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微專題13　特殊四邊形的綜合應用
【類型1】折疊問題
特點 矩形、菱形或正方形沿某條直線翻折
示例
思路 結論 (1)圖形折疊意味著全等,要抓住其中的不變量; (2)若考查圖形折疊的折痕問題,則需要抓住折痕垂直平分對應點所連的線段,且平分對應邊所成的角
針對訓練
1.在矩形ABCD中,BC=CD,點E,F分別是邊AD,BC上的動點,且AE=CF,連接EF,將矩形ABCD沿EF折疊,點C落在點G處,點D落在點H處.
(1)如圖1,當EH與線段BC交于點P時,求證:PE=PF;
(2)如圖2,當點P在線段CB的延長線上時,GH交AB于點M,求證:點M在線段EF的垂直平分線上;
(3)當AB=5時,在點E由點A移動到AD中點的過程中,計算出點G運動的路線長.
【類型2】旋轉問題
特點 矩形、菱形或正方形繞某個點旋轉
示例
思路 結論 (1)旋轉前后圖形全等,對應點到旋轉中心的距離相等,對應點與旋轉中心連線的夾角都等于旋轉角,抓住這些不變量是解題的關鍵; (2)若在坐標系中旋轉變換,則需注意過圖形頂點向x軸或y軸作垂線,將點的坐標轉化為線段長度
針對訓練
2.有公共頂點A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置,點E,F分別在邊AB和AD上,連接BF,DE,M是BF的中點,連接AM交DE于點N.
【觀察猜想】
(1)線段DE與AM之間的數量關系是__________,位置關系是__________;
【探究證明】
(2)將圖1中的正方形AEGF繞點A順時針旋轉45°,點G恰好落在邊AB上,如圖2,其他條件不變,線段DE與AM之間的關系是否仍然成立 并說明理由.
【類型3】動點問題
特點 矩形、菱形或正方形邊上的點運動變化
示例
思路 結論 (1)動中求靜,發現運動變化中的不變量、不變圖形; (2)把相關的量用含變量的代數式表示列方程或確定函數的關系; (3)把握運動中的特殊位置,臨界位置,分段、分情況討論
針對訓練
3.如圖,在正方形ABCD中,點P是對角線AC上一動點,PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分別為點M,N,連接DP并延長,交MN于點E.
小亮說:點P在運動過程中,PD與MN的數量關系為PD=MN;
小瑩說:點P在運動過程中,PD與MN的位置關系為PD⊥MN.
小亮和小瑩兩人的發現,________是對的;(填“小亮”“小瑩”“兩人都”)并說明你的理由. 微專題13　特殊四邊形的綜合應用
【類型1】折疊問題
特點 矩形、菱形或正方形沿某條直線翻折
示例
思路 結論 (1)圖形折疊意味著全等,要抓住其中的不變量; (2)若考查圖形折疊的折痕問題,則需要抓住折痕垂直平分對應點所連的線段,且平分對應邊所成的角
針對訓練
1.在矩形ABCD中,BC=CD,點E,F分別是邊AD,BC上的動點,且AE=CF,連接EF,將矩形ABCD沿EF折疊,點C落在點G處,點D落在點H處.
(1)如圖1,當EH與線段BC交于點P時,求證:PE=PF;
(2)如圖2,當點P在線段CB的延長線上時,GH交AB于點M,求證:點M在線段EF的垂直平分線上;
(3)當AB=5時,在點E由點A移動到AD中點的過程中,計算出點G運動的路線長.
【解析】(1)如題圖1中,∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB,
由翻折變換可知,∠DEF=∠PEF,
∴∠PEF=∠PFE,∴PE=PF.
(2)如圖2中,連接AC交EF于O,連接PM,PO.
∵AE∥CF,∴∠EAO=∠FCO,
∵AE=CF,∠AOE=∠COF,
∴△AEO≌△CFO(AAS),∴OE=OF,
∵PE=PF,∴PO平分∠EPF,
∵AD=BC,AE=FC,
∴ED=BF,由折疊的性質可知ED=EH,所以BF=EH,
∴PE-EH=PF-BF,
∴PH=PB,
∵∠PHM=∠PBM=90°,PM=PM,
∴Rt△PMH≌Rt△PMB(HL),
∴PM平分∠EPF,∴P,M,O共線,
∵PO⊥EF,OE=OF,
∴點M在線段EF的垂直平分線上.
(3)如圖3中,由題意,點E由點A移動到AD中點的過程中,點G運動的路徑是圖中弧BC.
在Rt△BCD中,tan∠CBD==,∴∠CBD=30°,
∴∠ABO=∠OAB=60°,∴△AOB是等邊三角形,
∴OA=OD=OB=OC=AB=5,∠BOC=120°,
∴點G運動的路徑的長==π.
