資源簡介

微專題14　圓中常用輔助線的探尋
類型1見弦連半徑,得等腰三角形
圖形示例
輔助線 在求圓中有關邊長和角度時,連接圓心和弦的兩個端點,組成等腰三角形,利用等腰三角形的性質求解
思路結論 OA=OB,∠OAB=∠OBA
針對訓練
1.如圖,A,B,C是半徑為1的☉O上的三個點,若AB=,∠CAB=30°,則∠ABC的度數為(C)
A.95° B.100° C.105° D.110°
2.(2023·長沙)如圖,點A,B,C在半徑為2的☉O上,∠ACB=60°,OD⊥AB,垂足為E,交☉O于點D,連接OA,則OE的長度為__1__.
類型2見弦作垂徑,得直角三角形
圖形示例
輔助線 在求圓中有關弦長和半徑時,過圓心作弦的垂線段,再連接半徑,組成直角三角形,利用垂徑定理、勾股定理、銳角三角函數求解
思路結論 AC=BC,OC2+BC2=OB2
針對訓練
3.如圖,☉O是等邊△ABC的外接圓,若AB=3,則☉O的半徑是(C)
A. B. C. D.
4.如圖是一根圓形下水管道的橫截面,管內有少量的污水,此時的水面寬AB為0.6米,污水的最大深度為0.1米.
(1)求此下水管道橫截面的半徑;
(2)隨著污水量的增加,水位又被抬升0.7米,求此時水面的寬度增加了多少.
【解析】(1)過點O作OD⊥AB于點C,交圓O于點D,連接OB,則CD=0.1米,
∴BC=AB=0.3米,設此下水管橫截面的半徑為r米,
則OB=OD=r米,∴OC=(r-0.1)米,在Rt△BOC中,OB2=OC2+BC2,
∴r2=(r-0.1)2+0.32,解得:r=0.5,
即此下水管道橫截面的半徑為0.5米;
(2)如圖,過點O作OH⊥MN于點H,∴MH=NH=MN,
根據題意得CH=0.7米,由(1)得ON=0.5米,
∴OH=0.7-(0.5-0.1)=0.3(米),
∴NH==0.4米,
∴MN=0.8米,
∴此時水面的寬度增加了0.8-0.6=0.2(米).
類型3見直徑作弦,得90 °圓周角
圖形示例
輔助線 在求圓中有關邊長和角度時,如果見到直徑,連接圓上一點和直徑的兩個端點,組成直角三角形,利用勾股定理和銳角三角函數求解
思路結論 ∠C=90°,AC2+BC2=AB2
針對訓練
5.(2024·眉山)如圖,BE是☉O的直徑,點A在☉O上,點C在BE的延長線上,
∠EAC=∠ABC,AD平分∠BAE交☉O于點D,連接DE.
(1)求證:CA是☉O的切線;
(2)當AC=8,CE=4時,求DE的長.
【解析】(1)連接OA,
∵BE是☉O的直徑,
∴∠BAE=90°,∴∠BAO+∠OAE=90°.
∵OA=OB,∴∠B=∠BAO.
∵∠EAC=∠ABC,∴∠CAE=∠BAO,
∴∠CAE+∠OAE=90°,
∴∠OAC=90°.
∵OA是☉O的半徑,
∴CA是☉O的切線.
(2)∵∠EAC=∠ABC,∠C=∠C,
∴△ABC∽△EAC,
∴=,
∴=,∴BC=16,
∴BE=BC-CE=12.
連接BD,∵AD平分∠BAE,∴∠BAD=∠EAD,
∴=,∴BD=DE.
∵BE是☉O的直徑,∴∠BDE=90°,
∴DE=BD=BE=6.
