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微專題11　中點常見問題及輔助線作法
類型1　 直角三角形+斜邊中點,作斜邊上的中線
特點 在直角三角形中,有斜邊上的中點
示例
結論 在Rt△ABC中,∠C=90°,點D為AB的中點,作斜邊上的中線CD,則有CD=AD=BD=AB
思路 作用 (1)思路:有時有中點無直角,要尋找直角,可簡記為“直角+中點,等腰必呈現”. (2)作用:①證明線段相等或求線段長; ②構造角相等進行等量代換
針對訓練
1.如圖,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于點D,∠BCD和∠BDC的平分線相交于點E,F為邊AC的中點,CD=CF,則∠ACD+∠CED=( )
A.125° B.145° C.175° D.190°
2.如圖,正方形ABCD和正方形CEFG中,點D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中點,那么CH的長是 __.
類型2　 等腰三角形+底邊中點,作底邊上的中線
特點 在等腰三角形中,底邊有中點
示例
結論 在△ABC中,AB=AC,D為BC邊中點,連接AD.則有BD=CD, ∠BAD=∠CAD,AD⊥BC
作用 利用“三線合一”的性質,可用來解決線段相等、平行問題及角度之間的數量關系
針對訓練
3.△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=2,D為BC的中點,AE=AB,則△EBD的面積為( )
A. B. C. D.
4.如圖,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,點D為AC邊上的中點,
過點D作DE⊥DF,交AB于點E,交BC于點F.
(1)求證:DE=DF.
(2)若AE=4,FC=3,求cos ∠BEF的值.
　類型3　 邊的垂線+中點,構造等腰三角形
特點 經過線段的中點,出現線段的垂線
示例
結論 點D是BC中點,DE⊥BC,連接BE,根據垂直平分線的性質可以得到BE=CE
針對訓練
5.如圖,線段AB,BC的垂直平分線l1,l2相交于點O.若∠OEB=46°,則∠AOC=( )
A.92° B.88° C.46° D.86°
6.如圖,△ABC中,AD是高,CE是中線,點G是CE的中點,DG⊥CE,點G為垂足.
(1)求證:DC=BE;
(2)若∠AEC=66°,求∠BCE的度數.
類型4　 任意三角形+中點,構造三角形中位線
特點 多個中點出現或平行+中點(中點在平行線上)
示例
結論 如圖①,在△ABC中,點D,E分別為AB,AC的中點,連接DE.則有DE∥BC,DE=BC 如圖②,在△ABC中,點D為AB的中點,過點D作DE∥BC交AC于點E,則有AE=EC,DE=BC
針對訓練
7.如圖,在四邊形ABCD中,E,F分別是AD,BC的中點.
(1)若AB=6,CD=8,∠ABD=30°,∠BDC=120°,求EF的長;
(2)若∠BDC-∠ABD=90°,求證:AB2+CD2=4EF2.
類型5　 任意三角形+中線,倍長中線法得全等
特點 三角形中出現中線或類中線(與中點有關的線段),要求證明線段間的數量關系
示例
結論 如圖①,在△ABC中,點D為BC的中點,延長AD到點E,使得DE=AD,連接BE.則有:△ADC≌△EDB 如圖②,在△ABC中,點D為BC的中點,延長ED到點F,使DF=ED,連接CF.則有:△BED≌△CFD
針對訓練
8.如圖,在△ABC中,AB=7,AC=9,AD是BC邊上的中線,則AD的取值范圍是( )
A.29.如圖,在△ABC中,∠ACB=120°,BC=4,D為AB的中點,DC⊥BC,則△ABC的面積是__ __. 微專題11　中點常見問題及輔助線作法
類型1　 直角三角形+斜邊中點,作斜邊上的中線
特點 在直角三角形中,有斜邊上的中點
示例
結論 在Rt△ABC中,∠C=90°,點D為AB的中點,作斜邊上的中線CD,則有CD=AD=BD=AB
思路 作用 (1)思路:有時有中點無直角,要尋找直角,可簡記為“直角+中點,等腰必呈現”. (2)作用:①證明線段相等或求線段長; ②構造角相等進行等量代換
針對訓練
1.如圖,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于點D,∠BCD和∠BDC的平分線相交于點E,F為邊AC的中點,CD=CF,則∠ACD+∠CED=(C)
A.125° B.145° C.175° D.190°
2.如圖,正方形ABCD和正方形CEFG中,點D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中點,那么CH的長是 __.
