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專題八　幾何最值問題
　　最值問題,是中考數(shù)學(xué)中最常見的壓軸題.選擇、填空、解答各種題型中都有它的影子,它幾乎成了壓軸題的代名詞.難度大,是這種題型最大的特點,其次是這種題型思路比較特別,比較固定,第三個特點就是這種問題的綜合性較強,牽扯的知識點較多.第四個特點就是這種最值問題多數(shù)都與動點有關(guān).現(xiàn)在,比較常見的最值問題,大致可以分為以下幾種:將軍飲馬問題、阿氏圓問題、費馬點問題,當然還有一些其他的.
類型一 將軍飲馬問題——作軸對稱
　　此類問題的難點在于PA+PB是一段折線段,通過觀察圖形很難得出結(jié)果,關(guān)于最小值,我們知道“兩點之間,線段最短”“點到直線的連線中,垂線段最短”等,所以此處,需轉(zhuǎn)化問題,將折線段變?yōu)橹本€段.
【例1】(2024·成都)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知A(3,0),B(0,2),過點B作y軸的垂線l,P為直線l上一動點,連接PO,PA,則PO+PA的最小值為__ __.
【例2】如圖,等腰△ABC的面積為21,底邊BC=6,點D,F分別是AC,BC的中點,DH⊥AC交AB于H,點E是DH上一動點,則△CEF的周長的最小值為__ __.
類型二 胡不歸問題—構(gòu)造角和直角三角形
　解決胡不歸問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造與kPB相等的線段.這通常通過構(gòu)造一個角a,使得sin a=k,并在該角的基礎(chǔ)上做垂線,從而構(gòu)造直角三角形.在這個直角三角形中,角a的對邊即為kPB的等線段.通過這種方法,我們可以將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為更容易處理的“PA+PC”型問題.
【例3】如圖,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,點P是AC上的一動點,AB=2,則PA+PB的最小值為( )
A.2 B. C. D.2
【例4】如圖,△ABC中,AB=AC=10,∠A=45°,BD是△ABC的邊AC上的高,點P是BD上動點,則BP+CP的最小值是__ __.
類型三 費馬點問題——作旋轉(zhuǎn)變換(60 °)
　　解決幾個線段和的最值問題的基本策略就是化折為直,這里的三條線段的和,我們怎樣才能將其連接起來變成一條折線呢 解決辦法就是費馬給出的旋轉(zhuǎn)法,如圖1我們將三角形APC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到三角形AQE的位置,此時易證△APQ是等邊三角形,所以PA+PB+PC=PQ+PB+QE,這樣原問題的三條線段就變成了一條折線,很顯然,只有當B,P,Q,E四點共線時(如圖2)有最小值,最小值即為BE的長.求BE的長只要利用三角函數(shù)或勾股定理即可解決.
【例5】問題背景:如圖1,將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE,DE與BC交于點P,可推出結(jié)論:PA+PC=PE.
問題解決:如圖2,在△MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=4.點O是△MNG內(nèi)一點,則點O到△MNG三個頂點的距離和的最小值是__ __.
【例6】閱讀材料:
被譽為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的皮埃爾·德·費馬曾提出這樣一個問題:在三角形所在平面內(nèi)求一點,使該點到三角形各頂點的距離之和最小,后來人們稱該點為費馬點.在三個內(nèi)角都小于120°的三角形中,費馬點就是與三角形三個頂點的連線兩兩夾角為120°的點.如圖①,P為△ABC內(nèi)一點,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,則點P叫做△ABC的費馬點,此時PA+PB+PC的值最小.
問題解決:
如圖②,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=2,若P為Rt△ABC內(nèi)一點,連接AP,BP,CP,將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C,當PA+PB+PC取得最小值時,求∠APB的度數(shù).
類型四 阿氏圓問題——構(gòu)造母子相似三角形★
　　一類形如求PA+kPB最小值問題,我們只要構(gòu)造一對母子相似的三角形,其相似比為k,將其中的kPB用與PB的對應(yīng)邊來等量代換,這樣就把原問題轉(zhuǎn)化為PA+PC的最小值問題,然后利用兩點之間線段最短來求解即可.
【例7】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=9,以點A為圓心、6為半徑的圓上有一個動點P.連接AP,BP,CP,則BP+CP的最小值是( )
A.3 B. C. D.2+3
【例8】如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=CB=2,以B為圓心作圓B與AC相切,點P為圓B上任一動點,則PA+PC的最小值是 _. 專題八　幾何最值問題
　　最值問題,是中考數(shù)學(xué)中最常見的壓軸題.選擇、填空、解答各種題型中都有它的影子,它幾乎成了壓軸題的代名詞.難度大,是這種題型最大的特點,其次是這種題型思路比較特別,比較固定,第三個特點就是這種問題的綜合性較強,牽扯的知識點較多.第四個特點就是這種最值問題多數(shù)都與動點有關(guān).現(xiàn)在,比較常見的最值問題,大致可以分為以下幾種:將軍飲馬問題、阿氏圓問題、費馬點問題,當然還有一些其他的.
