資源簡介

微專題6　二次函數中幾何圖形線段、周長及面積的最值
模型1　 拋物線中線段長度最大問題
特點 過拋物線上一動點,向x軸作垂線而形成的線段
圖示 M是動點,MN∥y軸
結論 ①MN=yM-yN;②用二次函數的頂點求線段最值
針對訓練
1.如圖,已知拋物線y=-x2+bx+c經過A(0,3)和B(,-)兩點,直線AB與x軸相交于點C,P是直線AB上方的拋物線上的一個動點,PD⊥x軸交AB于點D.
(1)求該拋物線的表達式;
(2)求線段PD的最大值及此時點P的坐標;
模型2　 拋物線中圖形的周長最大問題
特點 過拋物線上一動點,向x軸作垂線形成的線段,進而形成的直角三角形
圖示 M是動點,MN∥y軸,ME⊥AC
結論 ①△MNE∽△ACO→△MNE的三邊之比固定; ②MN=yM-yN,△MNE的周長最大問題轉化為MN最長問題
針對訓練
2.綜合與探究
如圖,拋物線y=x2-3x-4與x軸交于A,B兩點,點A在點B的左側,與y軸交于點C,點P是拋物線上一動點.
(1)求點A,B和C的坐標;
(2)如圖,當點P在直線BC下方的拋物線上時,過點P作PE⊥x軸于點E交直線BC于點G,作PF⊥BC于點F,當△PFG的周長最大,求點P的坐標.
模型3　 拋物線中線段的比值最大問題
特點 過拋物線上一動點,與x軸上一點相連,形成的兩線段的比
圖示 M是動點,作MN∥y軸,得△MND∽△OCD
結論 ①△MND∽△OCD→=;②OC是定值,故MN最大時,最大
針對訓練
3.已知:拋物線y=ax2+bx+c經過A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,點P為直線BC上方拋物線上任意一點,連接PC,PB,PO,PO交直線BC于點E,設=k,求當k取最大值時點P的坐標,并求此時k的值.
模型4　 拋物線中三角形面積最大問題
特點 過拋物線上一動點,與另外兩個定點相連形成的三角形
圖示 M是動點,作MN∥y軸,得S△MAC=MN·AO
結論 MN最大時,S△MAC最大
S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD
S△ABC=BD·(h1+h2)
PP'∥BC,則S△PBC=S△P'BC
針對訓練
4.如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=-x2+·x+(m>0)與x軸交于A(-1,0),B(m,0)兩點,與y軸交于點C,連接BC.
(1)若OC=2OA,求拋物線對應的函數表達式;
(2)在(1)的條件下,點P位于直線BC上方的拋物線上,當△PBC面積最大時,求點P的坐標.
模型5　 拋物線中線段和的最值問題
特點 過拋物線上一動點,形成的兩線段的和
圖示 P是動點,作PE∥y軸,PF∥x軸,△PDF∽△OCB
結論 由△PDF∽△OCB 得PD∶PF為定值,PF可用PD表示,PE+PF最大即轉化為PE與PD最大問題
針對訓練
5.已知拋物線y=ax2+bx+4過A(-1,0),B(4,0)兩點,交y軸于點C.
(1)求拋物線的表達式和對稱軸;
(2)如圖,點M在直線BC上方的拋物線上,過點M作直線BC的垂線,分別交直線BC、線段AC于點N,點E,過點E作EH⊥x軸,求EH+EM的最大值.微專題6　二次函數中幾何圖形線段、周長及面積的最值
模型1　 拋物線中線段長度最大問題
特點 過拋物線上一動點,向x軸作垂線而形成的線段
圖示 M是動點,MN∥y軸
結論 ①MN=yM-yN;②用二次函數的頂點求線段最值
針對訓練
1.如圖,已知拋物線y=-x2+bx+c經過A(0,3)和B(,-)兩點,直線AB與x軸相交于點C,P是直線AB上方的拋物線上的一個動點,PD⊥x軸交AB于點D.
(1)求該拋物線的表達式;
(2)求線段PD的最大值及此時點P的坐標;
【解析】(1)將A(0,3)和B(,-)代入y=-x2+bx+c,
得,解得,
∴該拋物線的表達式為y=-x2+2x+3;
(2)設直線AB的表達式為y=kx+n,把A(0,3)和B(,-)代入,
得,解得,
∴直線AB的表達式為y=-x+3,
設點P的坐標為(a,-a2+2a+3),則D點坐標為(a,-a+3),
∴PD=(-a2+2a+3)- (-a+3)=-(a-)2+,
∵-1<0,∴當a=時,PD有最大值為;
∴P的坐標為(,).
模型2　 拋物線中圖形的周長最大問題
特點 過拋物線上一動點,向x軸作垂線形成的線段,進而形成的直角三角形
圖示 M是動點,MN∥y軸,ME⊥AC
結論 ①△MNE∽△ACO→△MNE的三邊之比固定; ②MN=yM-yN,△MNE的周長最大問題轉化為MN最長問題
針對訓練
2.綜合與探究
如圖,拋物線y=x2-3x-4與x軸交于A,B兩點,點A在點B的左側,與y軸交于點C,點P是拋物線上一動點.
(1)求點A,B和C的坐標;
(2)如圖,當點P在直線BC下方的拋物線上時,過點P作PE⊥x軸于點E交直線BC于點G,作PF⊥BC于點F,當△PFG的周長最大,求點P的坐標.
【解析】(1)把y=0代入y=x2-3x-4中,得x2-3x-4=0,解得x1=-1,x2=4,
∴點A的坐標是(-1,0),點B的坐標是(4,0),
把x=0代入y=x2-3x-4中,得y=-4.
