資源簡介

第四章 數列
4.1.1數列的概念
第1課時
1.經歷數列概念的抽象過程，了解數列的定義，了解數列的表示方法，提升數學抽象素養；
2.經歷從函數的角度研究數列一般形式的過程，了解數列是一種特殊的函數，能通過對數列的表示（列表法和圖象法）體會其特殊性，提升學生類比推理的能力；
3.經歷對數列通項公式的歸納過程，理解數列的通項公式表示的是數列的項及其項數之間的對應關系，提升學生的數學歸納能力，及數學運算素養.
重點：數列的概念、數列的通項公式.
難點：數列的概念.
（一）創設情境
提問：古語云:“勤學如春起之苗,不見其增,日有所長”.如果對“春起之苗”每日用精密儀器度量,則每日的高度值按日期排在一起,可組成一個數列. 那么什么叫數列呢
回答：在現實生活和數學學習中，我們經常需要根據問題的意義，通過對一些數據按特定順序排列的方法來刻畫研究對象.
設計意圖：通過直觀感知的形式進行探究，結合傳統文化和圖片，既可以提高大家參與的積極性，也可以讓數學走進生活.
提問：你能舉出幾個類似的用按順序排成一列的數來研究變化規律的事例嗎？
師生活動：學生舉例，教師通過學生的答案，判斷他們對數列的已有認知情況.
設計意圖：通過事例讓學生感知，將數據按確定順序排成一列進行研究有其實標的意義和價值.
（二）探究新知
任務1：數列的概念
探究1：王芳從一歲到17歲，每年生日那天測量身高，將這些身高數據（單位：厘米）依次排成一列數：
75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168. ①
記王芳第i歲時的身高為hi，那么h1=75,h2=87,…,h17=168.我們發現，hi中的i反映了身高按歲數從1到17的順序排列時的確定位置.
思考： h5,h10能否交換位置？具有確定的順序嗎？
h5,h10分別表示5歲和10歲的身高，所以不能交換位置.所以①具有確定的順序.
探究2：在兩河流域發掘的一塊泥板（編號K90，約生產于公元前7世紀）上，有一列依次表示一個月中從第1天到第15天，每天月亮可見部分的數：
5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240. ②
記第月亮可見部分的數為 , 那么=5 , =10, =240.這里，中的反映了月亮可見部分的數按日期從1~15順序排列時的確定位置，即=5是排在第1位的數，=10是排在第2位的數 =240是排在第15位的數，它們之間不能交換位置，所以，②也
是具有確定順序的一列數.
探究3： 的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪……依次排成一列數：
思考：上述例子的共同特征是什么？
記第i個數為si，那么= ，= ， ，=，…，是具有確定順序的一列數.共同特征：不能交換位置，具有確定的順序.
設計意圖：通過具體問題的思考和分析，幫助學生觀察、分析、歸納總結出數列的概念。發展學生數學抽象和數學建模的核心素養。
定義:一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列.
項:數列中的每一個數叫做這個數列的項.數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第1項,常用符號a1表示;第二個位置上的數叫做這個數列的第2項,用a2表示……第n個位置上的數叫做這個數列的第n項,用an表示.其中第1項也叫做首項.
表示:數列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，… 簡記為 { an }
提問：{an}與an所表示的意義是否相同？
師生互動：不相同；{an}表示整個數列 a1，a2，a3，…，an，… ；an表示數列 { an }中的第 n 項.
任務2：數列的表示
思考：數列中的各項ai與各項序號i（i=1，2，3，...，n，...)間的對應關系是什么關系？
由于數列{an}中的每一項an與它的序號n有下面的對應關系:
序號 1 2 3 ... n ...
項 a1 a2 a3 ... an ...
數列本質上是特殊的函數：
①數列是以序號為自變量,以對應的項為函數值的函數,即an=f(n)
②定義域為正整數集或它的有限子集
列是自變量為離散的數的函數.
思考：既然數列是特殊的函數，那么數列的表達方式和函數的一樣嗎？
例如，實例1的王芳身高可以表示為
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
75 87 96 103 110 116 120 128 138
n 10 11 12 13 14 15 16 17
145 153 158 160 162 163 165 168
它的圖象如圖4.1-1所示．
師生活動：學生作答,教師引導學生認識作為函數的數列定義域的特點.
