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微專題12　解直角三角形實際應用之四大模型
【模型1】獨立型
特點 實物的背景一般為單一的直角三角形
原型 實際問題抽象出單獨一個直角三角形,測得∠A和AC,計算可求出BC 【等量關系】BC=AC·tan A
變式 【等量關系】 ①AE=CD·tan α,②AC=AE+CE
針對訓練
1.(2023·長春)學校開放日即將來臨,負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面,如圖所示.已知彩旗繩與地面形成25°角(即
∠BAC=25°),彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米(即AC=32米),則彩旗繩AB的長度為( )
A.32sin 25°米 B.32cos 25°米 C.米 D.米
2.如圖,要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端,梯子與地面所成的角α要滿足60°≤α≤75°,現有一架長5.5 m的梯子.
(1)使用這架梯子最高可以安全攀上多高的墻(結果保留小數點后一位)
(2)當梯子底端距離墻面2.2 m時,α等于多少度(結果保留小數點后一位) 此時人是否能夠安全使用這架梯子
(參考數據:sin 75°≈0.97,cos 75°≈0.26,tan 75°≈3.73,sin 23.6°≈0.40,cos 66.4°≈0.40,
tan 21.8°≈0.40)
【模型2】背靠背型
特點 兩個直角三角形有一條公共的直角邊,另兩條直角邊在公共邊兩側
原型 若三角形中有已知角時,則通過在三角形內作高CD,構造出兩個直角三角形 求解,其中公共邊CD是解題的關鍵 【等量關系】CD為公共邊,AD+BD=AB
變式 【等量關系】如圖①,CE=DA,CD=EA,CE+BD=AB;如圖②,CD=EF, CE=DF,AD+CE+BF=AB
針對訓練
3.如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC,其中AB=AC,
∠ABC=27°,BC=44 cm,則高AD約為( )
(參考數據:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51)
A.9.90 cm B.11.22 cm C.19.58 cm D.22.44 cm
4.(2024·甘肅)習近平總書記于2023年指出,中國將力爭2030年前實現碳達峰、2060年前實現碳中和.甘肅省風能資源豐富,風力發(fā)電發(fā)展迅速.某學習小組成員查閱資料得知,在風力發(fā)電機組中,“風電塔筒”非常重要,它的高度是一個重要的設計參數.于是小組成員開展了“測量風電塔筒高度”的實踐活動.如圖,已知一風電塔筒AH垂直于地面,測角儀CD,EF在AH兩側,CD=EF=1.6 m,點C與點E相距182 m(點C,H,E在同一條直線上),在D處測得筒尖頂點A的仰角為45°,在F處測得筒尖頂點A的仰角為53°.求風電塔筒AH的高度. (參考數據:sin 53°≈,
cos 53°≈,tan 53°≈)
【模型3】母子型
特點 兩個直角三角形有一條公共的直角邊,另兩條直角邊在公共邊同側且共線
原型 若三角形中有已知角,通過在三角形外作高BC,構造有公共直角的兩個三角形求解,其中公共邊BC是解題的關鍵 【等量關系】BC為公共邊,如圖①,AD+DC=AC;如圖②,DC-BC=DB
變式 模型演變1:【等量關系】如圖③,DF=EC,DE=FC,BF+DE=BC,AE+DF=AC; 如圖④,AF=CE,AC=FE,BC+AF=BE. 模型演變2:【等量關系】如圖⑤,BE+EC=BC; 如圖⑥,EC-BC=BE; 如圖⑦,AC=FG,AF=CG,AD+DC=FG,BC+AF=BG. 模型演變3:【等量關系】如圖⑧,BC=FG,BF=CG,AC+BF=AG,EF+BC=EG; 如圖⑨,BC=FG,BF=CG,EF+BC=EG,BD+DF=BF, AC+BD+DF=AG
針對訓練
5.(2024·臨夏州)乾元塔位于臨夏州臨夏市的北山公園內,共九級,為砼框架式結構,造型獨特別致,遠可眺太子山露骨風月,近可收臨夏市城建全貌,巍巍峨峨,傲立蒼穹.某校數學興趣小組在學習了“解直角三角形”之后,開展了測量乾元塔高度AB的實踐活動.A為乾元塔的頂端,AB⊥BC,點C,D在點B的正東方向,在C點用高度為1.6米的測角儀(即CE=1.6米)測得A點仰角為37°,向西平移14.5米至點D,測得A點仰角為45°,請根據測量數據,求乾元塔的高度AB.(結果保留整數,參考數據:
sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
【模型4】 擁抱型
特點 兩個直角三角形有一條公共的直角邊,另兩條直角邊在公共邊同側且不共線
原型 分別解兩個直角三角形,其中公共邊BC是解題的關鍵 【等量關系】BC為公共邊
變式 【等量關系】如圖①,BF+FC+CE=BE; 如圖②,BC+CE=BE; 如圖③,AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG,DG+AB=DE
