
（3）求解——求出該問題的數學解.
（4）還原——將所求結果還原到實際問題中.
例3 已知等差數列{}的首項＝2，在{}中每相鄰兩項之間都插入3個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列{}.
(1)求數列{}的通項公式.
(2) 是不是數列{}的項？若是，它是{}的第幾項？若不是，請說明理由.
分析：（1）{}是一個確定的數列，只要把 ，表示為{}中的項，就可以利用等差數列的定義得出的通項公式；
（2）設{}中的第n項是{}中的第項，根據條件可以求出n與的關系式，由此即可判斷是否為{}的項.
解：（1）設等差數列的公差為由題意可知, ,
=8
, 8, ,
+() 2=2
所以數列的通項公式是=2.
（2）[解法一]數列的各項依次是數列的第1,5,9,13，…項，這些下標構成一個首項為1，公差為4的等差數列，則=43，
令43=29，解得 =8
所以，是數列的第8項.
[解法二]9=58，令=58，
解得 =8.所以，是數列的第8項.
例4 已知數列 是等差數列，,且，求證:
分析：只要根據等差數列的定義寫出再利用已知條件即可證得.
證明：設數列 的公差為,則
+()+()+()+()
所以:
,
因為
所以
例5 已知數列是等差數列，且則
解：在等差數列中，若，則
由條件等式，得.
17=234.
總結：
1.若，是等差數列，則也是等差數列.
2.若是等差數列，公差為d，正整數p,q,s,t滿足p+q=s+t，則.特別地，當p+q=2k(p,q,m∈N )時，=2.
3.若是等差數列，公差為d，則，…(k，m∈N )是公差為md的等差數列．
設計意圖：通過典型例題，加深學生對等差數列及其性質的理解和運用，深化對等差數列的理解,提高學生用數學抽象的思維方式思考并解決問題的能力，感悟其中蘊含的數學思想，增強學生的應用意識．
課堂練習
1.在中，三個內角，，成等差數列，則( )
A. B. C. D.
解：由題意可得，，，， ，
故選C．
2.等差數列中，，，則( )
A. B. C. D.
解：由等差數列性質得，即，又，故．
故選C．
3.已知等差數列滿足，且，則的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
解：由，且，可設
因為等差數列，所以，
所以，
又因為，可得，所以，
所以的取值范圍為．
故選：．
4.已知等差數列的公差為，且集合中有且只有個元素，則中的所有元素之積為( )
A. B. C. D.
解：由等差數列可知，，周期，
故只需考慮前項的值：，，，，，，
由題意知，這個式子只能取到個不同的值，借助三角函數的定義，
即在單位圓上有個點均分圓周，且這個點的縱坐標只能取到個不同的值如圖所示，于是集合，
即所有元素乘積為．
故選：．
5.在和之間插入個數，使得這個數成等差數列．若這個數中第個為，第個為，則的最小值是( )
A. B. C. D.
解：設這個數組成的數列為，
根據題意，有，
所以
，
當且僅當，即時等號成立．
故選：．
設計意圖：通過典型例題，加深學生對等差數列性質的理解和運用，發展學生邏輯推理、直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養.
（五）歸納總結
回顧本節課的內容，你都學到了什么？

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