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微專題8　全等三角形之六大模型
模型1　　 平移模型
特點 有一組邊共線或部分重合,另兩組邊分別平行
示例
思路 常在移動方向上加(減)公共線段,構造線段相等,或利用平行線性質找到對應角相等
針對訓練
1.已知:如圖,點A,D,C,F在一條直線上,且AD=CF,AB=DE,∠A=∠EDF.
求證:∠B=∠E.
【證明】∵AD=CF,∴AD+CD=CF+CD,∴AC=DF.
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠B=∠E.
模型2　　 對稱模型
特點 所給圖形可沿某一直線折疊,直線兩旁的部分能完全重合
示例
思路 解題時先要確定全等三角形的對應頂點(折疊后重合的頂點);還要注意隱含條件,即公共邊或公共角等
針對訓練
2. (2023·長沙)如圖,AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為D,E.
(1)求證:△ABE≌△ACD;
(2)若AE=6,CD=8,求BD的長.
【解析】(1)∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠AEB=∠ADC=90°,
在△ABE和△ACD中,,∴△ABE≌△ACD(AAS);
(2)∵△ABE≌△ACD,
∴AD=AE=6,在Rt△ACD中,AC===10,
∵AB=AC=10,∴BD=AB-AD=10-6=4.
模型3　　 旋轉模型
特點 將三角形繞著公共頂點旋轉一定角度構成
示例
思路 在旋轉過程中,兩個三角形無重疊或有重疊,找等角或運用角的和差得到等角 提醒:遇到共頂點,等線段,考慮用旋轉
針對訓練
3.如圖,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,且點D在線段BC上,連接CE.
(1)求證:△ABD≌△ACE;
(2)若∠EAC=60°,求∠CED的度數.
【解析】(1)∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,
即∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,,
∴△ABD≌△ACE(SAS);
(2)∵△ABD≌△ACE,∴∠ACE=∠ABD,∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
∴∠ACE=∠ABD=∠AED=45°,∵∠EAC=60°,
∴∠AEC=180°-∠ACE-∠EAC=180°-45°-60°=75°,
∴∠CED=∠AEC-∠AED=75°-45°=30°.
模型4 對角互補模型
特點 一個四邊形有一對互補的對角
示例
思路 通常從一個角頂點向另一個角的兩條邊作垂線,構造出兩個直角三角形,并且利用互余關系可得到這兩個直角三角形的兩組銳角分別對應相等
針對訓練
4.如圖,四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,∠B+∠D=180°,求證:BC=CD.
【證明】如圖,過點C作CE⊥AB交AB的延長線于E,作CF⊥AD于F,
∵AC平分∠BAD,∴CE=CF,
∵∠ABC+∠CBE=180°,∠ABC+∠D=180°,∴∠D=∠CBE,
在△BCE和△DCF中,,
∴△BCE≌△DCF(AAS),∴BC=CD.
模型5　 一線三等角模型
特點 三個等角的頂點在同一直線上,稱一線三等角模型
示例
思路 解題關鍵是利用三等角關系找全等三角形所需的角相等條件 (如∠1=∠2)
針對訓練
5.如圖,點C在BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,AB=CD.求證:△ABC≌△CDE.
【證明】∵AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,
∴∠B=∠D=∠ACE=90°,
∴∠DCE+∠DEC=90°,∠BCA+∠DCE=90°,
∴∠BCA=∠DEC,
在△ABC和△CDE中,,
∴△ABC≌△CDE(AAS).
模型6　 半角模型
特點 一個角包含著這個角的半角
示例
思路 常將半角兩邊的三角形通過旋轉到一邊合并形成新的三角形,從而進行等量代換,證明三角形全等
針對訓練
6.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D和點E均在邊BC上,且∠DAE=45°,試猜想BD,DE,EC應滿足的數量關系,并寫出推理過程.
【解析】BD2+CE2=DE2,理由如下:
∵AB=AC,
∴把△ABD繞點A順時針旋轉90°至△ACG,可使AB與AC重合,連接EG,
∴AD=AG,BD=CG,∠B=∠ACG,∠BAD=∠CAG,
∵在Rt△BAC中,∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=45°,
∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=45°+45°=90°,
∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,
∴∠EAG=∠CAE+∠CAG=∠CAE+∠BAD=90°-45°=45°,
∴∠DAE=∠EAG,在△DAE和△GAE中,,
∴△DAE≌△GAE(SAS),∴DE=EG,
在Rt△ECG中,由勾股定理得,EG2=CE2+CG2,即BD2+CE2=DE2.
7.如圖,已知正方形ABCD,從頂點A引兩條射線分別交BC,CD于點E,F,
且∠EAF=45°,求證:BE+DF=EF.
【證明】如圖,延長CD到G,使DG=BE,
在正方形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,∴∠ADG=∠B,
在△ABE和△ADG中,,
∴△ABE≌△ADG(SAS),∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,
∵∠EAF=45°,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△AGF中,,
∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=GF,
∵GF=DG+DF=BE+DF,∴BE+DF=EF.微專題8　全等三角形之六大模型
模型1　　 平移模型
特點 有一組邊共線或部分重合,另兩組邊分別平行
示例
思路 常在移動方向上加(減)公共線段,構造線段相等,或利用平行線性質找到對應角相等
針對訓練
1.已知:如圖,點A,D,C,F在一條直線上,且AD=CF,AB=DE,∠A=∠EDF.
求證:∠B=∠E.
模型2　　 對稱模型
特點 所給圖形可沿某一直線折疊,直線兩旁的部分能完全重合
示例
思路 解題時先要確定全等三角形的對應頂點(折疊后重合的頂點);還要注意隱含條件,即公共邊或公共角等
針對訓練
2. (2023·長沙)如圖,AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為D,E.
(1)求證:△ABE≌△ACD;
(2)若AE=6,CD=8,求BD的長.
模型3　　 旋轉模型
特點 將三角形繞著公共頂點旋轉一定角度構成
示例
思路 在旋轉過程中,兩個三角形無重疊或有重疊,找等角或運用角的和差得到等角 提醒:遇到共頂點,等線段,考慮用旋轉
針對訓練
3.如圖,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,且點D在線段BC上,連接CE.
(1)求證:△ABD≌△ACE;
(2)若∠EAC=60°,求∠CED的度數.
模型4 對角互補模型
特點 一個四邊形有一對互補的對角
示例
思路 通常從一個角頂點向另一個角的兩條邊作垂線,構造出兩個直角三角形,并且利用互余關系可得到這兩個直角三角形的兩組銳角分別對應相等
針對訓練
4.如圖,四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,∠B+∠D=180°,求證:BC=CD.
模型5　 一線三等角模型
特點 三個等角的頂點在同一直線上,稱一線三等角模型
示例
思路 解題關鍵是利用三等角關系找全等三角形所需的角相等條件 (如∠1=∠2)
針對訓練
5.如圖,點C在BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,AB=CD.求證:△ABC≌△CDE.
模型6　 半角模型
特點 一個角包含著這個角的半角
示例
思路 常將半角兩邊的三角形通過旋轉到一邊合并形成新的三角形,從而進行等量代換,證明三角形全等
針對訓練
6.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D和點E均在邊BC上,且∠DAE=45°,試猜想BD,DE,EC應滿足的數量關系,并寫出推理過程.
7.如圖,已知正方形ABCD,從頂點A引兩條射線分別交BC,CD于點E,F,
且∠EAF=45°,求證:BE+DF=EF.

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