針對訓練
6.秀秀和山山在水平的地面上放風箏,某一時刻兩人的風箏正好都停在對方的正上方,即此時AC⊥AB,DB⊥AB,兩人之間的距離AB為120米,若兩人的風箏線與水平線的夾角分別為α和β,則兩人放出的風箏線AD與BC的長度和為(忽略兩人的身高與手臂長度)( )
A.(120tan α+120tan β)米 B.(+)米
C.(120cos α+120cos β)米 D.(+)米
7.圖1是一種淋浴噴頭,圖2是圖1的示意圖,若用支架把噴頭固定在點A處,手柄長AB=20 cm,AB與墻壁AD的夾角∠α=30°,噴出的水流BC與AB形成的夾角∠ABC=80°.現在住戶要求:當人站在E處淋浴時,水流正好噴灑在人體的C處,且使DE=50 cm,CE=150 cm,則安裝師傅應將支架固定的位置離地面的高度為__ __cm.
(結果精確到1 cm,參考數據:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,≈1.73,
≈1.41)微專題12　解直角三角形實際應用之四大模型
【模型1】獨立型
特點 實物的背景一般為單一的直角三角形
原型 實際問題抽象出單獨一個直角三角形,測得∠A和AC,計算可求出BC 【等量關系】BC=AC·tan A
變式 【等量關系】 ①AE=CD·tan α,②AC=AE+CE
針對訓練
1.(2023·長春)學校開放日即將來臨,負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面,如圖所示.已知彩旗繩與地面形成25°角(即
∠BAC=25°),彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米(即AC=32米),則彩旗繩AB的長度為(D)
A.32sin 25°米 B.32cos 25°米 C.米 D.米
2.如圖,要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端,梯子與地面所成的角α要滿足60°≤α≤75°,現有一架長5.5 m的梯子.
(1)使用這架梯子最高可以安全攀上多高的墻(結果保留小數點后一位)
(2)當梯子底端距離墻面2.2 m時,α等于多少度(結果保留小數點后一位) 此時人是否能夠安全使用這架梯子
(參考數據:sin 75°≈0.97,cos 75°≈0.26,tan 75°≈3.73,sin 23.6°≈0.40,cos 66.4°≈0.40,
tan 21.8°≈0.40)
【解析】(1)由題意得,當α=75°時,使用這架梯子可以安全攀上最高的墻,
在Rt△ABC中,sin α=,∴AC=AB·sin α≈5.5×0.97≈5.3(m),
答:使用這架梯子最高可以安全攀上約5.3 m的墻;
(2)在Rt△ABC中,cos α===0.4,
則α≈66.4°,∵60°<66.4°<75°,
∴此時人能夠安全使用這架梯子.
【模型2】背靠背型
特點 兩個直角三角形有一條公共的直角邊,另兩條直角邊在公共邊兩側
原型 若三角形中有已知角時,則通過在三角形內作高CD,構造出兩個直角三角形 求解,其中公共邊CD是解題的關鍵 【等量關系】CD為公共邊,AD+BD=AB
變式 【等量關系】如圖①,CE=DA,CD=EA,CE+BD=AB;如圖②,CD=EF, CE=DF,AD+CE+BF=AB
針對訓練
3.如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC,其中AB=AC,
∠ABC=27°,BC=44 cm,則高AD約為(B)
(參考數據:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51)
A.9.90 cm B.11.22 cm C.19.58 cm D.22.44 cm
4.(2024·甘肅)習近平總書記于2023年指出,中國將力爭2030年前實現碳達峰、2060年前實現碳中和.甘肅省風能資源豐富,風力發(fā)電發(fā)展迅速.某學習小組成員查閱資料得知,在風力發(fā)電機組中,“風電塔筒”非常重要,它的高度是一個重要的設計參數.于是小組成員開展了“測量風電塔筒高度”的實踐活動.如圖,已知一風電塔筒AH垂直于地面,測角儀CD,EF在AH兩側,CD=EF=1.6 m,點C與點E相距182 m(點C,H,E在同一條直線上),在D處測得筒尖頂點A的仰角為45°,在F處測得筒尖頂點A的仰角為53°.求風電塔筒AH的高度. (參考數據:sin 53°≈,
cos 53°≈,tan 53°≈)
【解析】連接DF交AH于點G,
由題意得:CD=EF=GH=1.6 m,DF=CE=182 m,DF⊥AH,
設DG=x m,∴FG=DF-DG=(182-x)m,
在Rt△ADG中,∠ADG=45°,
∴AG=DG·tan 45°=x m,在Rt△AFG中,∠AFG=53°,
∴AG=FG·tan 53°≈(182-x)m,∴x=(182-x),
解得x=104,
∴AG=104 m,∴AH=AG+GH=104+1.6=105.6(m),
∴風電塔筒AH的高度約為105.6 m.