【類型2】旋轉問題
特點 矩形、菱形或正方形繞某個點旋轉
示例
思路 結論 (1)旋轉前后圖形全等,對應點到旋轉中心的距離相等,對應點與旋轉中心連線的夾角都等于旋轉角,抓住這些不變量是解題的關鍵; (2)若在坐標系中旋轉變換,則需注意過圖形頂點向x軸或y軸作垂線,將點的坐標轉化為線段長度
針對訓練
2.有公共頂點A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置,點E,F分別在邊AB和AD上,連接BF,DE,M是BF的中點,連接AM交DE于點N.
【觀察猜想】
(1)線段DE與AM之間的數量關系是__________,位置關系是__________;
【探究證明】
(2)將圖1中的正方形AEGF繞點A順時針旋轉45°,點G恰好落在邊AB上,如圖2,其他條件不變,線段DE與AM之間的關系是否仍然成立 并說明理由.
【解析】(1)∵四邊形ABCD和四邊形AEGF都是正方形,
∴AD=AB,AF=AE,∠DAE=∠BAF=90°,∴△DAE≌△BAF(SAS),
∴DE=BF,∠ADE=∠ABF,∵∠ABF+∠AFB=90°,
∴∠ADE+∠AFB=90°,在Rt△BAF中,M是BF的中點,
∴AM=FM=BM=BF,∴DE=2AM.
∵AM=FM,∴∠AFB=∠MAF,
又∵∠ADE+∠AFB=90°,
∴∠ADE+∠MAF=90°,
∴∠AND=180°-(∠ADE+∠MAF)=90°,即AN⊥DN;
答案:DE=2AM　DE⊥AM
(2)仍然成立.證明如下:
延長AM至點H,使得AM=MH,連接FH,
∵M是BF的中點,∴BM=FM,又∵∠AMB=∠HMF,
∴△AMB≌△HMF(SAS),∴AB=HF,∠ABM=∠HFM,
∴AB∥HF,∴∠HFG=∠AGF,∵四邊形ABCD和四邊形AEGF是正方形,
∴∠DAB=∠AFG=90°,AE=AF,AD=AB=FH,∠EAG=∠AGF,
∴∠EAD=∠DAB+∠EAG=∠AFG+∠AGF=∠AFG+∠HFG=∠AFH,
∴△EAD≌△AFH(SAS),∴DE=AH,
又∵AM=MH,∴DE=AM+MH=2AM,
∵△EAD≌△AFH,∴∠ADE=∠FHA,
∵△AMB≌△HMF,∴∠FHA=∠BAM,
∴∠ADE=∠BAM,又∵∠BAM+∠DAM=∠DAB=90°,
∴∠ADE+∠DAM=90°,
∴∠AND=180°-(∠ADE+∠DAM)=90°,即AN⊥DN.
故線段DE與AM之間的數量關系是DE=2AM,線段DE與AM之間的位置關系是DE⊥AM.
【類型3】動點問題
特點 矩形、菱形或正方形邊上的點運動變化
示例
思路 結論 (1)動中求靜,發現運動變化中的不變量、不變圖形; (2)把相關的量用含變量的代數式表示列方程或確定函數的關系; (3)把握運動中的特殊位置,臨界位置,分段、分情況討論
針對訓練
3.如圖,在正方形ABCD中,點P是對角線AC上一動點,PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分別為點M,N,連接DP并延長,交MN于點E.
小亮說:點P在運動過程中,PD與MN的數量關系為PD=MN;
小瑩說:點P在運動過程中,PD與MN的位置關系為PD⊥MN.
小亮和小瑩兩人的發現,________是對的;(填“小亮”“小瑩”“兩人都”)并說明你的理由.
【解析】兩人都是對的.理由如下:
延長NP,交AD于點F,則四邊形AMPF為正方形,
∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°,AB=AD,
∵PM⊥AB,PN⊥BC,∴∠PMB=90°,∠PNB=90°,
∴四邊形PNBM是矩形,∴PN=MB,∠MPN=90°,
∵四邊形AMPF是正方形,∴AM=AF=PM=PF,∠PFA=90°,
∵AB=AD,∴MB=FD,∵PN=MB,∴PN=FD,
又∵PM=PF,∠PFD=∠MPN=90°,
在△MPN與△PFD中,,
∴△MPN≌△PFD(SAS),∴PD=MN,∠PNM=∠FDP,
∵∠NPE=∠FPD,∴∠NPE+∠PNM=∠FPD+∠FDP=90°,
∴∠PEN=90°,∴PD⊥MN.
答案:兩人都

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