設計意圖：本兩例從函數的表示認識數列，著重探究數列最重要的表示方法通項公式法.
任務2：數列的分類
1. 以項數來分類：
(1) 有窮數列：項數有限的數列；
(2) 無窮數列：項數無限的數列.
2. 以各項的大小關系來分類：
(1) 遞增數列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列.對任意n∈N*，總有an+1>an (或an+1-an>0).
(2) 遞減數列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列.對任意n∈N*，總有an+1>an (或an+1-an>0).
(3) 常數列：各項都相等的數列；
(4) 擺動數列：從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數列.
思考：數列的每一項與這一項的序號是否有一定的對應關系 這一關系可否用
一個公式表示
數列的通項公式：如果數列{an}的第 n 項an與與它的序號n之間的對應關系
可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數列的通項公式，簡稱通項.
例
追問1：數列通項公式的作用是什么？
通項公式就是數列的函數解析式，根據通項公式可以寫出數列的各項.
追問2：數列5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240有
通項公式嗎？
并不是每個數列都能寫出通項公式.
（三）應用舉例
例1. 根據下列數列{an}的通項公式，寫出數列的前5項,并畫出它們的圖像.
（1） （2）
解:（1）當通項公式中的n=1，2，3，4，5 時，數列{}的前5項依次為1,3,6,10,15如圖所示.
當通項公式中的n=1，2，3，4，5 時，數列 {}的前5項依次為1,0,-1,0,1如圖所示.
總結：要再明確數列的概念的基礎上，學會用公式、列表、圖象來表達數列，做到一
一對應.
設計意圖：本例是對通項公式的直接運用,并要求學生描點作圖,使學生從通項公式、表格和圖象三個角度認識數列.
例2：根據下列數列的前4項，寫出數列的一個通項公式：
(1)；
(2).
解：(1)這個數列的前4項的絕對值都是序號的倒數，并且奇數項為正，偶數項為負,
所以它的一個通項公式是
(2)這個數列的奇數項是2，偶數項是0, 所以它的一個通項公式是
提問：難道不止一個？你還能寫出其他的解析式嗎？
答：（1）或
（2）或或
總結：要明確數列項與數的關系，根據數列的特點選擇合適的通項公式，注意奇偶項和正負號的檢驗.
設計意圖：通過典型例題，幫助靈活運用數列的概念解決問題，發展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養。
課堂練習
1.已知數列，，，，，，，則是這個數列的( )
A. 第項 B. 第項 C. 第項 D. 第項
2.數列，，，，的一個通項公式為( )
A. B. C. D.
3.數列，，，，的通項公式可能是( )
A. B. C. D.
4.數列，，，，的一個通項公式為( )
A. B. C. D.
5.數列的通項公式為，則數列中的最大項是( )
A. B. C. D.
6.已知，則數列是( )
A. 遞增數列 B. 遞減數列 C. 常數列 D. 擺動數列
設計意圖：通過練習鞏固本節所學知識，通過學生解決問題，發展學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學建模的核心素養。
（五）歸納總結
課堂小結：通過本節課的研究，大家學到了哪些知識和方法，說說你的體會？
設計意圖：通過練習鞏固本節所學知識，通過學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數學思想，增強學生的應用意識.第四章 數列
4.1.2數列的概念
第2課時
1.理解數列遞推公式的含義，會用遞推公式解決有關問題.
2.了解通項公式和遞推公式是給出數列的兩種方式，并明確它們的異同.
3.會利用數列的前n項和與通項的關系求通項公式.
重點：數列遞推公式及數列的前項和與通項的關系.
難點：用遞推公式解決有關問題、用數列的前項和與通項的關系求通項公式.
（一）創設情境
提問：回顧上節所學內容，數列的概念與一般形式是什么
回答：(1)一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項.
(2)數列的每一項與這一項的序號有一一對應的關系.
(3)數列的第項與序號之間的關系式叫數列的通項公式.
(4)求數列通項公式的一般方法：由各項的特點，找出各項共同的構成規律,通過觀察、猜想歸納出數列中的項與序號之間的關系.
（二）探究新知
任務1：數列的通項公式
例3：如果數列的通項公式為，那么120是不是這個數列的項？如果是，是第幾項？
解：令，
解這個關于的方程，得(舍去)，或.