【模型3】母子型
特點 兩個直角三角形有一條公共的直角邊,另兩條直角邊在公共邊同側且共線
原型 若三角形中有已知角,通過在三角形外作高BC,構造有公共直角的兩個三角形求解,其中公共邊BC是解題的關鍵 【等量關系】BC為公共邊,如圖①,AD+DC=AC;如圖②,DC-BC=DB
變式 模型演變1:【等量關系】如圖③,DF=EC,DE=FC,BF+DE=BC,AE+DF=AC; 如圖④,AF=CE,AC=FE,BC+AF=BE. 模型演變2:【等量關系】如圖⑤,BE+EC=BC; 如圖⑥,EC-BC=BE; 如圖⑦,AC=FG,AF=CG,AD+DC=FG,BC+AF=BG. 模型演變3:【等量關系】如圖⑧,BC=FG,BF=CG,AC+BF=AG,EF+BC=EG; 如圖⑨,BC=FG,BF=CG,EF+BC=EG,BD+DF=BF, AC+BD+DF=AG
針對訓練
5.(2024·臨夏州)乾元塔位于臨夏州臨夏市的北山公園內,共九級,為砼框架式結構,造型獨特別致,遠可眺太子山露骨風月,近可收臨夏市城建全貌,巍巍峨峨,傲立蒼穹.某校數學興趣小組在學習了“解直角三角形”之后,開展了測量乾元塔高度AB的實踐活動.A為乾元塔的頂端,AB⊥BC,點C,D在點B的正東方向,在C點用高度為1.6米的測角儀(即CE=1.6米)測得A點仰角為37°,向西平移14.5米至點D,測得A點仰角為45°,請根據測量數據,求乾元塔的高度AB.(結果保留整數,參考數據:
sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
【解析】過E作EF⊥AB于F,
設FG=x m,
在Rt△AEF中,∵∠AEF=37°,
∴tan 37°=,
∴AF=EF·tan 37°≈0.75(x+14.5)=(0.75x+10.875)m.
在Rt△AGF中,∵∠AGF=45°,
∴tan 45°=,
∴AF=GF=x m,
∴0.75x+10.875=x,
∴x=43.5,
∴AB=AF+BF=43.5+1.6≈45(m).
答:乾元塔的高度AB約為45 m.
【模型4】 擁抱型
特點 兩個直角三角形有一條公共的直角邊,另兩條直角邊在公共邊同側且不共線
原型 分別解兩個直角三角形,其中公共邊BC是解題的關鍵 【等量關系】BC為公共邊
變式 【等量關系】如圖①,BF+FC+CE=BE; 如圖②,BC+CE=BE; 如圖③,AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG,DG+AB=DE
針對訓練
6.秀秀和山山在水平的地面上放風箏,某一時刻兩人的風箏正好都停在對方的正上方,即此時AC⊥AB,DB⊥AB,兩人之間的距離AB為120米,若兩人的風箏線與水平線的夾角分別為α和β,則兩人放出的風箏線AD與BC的長度和為(忽略兩人的身高與手臂長度)(D)
A.(120tan α+120tan β)米 B.(+)米
C.(120cos α+120cos β)米 D.(+)米
7.圖1是一種淋浴噴頭,圖2是圖1的示意圖,若用支架把噴頭固定在點A處,手柄長AB=20 cm,AB與墻壁AD的夾角∠α=30°,噴出的水流BC與AB形成的夾角∠ABC=80°.現在住戶要求:當人站在E處淋浴時,水流正好噴灑在人體的C處,且使DE=50 cm,CE=150 cm,則安裝師傅應將支架固定的位置離地面的高度為__166__cm.
(結果精確到1 cm,參考數據:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,≈1.73,
≈1.41)

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