類型4見切線連圓心和切點,得切線垂直半徑
圖形 示例
輔助線 在圓中,出現切線,連接圓心和切點,得到垂直,進而用直角三角形的相關性質解決問題
思路結論 OA⊥PA
針對訓練
6.如圖,AB是☉O的切線,B為切點,連接AO交☉O于點C,延長AO交☉O于點D,連接BD.若∠A=∠D,且AC=3,則AB的長度是(C)
A.3 B.4
C.3 D.4
7.(2024·武漢)如圖,△ABC為等腰三角形,O是底邊BC的中點,腰AC與半圓O相切于點D,底邊BC與半圓O交于E,F兩點.
(1)求證:AB與半圓O相切;
(2)連接OA.若CD=4,CF=2,求sin∠OAC的值.
【解析】(1)連接OD,OA,作OH⊥AB于H,如圖,
∵△ABC為等腰三角形,O是底邊BC的中點,
∴AO⊥BC,AO平分∠BAC.
∵AC與☉O相切于點D,∴OD⊥AC,而OH⊥AB,
∴OH=OD,∴AB是半圓O的切線.
(2)由(1)知OD⊥AC,
在Rt△OCD中,CD=4,OC=OF+CF=OD+2,OD2+CD2=OC2,
∴OD2+42=(OD+2)2,
∴OD=3,∴OC=5,
∴cos C==.
在Rt△OCA中,cos C==,
∴sin∠OAC==.
類型5連半徑證垂直或作垂直證半徑,得相切
圖形示例
輔助線 圖1:連接圓心和切點,通過證明OA⊥PA,來證明PA是圓O的切線; 圖2:過圓心作OA⊥PM,通過證明OA是圓O的半徑,來證明PA是圓O的切線
思路結論 PA是圓O的切線
針對訓練
8.(2024·威海)如圖,已知AB是☉O的直徑,點C,D在☉O上,且BC=CD.點E是線段AB延長線上一點,連接EC并延長交射線AD于點F.∠FEG的平分線EH交射線AC于點H,∠H=45°.
(1)求證:EF是☉O的切線;
(2)若BE=2,CE=4,求AF的長.
【解析】(1)如圖,連接OC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∵BC=CD,
∴∠DAC=∠BAC,
∴∠OCA=∠DAC,
∴OC∥AF.
∵EH平分∠FEG,
∴∠FEG=2∠GEH.
∵∠GEH=∠H+∠BAC,∠FEG=∠F+∠BAF,
∴2∠H+2∠BAC=∠F+∠BAF.
∵∠BAF=2∠BAC,
∴∠F=2∠H=90°,
∴∠OCE=∠F=90°,即OC⊥EF.
∵OC是☉O的半徑,∴EF是☉O的切線.
(2)設☉O的半徑為r,則OC=OB=r,OE=OB+BE=r+2,
∴在Rt△OCE中,由勾股定理得OC2+CE2=OE2,即r2+42=(r+2)2,解得r=3,
∴OE=5,∴AE=AO+OE=8.
由(1)知,OC∥AF,
∴△OCE∽△AFE,
∴=,即=,
∴AF=.
類型6見內心連頂點,得角平分線
圖形示例
輔助線 點I是三角形ABC的內心,連接內心I和頂點A,用三角形內心的性質解決問題
思路結論 ∠IAB=∠IAC
針對訓練
9.如圖,AB為☉O的直徑,C為圓上一點,I為△ABC的內心,AI交☉O于D,OI⊥AD于I,連接BD,則AB與BD的關系是(C)
A.AB=2BD B.AB=BD C.AB=BD D.AB=BD
10.如圖,在△ABC中,∠B=60°,AB=3+,△ABC內切圓☉O半徑為,將CA繞點C逆時針方向旋轉60°得CD,連接AD交BC于點M,則點M到AB與點M到CD的距離之比為__1∶__. 微專題14　圓中常用輔助線的探尋
類型1見弦連半徑,得等腰三角形
圖形示例
輔助線 在求圓中有關邊長和角度時,連接圓心和弦的兩個端點,組成等腰三角形,利用等腰三角形的性質求解
思路結論 OA=OB,∠OAB=∠OBA
針對訓練
1.如圖,A,B,C是半徑為1的☉O上的三個點,若AB=,∠CAB=30°,則∠ABC的度數為( )
A.95° B.100° C.105° D.110°
2.(2023·長沙)如圖,點A,B,C在半徑為2的☉O上,∠ACB=60°,OD⊥AB,垂足為E,交☉O于點D,連接OA,則OE的長度為__ __.