所以，120是數列的項，是第10項.
總結： 判斷某個數是否為此數列的項，關鍵是要將此數帶入到數列的通項公式，注意解必須得有且為正整數.
設計意圖：本例是要利用數列的通項公式判斷某個數是不是這個數列的項，引導學生對這個問題進行轉化——“判斷120是不是數列{an}中的項，就是要回答是否存在正整數n，使得n2+2n=120”.這實質上轉化成了一個求方程的整數解的問題.同時，通過本題讓學生靈活運用數列的通項公式解決問題.
例4：圖中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形.在圖中4個大三角形中，著色的三角形的個數依次構成一個數列的前4項，寫出這個數列的一個通項公式.
解：在以上4個圖中，著色三角形的個數依次為1，3，9，27，
即所求數列的前4項都是3的指數冪，指數為序號減1.
因此，這個數列的一個通項公式是.
總結：首先要明確數列的每一項，其次是要確定數與項一一對應的關系，進而尋找規律，得出數列的通項公式.
設計意圖：該問題是以一個典型的分形現象——謝爾賓斯基三角形為素材，讓學生用數列刻畫這個三角形序列中著色三角形的個數，并寫出這個數列的一個通項公式，這個情境反映了數列在刻畫事物變化規律方面的應用.同時，借助該問題引出遞推數列的定義.通過具體問題的思考和分析，幫助學生認識數列中的遞推公式.發展學生數學抽象和數學建模的核心素養.
提問：觀察例4中的三個圖，說說相鄰的大三角形中著色三角形個數相互之間的關系是什么？數列的項什么關系？
師生活動：每個圖形中著色三角形的個數都是前一個圖形中著色三角形個數的3倍.這樣，例4中的數列的前4項滿足，，，.
因此猜測這個數列滿足公式
總結：像這樣，如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式.
知道了首項或前幾項以及遞推公式，就能求出數列的每一項了.
提示：當不能明顯看出數列的項的取值規律時，可以嘗試通過運算來尋找規律.如依次取出數列的某一項，減去或除以它的前一項，再對差或商加以觀察.
例5：已知數列的首項為，遞推公式為，寫出這個數列的前5項.
解：由題意可知， 1，
總結：首先明確遞推公式的形式，其次是要一步一步代入計算，一層一層計算，注意細心.
設計意圖：通過典型例題，讓學生熟悉遞推公式的表示方式，加深學生對數列遞推公式的理解和運用，發展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養.
任務3：數列的前項和公式
總結：在對數列的研究中，求數列某些項的和是主要問題之一.我們把數列從第1項起到第項止的各項之和，稱為數列的前項和，記作，即
如果數列的前項和與它的序號之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的前項和公式.
思考：已知數列的前項和公式為，你能求出的通項公式嗎？
解：因為
并且當時，依然成立.
所以的通項公式是.
設計意圖：通過典型例題，幫助學生靈活運用數列前n項和與通項公式的關系，發展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養.
（三）課堂練習
1.下列說法不正確的是( )
A. 根據通項公式可以求出數列的任何一項 B. 任何數列都有通項公式
C. 一個數列可能有幾個不同形式的通項公式 D. 有些數列可能不存在最大項
2.已知數列，，，，，，，則是這個數列的( )
A. 第項 B. 第項 C. 第項 D. 第項
3.數列中，，，則( )
A. B. C. D.
4.下面有四個命題：
數列，，，，的通項公式是；
數列的圖象是一群孤立的點；
數列，，，，與數列，，，，是同一數列．
其中正確命題的個數是( )
A. B. C. D.
5.大衍數列，來源于乾坤譜中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理．數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和，是中華傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題．其前項依次是，，，，，，，，，，，則此數列的第項為( )
A. B. C. D.
6.在數列中，已知前項的和，那么等于( )
A. B. C. D.
7.數列的前項和，若，則( )
A. B. C. D.
設計意圖：通過練習鞏固本節所學知識，通過學生解決問題，發展學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學建模的核心素養。
（五）歸納總結
課堂小結：通過本節課的研究，大家學到了哪些知識和方法，說說你的體會？
設計意圖：通過練習鞏固本節所學知識，通過學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數學思想，增強學生的應用意識.

展開更多......

收起↑