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微專題10　相似三角形之五大模型
模型1　 A字型(公共頂角)
特點 兩個三角形有一個公共角∠BAC,或者有DE∥BC,或者DE與BC不平行,有∠ABC=∠AED
示例
思路結論 △ADE∽△ABC或△AED∽△ABC.如果沒有明確說明對應關系,就應分以上兩種情況討論
針對訓練
1.如圖,在△ABC中,點D,E分別在邊AB,AC上,若DE∥BC,=,DE=6 cm,則BC的長為( )
A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm
2.如圖,在△ABC中,D是AB邊上的點,∠B=∠ACD,AC∶AB=1∶2,則△ADC與△ACB的周長比是( )
A.1∶ B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
3.(2023·徐州)如圖,在△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC=2,D為AB的中點.若點E在邊AC上,且=,則AE的長為( )
A.1 B.2 C.1或 D.1或2
模型2　 8字型(對頂角相等)
特點 有一組相等的對頂角
示例
思路結論 △AOB∽△DOC或△AOB∽△COD.如果沒有明確說明對應關系,就應分以上兩種情況討論
針對訓練
4.(2024·揚州)物理課上學過小孔成像的原理,它是一種利用光的直線傳播特性實現圖象投影的方法.如圖,燃燒的蠟燭(豎直放置)AB經小孔O在屏幕(豎直放置)上成像A'B',設AB=36 cm,A'B'=24 cm,小孔O到AB的距離為30 cm,則小孔O到A'B'的距離為__ __cm.
5.如圖,點D為△ABC外一點,AD與BC邊的交點為E,AE=3,DE=5,BE=4,要使
△BDE∽△ACE,且點B,D的對應點為A,C,那么需要添加的一個條件是( )
A.CE= B.CE= C.AC=BD D.AC∥BD
模型3　 旋轉型(手拉手模型)
特點 A字型的兩個三角形是初始狀態,一個三角形繞著公共的頂點開始旋轉,形成的圖形
示例
思路結論 △ADE∽△ABC或△ADB∽△AEC
針對訓練
6.如圖,在直角坐標系中,點A,B的坐標為A(0,2),B(-1,0),將△ABO繞點O按順時針旋轉得到△A1B1O,若AB⊥OB1,則點A1的坐標為( )
A. (,) B. (,) C. (,) D. (,)
7.如圖1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,E,F分別為AB,AD的中點,連接EF.如圖2,將△AEF繞點A逆時針旋轉θ(0°<θ<90°),使EF⊥AD,連接BE并延長交DF于點H.則∠BHD的度數為__ __,DH的長為 __.
模型4　 一線三等角型(K型)
特點 在一條線段上有三個相等的角
示例
思路結論 通過三角形內外角關系、內角和相等、平角可得另外一組對應角相等,從而得到△ABC∽△CDE
針對訓練
8.如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,點P是BC邊上的動點,連接AP,作∠APE=
∠B交AC邊于點E,若設BP=x,AE=y,則y關于x的函數表達式是__ __.
9.如圖,正方形ABCD中,AB=16,AE=AB,點P在BC上運動(不與B,C重合),過點P作PQ⊥EP,交CD于點Q,設BP=x,CQ=y.
(1)y關于x的函數關系式為__ __.
(2)x=__ __時,ymax= __.
模型5　 對角互補型
特點 有一對互補的對角
示例
思路結論 過一個直角頂點向兩邊作垂線,得到△PGE∽△PHF
針對訓練
10.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,在Rt△MPN中,∠MPN=90°,點P在AC上,PM交AB于點E,PN交BC于點F,當PE=2PF時,AP=__ __.
11.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,直角∠MON的頂點O在AB上,OM,ON分別交CA,CB于點P,Q,∠MON繞點O任意旋轉.當=時,的值為 __;當=時,的值為 __.(用含n的式子表示) 微專題10　相似三角形之五大模型
模型1　 A字型(公共頂角)
特點 兩個三角形有一個公共角∠BAC,或者有DE∥BC,或者DE與BC不平行,有∠ABC=∠AED
示例
思路結論 △ADE∽△ABC或△AED∽△ABC.如果沒有明確說明對應關系,就應分以上兩種情況討論
針對訓練
1.如圖,在△ABC中,點D,E分別在邊AB,AC上,若DE∥BC,=,DE=6 cm,則BC的長為(C)
A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm
2.如圖,在△ABC中,D是AB邊上的點,∠B=∠ACD,AC∶AB=1∶2,則△ADC與△ACB的周長比是(B)
A.1∶ B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
3.(2023·徐州)如圖,在△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC=2,D為AB的中點.若點E在邊AC上,且=,則AE的長為(D)
A.1 B.2 C.1或 D.1或2
模型2　 8字型(對頂角相等)
特點 有一組相等的對頂角
示例
思路結論 △AOB∽△DOC或△AOB∽△COD.如果沒有明確說明對應關系,就應分以上兩種情況討論
針對訓練
4.(2024·揚州)物理課上學過小孔成像的原理,它是一種利用光的直線傳播特性實現圖象投影的方法.如圖,燃燒的蠟燭(豎直放置)AB經小孔O在屏幕(豎直放置)上成像A'B',設AB=36 cm,A'B'=24 cm,小孔O到AB的距離為30 cm,則小孔O到A'B'的距離為__20__cm.
5.如圖,點D為△ABC外一點,AD與BC邊的交點為E,AE=3,DE=5,BE=4,要使
△BDE∽△ACE,且點B,D的對應點為A,C,那么需要添加的一個條件是(B)
A.CE= B.CE= C.AC=BD D.AC∥BD
模型3　 旋轉型(手拉手模型)
特點 A字型的兩個三角形是初始狀態,一個三角形繞著公共的頂點開始旋轉,形成的圖形
示例
思路結論 △ADE∽△ABC或△ADB∽△AEC
針對訓練
6.如圖,在直角坐標系中,點A,B的坐標為A(0,2),B(-1,0),將△ABO繞點O按順時針旋轉得到△A1B1O,若AB⊥OB1,則點A1的坐標為(A)
A. (,) B. (,) C. (,) D. (,)
7.如圖1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,E,F分別為AB,AD的中點,連接EF.如圖2,將△AEF繞點A逆時針旋轉θ(0°<θ<90°),使EF⊥AD,連接BE并延長交DF于點H.則∠BHD的度數為__90°__,DH的長為 __.
模型4　 一線三等角型(K型)
特點 在一條線段上有三個相等的角
示例
思路結論 通過三角形內外角關系、內角和相等、平角可得另外一組對應角相等,從而得到△ABC∽△CDE
針對訓練
8.如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,點P是BC邊上的動點,連接AP,作∠APE=
∠B交AC邊于點E,若設BP=x,AE=y,則y關于x的函數表達式是__y=x2-x+5__.
9.如圖,正方形ABCD中,AB=16,AE=AB,點P在BC上運動(不與B,C重合),過點P作PQ⊥EP,交CD于點Q,設BP=x,CQ=y.
(1)y關于x的函數關系式為__y=-x2+x__.
(2)x=__8__時,ymax= __.
模型5　 對角互補型
特點 有一對互補的對角
示例
思路結論 過一個直角頂點向兩邊作垂線,得到△PGE∽△PHF
針對訓練
10.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,在Rt△MPN中,∠MPN=90°,點P在AC上,PM交AB于點E,PN交BC于點F,當PE=2PF時,AP=__3__.
11.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,直角∠MON的頂點O在AB上,OM,ON分別交CA,CB于點P,Q,∠MON繞點O任意旋轉.當=時,的值為 __;當=時,的值為 __.(用含n的式子表示)

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