類型2見弦作垂徑,得直角三角形
圖形示例
輔助線 在求圓中有關弦長和半徑時,過圓心作弦的垂線段,再連接半徑,組成直角三角形,利用垂徑定理、勾股定理、銳角三角函數求解
思路結論 AC=BC,OC2+BC2=OB2
針對訓練
3.如圖,☉O是等邊△ABC的外接圓,若AB=3,則☉O的半徑是( )
A. B. C. D.
4.如圖是一根圓形下水管道的橫截面,管內有少量的污水,此時的水面寬AB為0.6米,污水的最大深度為0.1米.
(1)求此下水管道橫截面的半徑;
(2)隨著污水量的增加,水位又被抬升0.7米,求此時水面的寬度增加了多少.
類型3見直徑作弦,得90 °圓周角
圖形示例
輔助線 在求圓中有關邊長和角度時,如果見到直徑,連接圓上一點和直徑的兩個端點,組成直角三角形,利用勾股定理和銳角三角函數求解
思路結論 ∠C=90°,AC2+BC2=AB2
針對訓練
5.(2024·眉山)如圖,BE是☉O的直徑,點A在☉O上,點C在BE的延長線上,
∠EAC=∠ABC,AD平分∠BAE交☉O于點D,連接DE.
(1)求證:CA是☉O的切線;
(2)當AC=8,CE=4時,求DE的長.
類型4見切線連圓心和切點,得切線垂直半徑
圖形 示例
輔助線 在圓中,出現切線,連接圓心和切點,得到垂直,進而用直角三角形的相關性質解決問題
思路結論 OA⊥PA
針對訓練
6.如圖,AB是☉O的切線,B為切點,連接AO交☉O于點C,延長AO交☉O于點D,連接BD.若∠A=∠D,且AC=3,則AB的長度是( )
A.3 B.4
C.3 D.4
7.(2024·武漢)如圖,△ABC為等腰三角形,O是底邊BC的中點,腰AC與半圓O相切于點D,底邊BC與半圓O交于E,F兩點.
(1)求證:AB與半圓O相切;
(2)連接OA.若CD=4,CF=2,求sin∠OAC的值.
類型5連半徑證垂直或作垂直證半徑,得相切
圖形示例
輔助線 圖1:連接圓心和切點,通過證明OA⊥PA,來證明PA是圓O的切線; 圖2:過圓心作OA⊥PM,通過證明OA是圓O的半徑,來證明PA是圓O的切線
思路結論 PA是圓O的切線
針對訓練
8.(2024·威海)如圖,已知AB是☉O的直徑,點C,D在☉O上,且BC=CD.點E是線段AB延長線上一點,連接EC并延長交射線AD于點F.∠FEG的平分線EH交射線AC于點H,∠H=45°.
(1)求證:EF是☉O的切線;
(2)若BE=2,CE=4,求AF的長.
類型6見內心連頂點,得角平分線
圖形示例
輔助線 點I是三角形ABC的內心,連接內心I和頂點A,用三角形內心的性質解決問題
思路結論 ∠IAB=∠IAC
針對訓練
9.如圖,AB為☉O的直徑,C為圓上一點,I為△ABC的內心,AI交☉O于D,OI⊥AD于I,連接BD,則AB與BD的關系是( )
A.AB=2BD B.AB=BD C.AB=BD D.AB=BD
10.如圖,在△ABC中,∠B=60°,AB=3+,△ABC內切圓☉O半徑為,將CA繞點C逆時針方向旋轉60°得CD,連接AD交BC于點M,則點M到AB與點M到CD的距離之比為__ __.

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