類型一 將軍飲馬問題——作軸對稱
　　此類問題的難點在于PA+PB是一段折線段,通過觀察圖形很難得出結(jié)果,關(guān)于最小值,我們知道“兩點之間,線段最短”“點到直線的連線中,垂線段最短”等,所以此處,需轉(zhuǎn)化問題,將折線段變?yōu)橹本€段.
【例1】(2024·成都)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知A(3,0),B(0,2),過點B作y軸的垂線l,P為直線l上一動點,連接PO,PA,則PO+PA的最小值為__5__.
【例2】如圖,等腰△ABC的面積為21,底邊BC=6,點D,F分別是AC,BC的中點,DH⊥AC交AB于H,點E是DH上一動點,則△CEF的周長的最小值為__10__.
類型二 胡不歸問題—構(gòu)造角和直角三角形
　解決胡不歸問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造與kPB相等的線段.這通常通過構(gòu)造一個角a,使得sin a=k,并在該角的基礎(chǔ)上做垂線,從而構(gòu)造直角三角形.在這個直角三角形中,角a的對邊即為kPB的等線段.通過這種方法,我們可以將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為更容易處理的“PA+PC”型問題.
【例3】如圖,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,點P是AC上的一動點,AB=2,則PA+PB的最小值為(C)
A.2 B. C. D.2
【例4】如圖,△ABC中,AB=AC=10,∠A=45°,BD是△ABC的邊AC上的高,點P是BD上動點,則BP+CP的最小值是__5__.
類型三 費馬點問題——作旋轉(zhuǎn)變換(60 °)
　　解決幾個線段和的最值問題的基本策略就是化折為直,這里的三條線段的和,我們怎樣才能將其連接起來變成一條折線呢 解決辦法就是費馬給出的旋轉(zhuǎn)法,如圖1我們將三角形APC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到三角形AQE的位置,此時易證△APQ是等邊三角形,所以PA+PB+PC=PQ+PB+QE,這樣原問題的三條線段就變成了一條折線,很顯然,只有當B,P,Q,E四點共線時(如圖2)有最小值,最小值即為BE的長.求BE的長只要利用三角函數(shù)或勾股定理即可解決.
【例5】問題背景:如圖1,將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE,DE與BC交于點P,可推出結(jié)論:PA+PC=PE.
問題解決:如圖2,在△MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=4.點O是△MNG內(nèi)一點,則點O到△MNG三個頂點的距離和的最小值是__2__.
【例6】閱讀材料:
被譽為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的皮埃爾·德·費馬曾提出這樣一個問題:在三角形所在平面內(nèi)求一點,使該點到三角形各頂點的距離之和最小,后來人們稱該點為費馬點.在三個內(nèi)角都小于120°的三角形中,費馬點就是與三角形三個頂點的連線兩兩夾角為120°的點.如圖①,P為△ABC內(nèi)一點,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,則點P叫做△ABC的費馬點,此時PA+PB+PC的值最小.
問題解決:
如圖②,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=2,若P為Rt△ABC內(nèi)一點,連接AP,BP,CP,將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C,當PA+PB+PC取得最小值時,求∠APB的度數(shù).
【解析】∵將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C,∴CP=CP',
∠PCP'=60°,AP=A'P',
∴△PCP'是等邊三角形,∴PC=PP',
∴BP+PC+AP=BP+PP'+P'A',
∴當B,P,P',A'共線時,此時PA+PB+PC取得最小值,
∵∠PP'C=60°,∴∠APC=∠A'P'C=120°,
∴∠APP'=∠APC-∠P'PC=60°,∴∠APB=120°.
類型四 阿氏圓問題——構(gòu)造母子相似三角形★
　　一類形如求PA+kPB最小值問題,我們只要構(gòu)造一對母子相似的三角形,其相似比為k,將其中的kPB用與PB的對應(yīng)邊來等量代換,這樣就把原問題轉(zhuǎn)化為PA+PC的最小值問題,然后利用兩點之間線段最短來求解即可.
【例7】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=9,以點A為圓心、6為半徑的圓上有一個動點P.連接AP,BP,CP,則BP+CP的最小值是(B)
A.3 B. C. D.2+3
【例8】如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=CB=2,以B為圓心作圓B與AC相切,點P為圓B上任一動點,則PA+PC的最小值是 __.

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