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微專題17　對稱性質在最值中的應用
【模型1】“一線兩點”型
特點 兩個定點A,B,點P在直線l上運動,何時PA+PB最小
示例
思路結論 作點A關于直線l的對稱點A',連接A'B與直線l交于點P,此時PA+PB最小
針對訓練
1.如圖,正方形ABCD的邊長為6,點E在BC上,CE=2.點M是對角線BD上的一個動點,則EM+CM的最小值是(C)
　　　　　　　　　　 　　　　　
A.6 B.3
C.2 D.4
2.(2023·貴州)如圖①,是一座拋物線型拱橋,小星學習二次函數后,受到該圖啟示設計了一建筑物造型,它的截面圖是拋物線的一部分(如圖②所示),拋物線的頂點在C處,對稱軸OC與水平線OA垂直,OC=9,點A在拋物線上,且點A到對稱軸的距離OA=3,點B在拋物線上,點B到對稱軸的距離是1.
(1)求拋物線的表達式;
(2)如圖②,為更加穩固,小星想在OC上找一點P,加裝拉桿PA,PB,同時使拉桿的長度之和最短,請你幫小星找到點P的位置并求出坐標;
(3)為了使造型更加美觀,小星重新設計拋物線,其表達式為y=-x2+2bx+b-1(b>0),當4≤x≤6時,函數y的值總大于等于9.求b的取值范圍.
【解析】(1)設拋物線的表達式為y=ax2+9,
把點A(3,0)代入,得:9a+9=0,解得:a=-1,
∴拋物線的表達式為y=-x2+9;
(2)作A點關于y軸的對稱點A'(-3,0),連接A'B交OC于點P,則P點即為所求;
把x=1代入y=-x2+9,得:y=8,∴B(1,8)
設直線A'B的表達式為y=kx+m,代入B點和A'點,
∴,解得,
∴y=2x+6,令x=0,得y=6,∴P點的坐標為(0,6);
(3)y=-x2+2bx+b-1=-(x-b)2+b2+b-1,
∴拋物線的對稱軸為直線x=b,頂點坐標為(b,b2+b-1),
當0∴≤b≤4,當46-b,得:b>5,
∴-42+8b+b-1≥9,解得b≥∴5由b-4≤6-b,得:b≤5,∴-62+12b+b-1≥9,
解得:b≥,∴4當b≥6時,得:∴-42+8b+b-1≥9,
解得b≥,∴b≥6都成立;
綜上所述,b的取值范圍為b≥.
【模型2】　 “一點兩線”型
特點 一個定點C,點P在射線OA上運動,點Q在射線OB上運動,何時△CPQ的周長最小
示例
思路結論 分別作點C關于射線OA和射線OB的對稱點C'和C'',連接C'C''與射線OA和射線OB交于點P和Q,此時△CPQ的周長最小
針對訓練
3.如圖,∠AOB=60°,點P到OA的距離是2,到OB的距離是3,M,N分別是OA,OB上的動點,則△PMN周長的最小值是(A)
A.2 B.3 C.9 D.5
4.如圖,點P是∠AOB內任意一點,OP=5 cm,點M,N分別是OB,OA邊上的點,當△PMN周長的最小值是5 cm時,則∠AOB=__30°__.
【模型3】“兩點兩線”型
特點 兩個定點A,B,點P在射線OC上運動,點Q在射線OD上運動,何時四邊形APQB的周長最小
示例
思路結論 作點A關于射線OC的對稱點A',作點B關于射線OD的對稱點B',連接A'B',與射線OC和射線OD交于點P和Q,此時四邊形APQB的周長最小
針對訓練
5.如圖,在邊長為8的正方形ABCD中,點G是BC邊的中點,E,F分別是AD和CD邊上的點,則四邊形BEFG周長的最小值為__24__.
6.已知,如圖,∠AOB=33°,點M,N分別是邊OA,OB上的定點,點P,Q分別是邊OB,OA上的動點,記∠MPQ=α,∠PQN=β,當MP+PQ+QN最小時,則β-α=__66°__. 微專題17　對稱性質在最值中的應用
【模型1】“一線兩點”型
特點 兩個定點A,B,點P在直線l上運動,何時PA+PB最小
示例
思路結論 作點A關于直線l的對稱點A',連接A'B與直線l交于點P,此時PA+PB最小
針對訓練
1.如圖,正方形ABCD的邊長為6,點E在BC上,CE=2.點M是對角線BD上的一個動點,則EM+CM的最小值是( )
　　　　　　　　　　 　　　　　
A.6 B.3
C.2 D.4
2.(2023·貴州)如圖①,是一座拋物線型拱橋,小星學習二次函數后,受到該圖啟示設計了一建筑物造型,它的截面圖是拋物線的一部分(如圖②所示),拋物線的頂點在C處,對稱軸OC與水平線OA垂直,OC=9,點A在拋物線上,且點A到對稱軸的距離OA=3,點B在拋物線上,點B到對稱軸的距離是1.
(1)求拋物線的表達式;
(2)如圖②,為更加穩固,小星想在OC上找一點P,加裝拉桿PA,PB,同時使拉桿的長度之和最短,請你幫小星找到點P的位置并求出坐標;
(3)為了使造型更加美觀,小星重新設計拋物線,其表達式為y=-x2+2bx+b-1(b>0),當4≤x≤6時,函數y的值總大于等于9.求b的取值范圍.
【模型2】　 “一點兩線”型
特點 一個定點C,點P在射線OA上運動,點Q在射線OB上運動,何時△CPQ的周長最小
示例
思路結論 分別作點C關于射線OA和射線OB的對稱點C'和C'',連接C'C''與射線OA和射線OB交于點P和Q,此時△CPQ的周長最小
針對訓練
3.如圖,∠AOB=60°,點P到OA的距離是2,到OB的距離是3,M,N分別是OA,OB上的動點,則△PMN周長的最小值是( )
A.2 B.3 C.9 D.5
4.如圖,點P是∠AOB內任意一點,OP=5 cm,點M,N分別是OB,OA邊上的點,當△PMN周長的最小值是5 cm時,則∠AOB=__ __.
【模型3】“兩點兩線”型
特點 兩個定點A,B,點P在射線OC上運動,點Q在射線OD上運動,何時四邊形APQB的周長最小
示例
思路結論 作點A關于射線OC的對稱點A',作點B關于射線OD的對稱點B',連接A'B',與射線OC和射線OD交于點P和Q,此時四邊形APQB的周長最小
針對訓練
5.如圖,在邊長為8的正方形ABCD中,點G是BC邊的中點,E,F分別是AD和CD邊上的點,則四邊形BEFG周長的最小值為__ __.
6.已知,如圖,∠AOB=33°,點M,N分別是邊OA,OB上的定點,點P,Q分別是邊OB,OA上的動點,記∠MPQ=α,∠PQN=β,當MP+PQ+QN最小時,則β-α=__ __.

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