∴點C的坐標是(0,-4);
(2)設直線BC的函數表達式為y=kx+b.
∵點B(4,0),點C(0,-4),
∴,解得,
∴直線BC的函數表達式為y=x-4,
∵∠BOC=90°,點B(4,0),點C(0,-4),∴OB=OC=4.
∴∠OBC=∠OCB==45°;
設點P的坐標為(m,m2-3m-4).
∵PE⊥x軸于點E交直線BC于點G,
∴PG∥y軸,點G的坐標為(m,m-4).
∴∠PGF=∠OCB=45°.
∵PF⊥BC于點F,∴∠PFG=90°.
∴△PFG是等腰直角三角形;
∴當△PFG的周長最大時,斜邊PG最大.
∵PG=m-4-(m2-3m-4)=-m2+4m=-(m-2)2+4.
∵-1<0,∴當m=2時,PG取得最大值,
當m=2時,PE=m2-3m-4=22-3×2-4=-6.
∴點P的坐標是(2,-6).
模型3　 拋物線中線段的比值最大問題
特點 過拋物線上一動點,與x軸上一點相連,形成的兩線段的比
圖示 M是動點,作MN∥y軸,得△MND∽△OCD
結論 ①△MND∽△OCD→=;②OC是定值,故MN最大時,最大
針對訓練
3.已知:拋物線y=ax2+bx+c經過A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,點P為直線BC上方拋物線上任意一點,連接PC,PB,PO,PO交直線BC于點E,設=k,求當k取最大值時點P的坐標,并求此時k的值.
【解析】(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經過A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三點,
∴設y=a(x+1)(x-3),將C(0,3)代入,
得a(0+1)(0-3)=3,解得a=-1,
∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3,
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3;
(2)如圖,過點P作PH∥y軸交直線BC于點H,
∴△PEH∽△OEC,∴=,
∵=k,OC=3,∴k=PH.
設直線BC的解析式為y=mx+n,
∵B(3,0),C(0,3),
∴,解得,
∴直線BC的解析式為y=-x+3.
設點P(t,-t2+2t+3),則H(t,-t+3),
∴PH=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t,
∴k=(-t2+3t)=-(t-)2+,
∵-<0,
∴當t=時,k取得最大值,此時,P(,).
模型4　 拋物線中三角形面積最大問題
特點 過拋物線上一動點,與另外兩個定點相連形成的三角形
圖示 M是動點,作MN∥y軸,得S△MAC=MN·AO
結論 MN最大時,S△MAC最大
S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD
S△ABC=BD·(h1+h2)
PP'∥BC,則S△PBC=S△P'BC
針對訓練
4.如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=-x2+·x+(m>0)與x軸交于A(-1,0),B(m,0)兩點,與y軸交于點C,連接BC.
(1)若OC=2OA,求拋物線對應的函數表達式;
(2)在(1)的條件下,點P位于直線BC上方的拋物線上,當△PBC面積最大時,求點P的坐標.
【解析】(1)∵A的坐標為(-1,0),
∴OA=1,∵OC=2OA,∴OC=2,
∴C的坐標為(0,2),
將點C代入拋物線y=-x2+·x+(m>0),得=2,即m=4,
∴拋物線對應的函數表達式為y=-x2+x+2;
(2)如圖,過P作PH∥y軸,交BC于H,
由(1)知,拋物線對應的函數表達式為y=-x2+x+2,m=4,
∴B,C坐標分別為B(4,0),C(0,2),
設直線BC的表達式為y=kx+n,
則,解得,
∴直線BC的表達式為y=-x+2.
設點P的坐標為(t,-t2+t+2)(0∴PH=-t2+t+2-(-t+2)=-t2+2t=-(t2-4t)=-(t-2)2+2,
∵S△PBC=S△CPH+S△BPH,∴S△PBC=PH·|xB-xC|=[-(t-2)2+2]×4=-(t-2)2+4,
∴當t=2時,△PBC的面積最大,此時點P(2,3).
模型5　 拋物線中線段和的最值問題
特點 過拋物線上一動點,形成的兩線段的和
圖示 P是動點,作PE∥y軸,PF∥x軸,△PDF∽△OCB
結論 由△PDF∽△OCB 得PD∶PF為定值,PF可用PD表示,PE+PF最大即轉化為PE與PD最大問題
針對訓練
5.已知拋物線y=ax2+bx+4過A(-1,0),B(4,0)兩點,交y軸于點C.
(1)求拋物線的表達式和對稱軸;
(2)如圖,點M在直線BC上方的拋物線上,過點M作直線BC的垂線,分別交直線BC、線段AC于點N,點E,過點E作EH⊥x軸,求EH+EM的最大值.
【解析】(1)由題意,設拋物線的表達式為y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4),
則-4a=4,解得a=-1,
故拋物線的表達式為y=-x2+3x+4,其對稱軸x=;
(2)由(1)可得點C為(0,4),由點A,C的坐標得,直線AC的表達式為y=4x+4,
由B,C的坐標知,BC和x軸的夾角為45°,
∵MN⊥BC,則直線MN和x軸的夾角為45°,設點M的坐標為(m,-m2+3m+4),
則設直線MN的表達式為y=(x-m)-m2+3m+4=x-m2+2m+4,
聯立y=4x+4和y=x-m2+2m+4并解得x=(-m2+2m),
則EH=(-4m2+8m)+4,EM=·(xM-xE)=2[m-(-m2+2m)]
=2m-(-2m2+4m),
則EH+EM=(-4m2+8m)+4+2m-(-2m2+4m)=-(m-)2+≤,
故EH+EM的最大值為.

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