類型2　 等腰三角形+底邊中點,作底邊上的中線
特點 在等腰三角形中,底邊有中點
示例
結論 在△ABC中,AB=AC,D為BC邊中點,連接AD.則有BD=CD, ∠BAD=∠CAD,AD⊥BC
作用 利用“三線合一”的性質,可用來解決線段相等、平行問題及角度之間的數量關系
針對訓練
3.△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=2,D為BC的中點,AE=AB,則△EBD的面積為(B)
A. B. C. D.
4.如圖,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,點D為AC邊上的中點,
過點D作DE⊥DF,交AB于點E,交BC于點F.
(1)求證:DE=DF.
(2)若AE=4,FC=3,求cos ∠BEF的值.
【解析】(1)連接BD,如圖,
∵等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D為AC邊上的中點,
∴AD=BD=CD,∠C=∠A=∠EBD=∠FBD=45°,BD⊥AC,
∵DE⊥DF,∴∠EDF=∠BDC=90°,
∴∠EDB=∠CDF=90°-∠BDF,
∴△EDB≌△FDC(ASA),∴DE=DF.
(2)由(1)知:△EDB≌△FDC,
∴BE=FC=3,AB=7,
∴BF=4,∴EF===5,
∴cos ∠BEF==.
　類型3　 邊的垂線+中點,構造等腰三角形
特點 經過線段的中點,出現線段的垂線
示例
結論 點D是BC中點,DE⊥BC,連接BE,根據垂直平分線的性質可以得到BE=CE
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5.如圖,線段AB,BC的垂直平分線l1,l2相交于點O.若∠OEB=46°,則∠AOC=(B)
A.92° B.88° C.46° D.86°
6.如圖,△ABC中,AD是高,CE是中線,點G是CE的中點,DG⊥CE,點G為垂足.
(1)求證:DC=BE;
(2)若∠AEC=66°,求∠BCE的度數.
【解析】(1)連接DE.
∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵AE=EB,
∴DE=EB=EA,∵DG⊥EC,EG=GC,
∴DE=CD,∴DC=BE.
(2)設∠BCE=x.∵EB=DE=DC,
∴∠DCE=∠DEC=x,∴∠EBD=∠BDE=∠DEC+∠DCE=2x,
∵∠AEC=∠EBD+∠ECD,∴66°=3x,
∴x=22°,∴∠BCE=22°.
類型4　 任意三角形+中點,構造三角形中位線
特點 多個中點出現或平行+中點(中點在平行線上)
示例
結論 如圖①,在△ABC中,點D,E分別為AB,AC的中點,連接DE.則有DE∥BC,DE=BC 如圖②,在△ABC中,點D為AB的中點,過點D作DE∥BC交AC于點E,則有AE=EC,DE=BC
針對訓練
7.如圖,在四邊形ABCD中,E,F分別是AD,BC的中點.
(1)若AB=6,CD=8,∠ABD=30°,∠BDC=120°,求EF的長;
(2)若∠BDC-∠ABD=90°,求證:AB2+CD2=4EF2.
【解析】(1)如圖,取BD的中點P,連接EP,FP.
∵E,F分別是AD,BC的中點,AB=6,CD=8,
∴PE是△ADB的中位線,PF是△BDC的中位線,
∴PE∥AB,且PE=AB=3,PF∥CD,且PF=CD=4.
又∵∠ABD=30°,∠BDC=120°,
∴∠EPD=∠ABD=30°,∠DPF=180°-∠BDC=60°,
∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=90°,
在Rt△EPF中,由勾股定理得到:EF===5,即EF=5;
(2)∵PE∥AB,且PE=AB,PF∥CD,且PF=CD.
∴∠EPD=∠ABD,∠BPF=∠BDC,
∴∠DPF=180°-∠BPF=180°-∠BDC,
∵∠BDC-∠ABD=90°,∴∠BDC=90°+∠ABD,
∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=∠ABD+180°-∠BDC=
∠ABD+180°-(90°+∠ABD)=90°,
∴PE2+PF2=(AB)2+(CD)2=EF2,
∴AB2+CD2=4EF2.
類型5　 任意三角形+中線,倍長中線法得全等
特點 三角形中出現中線或類中線(與中點有關的線段),要求證明線段間的數量關系
示例
結論 如圖①,在△ABC中,點D為BC的中點,延長AD到點E,使得DE=AD,連接BE.則有:△ADC≌△EDB 如圖②,在△ABC中,點D為BC的中點,延長ED到點F,使DF=ED,連接CF.則有:△BED≌△CFD
針對訓練
8.如圖,在△ABC中,AB=7,AC=9,AD是BC邊上的中線,則AD的取值范圍是(C)
A.29.如圖,在△ABC中,∠ACB=120°,BC=4,D為AB的中點,DC⊥BC,則△ABC的面積是__8__.

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