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微專題9　角平分線常見問題及輔助線作法
類型1　 相遇平行線,聯想等腰三角形性質
特點 過角平分線上的一點作角一邊的平行線,從而構造等腰三角形
示例
結論 點P是∠MON的平分線上一點,過點P作PQ∥ON,則△QOP為等腰三角形
針對訓練
1.如圖,在△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F.過點F作DE∥BC,交AB于點D,交AC于點E.若AB=4,AC=5,則△ADE的周長為(B)
A.8 B.9 C.10 D.13
2.如圖,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB于點C,若EC=1,則OF=__2__.
　類型2　　 相遇角兩邊的垂線,聯想角平分線定理
特點 過角平分線上的一點向角的兩個邊作垂線段,得到垂線段相等
示例
結論 P是∠MON的平分線上一點,過點P作PA⊥OM于點A,PB⊥ON于點B,∴PB=PA, ∴Rt△AOP≌Rt△BOP
針對訓練
3.如圖,已知在四邊形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,則四邊形ABCD的面積是(B)
A.24 B.30 C.36 D.42
4.已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分線,點D為OC上一點,過D作直線DE⊥OA,垂足為點E,且直線DE交OB于點F,如圖所示.若DE=2,則DF=__4__.
類型3　　 相遇角平分線的垂線,聯想“ 三線合一”
特點 從角一邊上的一點作角平分線的垂線,構造等腰三角形利用“三線合一”解題
示例
結論 P是∠MON的平分線上一點,A是射線OM上一點,AP⊥OP于點P,延長AP交ON于點B,Rt△AOP≌Rt△BOP,△AOB是等腰三角形
針對訓練
5.如圖,已知D為△ABC內一點,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,
若AC=9,BC=5,則CD的長為(C)
A.2 B.4 C. D.5
6.如圖,在△ABC中,BP平分∠ABC,AP⊥BP于點P,連接PC,若△PAB的面積為
6 cm2,△PBC的面積為8 cm2,則△PAC的面積為__2__ cm2.
類型4　 相遇非特殊線段,聯想全等(截長補短)
特點 在角的平分線的兩邊上截長補短,構造全等三角形
示例
結論 P是∠MON的平分線上一點,點A是射線OM上任意一點,在ON上截取OB=OA,連接PB,則△OPB≌△OPA
針對訓練
7.如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求證:AB=AC+CD.
【證明】在AB上取點E,使得AE=AC,
在△AED和△ACD中,,
∴△AED≌△ACD(SAS),
∴∠AED=∠C,AE=AC,ED=CD,
∵∠C=2∠B,且∠AED=∠B+∠BDE,
∴∠B=∠BDE,∴BE=DE,
∴AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD.微專題9　角平分線常見問題及輔助線作法
類型1　 相遇平行線,聯想等腰三角形性質
特點 過角平分線上的一點作角一邊的平行線,從而構造等腰三角形
示例
結論 點P是∠MON的平分線上一點,過點P作PQ∥ON,則△QOP為等腰三角形
針對訓練
1.如圖,在△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F.過點F作DE∥BC,交AB于點D,交AC于點E.若AB=4,AC=5,則△ADE的周長為( )
A.8 B.9 C.10 D.13
2.如圖,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB于點C,若EC=1,則OF=_ __.
　類型2　　 相遇角兩邊的垂線,聯想角平分線定理
特點 過角平分線上的一點向角的兩個邊作垂線段,得到垂線段相等
示例
結論 P是∠MON的平分線上一點,過點P作PA⊥OM于點A,PB⊥ON于點B,∴PB=PA, ∴Rt△AOP≌Rt△BOP
針對訓練
3.如圖,已知在四邊形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,則四邊形ABCD的面積是( )
A.24 B.30 C.36 D.42
4.已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分線,點D為OC上一點,過D作直線DE⊥OA,垂足為點E,且直線DE交OB于點F,如圖所示.若DE=2,則DF=_ __.
類型3　　 相遇角平分線的垂線,聯想“ 三線合一”
特點 從角一邊上的一點作角平分線的垂線,構造等腰三角形利用“三線合一”解題
示例
結論 P是∠MON的平分線上一點,A是射線OM上一點,AP⊥OP于點P,延長AP交ON于點B,Rt△AOP≌Rt△BOP,△AOB是等腰三角形
針對訓練
5.如圖,已知D為△ABC內一點,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,
若AC=9,BC=5,則CD的長為( )
A.2 B.4 C. D.5
6.如圖,在△ABC中,BP平分∠ABC,AP⊥BP于點P,連接PC,若△PAB的面積為
6 cm2,△PBC的面積為8 cm2,則△PAC的面積為__ _ cm2.
類型4　 相遇非特殊線段,聯想全等(截長補短)
特點 在角的平分線的兩邊上截長補短,構造全等三角形
示例
結論 P是∠MON的平分線上一點,點A是射線OM上任意一點,在ON上截取OB=OA,連接PB,則△OPB≌△OPA
針對訓練
7.如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求證:AB=AC+CD.

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