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微專題3　反比例函數的綜合應用
角度1與一次函數結合
【思維切入】
1.將已知點代入反比例函數表達式,先得反比例函數;再求另一點,將兩個點代入一次函數表達式,得一次函數表達式.
2.將反比例函數和一次函數表達式聯立得方程組,解得兩個交點的坐標,進一步求解.
針對訓練
1.(2024·臨夏州)如圖,直線y=kx與雙曲線y=-交于A,B兩點,已知A點坐標為(a,2).
(1)求a,k的值;
(2)將直線y=kx向上平移m(m>0)個單位長度,與雙曲線y=-在第二象限的圖象交于點C,與x軸交于點E,與y軸交于點P,若PE=PC,求m的值.
2.(2023·貴州)如圖,在平面直角坐標系中,四邊形OABC是矩形,反比例函數y=(x>0)的圖象分別與AB,BC交于點D(4,1)和點E,且點D為AB的中點.
(1)求反比例函數的表達式和點E的坐標;
(2)若一次函數y=x+m與反比例函數y=(x>0)的圖象相交于點M,當點M在反比例函數圖象上D,E之間的部分時(點M可與點D,E重合),直接寫出m的取值范圍.
角度2與幾何圖形結合
類型一　求三角形的面積
【思維切入】
1.補全求差:將三角形補成矩形或梯形或易求的三角形,然后用面積差求解.
2.分割求和:利用坐標軸進行分割求和或利用縱底橫高求解.
針對訓練
3.(2024·自貢中考)如圖,在平面直角坐標系中,一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y=的圖象交于A(-6,1),B(1,n)兩點.
(1)求反比例函數和一次函數的表達式;
(2)P是直線x=-2上的一個動點,△PAB的面積為21,求點P坐標;
(3)點Q在反比例函數y=位于第四象限的圖象上,△QAB的面積為21,請直接寫出Q點坐標.
類型二　求特殊三角形或特殊四邊形
【思維切入】
1.動三角形的形狀問題:
(1)等腰三角形:
方法1:求已知邊,按腰或底分類討論求解(兩圓一垂直);
方法2:設動點坐標,表示三邊平方,分類討論得方程求解;
(2)直角三角形:
方法1:按直角分類討論,構造一線三直角求解;
方法2:設動點坐標,表示三邊的平方,根據勾股定理的逆定理分類討論列方程求解.
2.動點平行四邊形問題:
按對角線兩端點的橫坐標(縱坐標)之和相等,分類討論求解.
3.動點四邊形的問題轉化為動點三角形問題;
動點菱形問題轉化為動點等腰三角形問題;
動點矩形問題轉化為動點直角三角形問題.
針對訓練
4.如圖,一次函數y=kx+b與反比例函數y=交于A(1,4),B(4,m)兩點,延長AO交反比例函數圖象于點C,連接OB.
(1)求一次函數的表達式與反比例函數的表達式.
(2)求△AOB的面積.
(3)在x軸上是否存在點P,使得△PAC是直角三角形 若存在,請求出P點坐標;若不存在,請說明理由.
5.如圖,一次函數y=x+1的圖象與反比例函數y=(x>0)的圖象交于點A(a,3),與y軸交于點B.
(1)求a,k的值;
(2)直線CD過點A,與反比例函數圖象交于點C,與x軸交于點D,AC=AD,連接CB.
①求△ABC的面積;
②點P在反比例函數的圖象上,點Q在x軸上,若以點A,B,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形,請求出所有符合條件的點P的坐標.微專題3　反比例函數的綜合應用
角度1與一次函數結合
【思維切入】
1.將已知點代入反比例函數表達式,先得反比例函數;再求另一點,將兩個點代入一次函數表達式,得一次函數表達式.
2.將反比例函數和一次函數表達式聯立得方程組,解得兩個交點的坐標,進一步求解.
針對訓練
1.(2024·臨夏州)如圖,直線y=kx與雙曲線y=-交于A,B兩點,已知A點坐標為(a,2).
(1)求a,k的值;
(2)將直線y=kx向上平移m(m>0)個單位長度,與雙曲線y=-在第二象限的圖象交于點C,與x軸交于點E,與y軸交于點P,若PE=PC,求m的值.
【解析】(1)∵點A在反比例函數圖象上,所以2=-,解得a=-2,
將A(-2,2)代入y=kx,∴k=-1;
(2)如圖,過點C作CF⊥y軸于點F,
∴CF∥OE,∴∠FCP=∠OEP,∠CFP=∠EOP,
∵PE=PC,∴△CFP≌△EOP(AAS),
∴CF=OE,OP=PF,
∵直線y=-x向上平移m個單位長度得到y=-x+m,
令x=0,得y=m,令y=0,得x=m,
∴E(m,0),P(0,m),∴CF=OE=m,OP=PF=m,
∴C(-m,2m),
∵雙曲線y=-過點C,∴-m·2m=-4,
解得m=或-(舍去),∴m=.
2.(2023·貴州)如圖,在平面直角坐標系中,四邊形OABC是矩形,反比例函數y=(x>0)的圖象分別與AB,BC交于點D(4,1)和點E,且點D為AB的中點.
(1)求反比例函數的表達式和點E的坐標;
(2)若一次函數y=x+m與反比例函數y=(x>0)的圖象相交于點M,當點M在反比例函數圖象上D,E之間的部分時(點M可與點D,E重合),直接寫出m的取值范圍.
【解析】(1)∵四邊形OABC是矩形,點D(4,1),且點D為AB的中點,
∴B(4,2),
∴點E的縱坐標為2,
∵反比例函數y=(x>0)的圖象分別與AB,BC交于點D(4,1)和點E,
∴k=4×1=4,
∴反比例函數表達式為y=,
把y=2代入得,2=,
解得x=2,∴E(2,2);
(2)把D(4,1)代入y=x+m得,1=4+m,解得m=-3,
把E(2,2)代入y=x+m得,2=2+m,解得m=0,
∴m的取值范圍是-3≤m≤0.
角度2與幾何圖形結合
類型一　求三角形的面積
【思維切入】
1.補全求差:將三角形補成矩形或梯形或易求的三角形,然后用面積差求解.
2.分割求和:利用坐標軸進行分割求和或利用縱底橫高求解.
針對訓練
3.(2024·自貢中考)如圖,在平面直角坐標系中,一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y=的圖象交于A(-6,1),B(1,n)兩點.
(1)求反比例函數和一次函數的表達式;
(2)P是直線x=-2上的一個動點,△PAB的面積為21,求點P坐標;
(3)點Q在反比例函數y=位于第四象限的圖象上,△QAB的面積為21,請直接寫出Q點坐標.
【解析】(1)把A(-6,1)代入y=得:1=,
∴m=-6,
∴反比例函數的表達式為y=-;
把B(1,n)代入y=-得:n=-6,
∴B(1,-6),
把A(-6,1),B(1,-6)代入y=kx+b得:,
解得,
∴一次函數的表達式為y=-x-5;
(2)設直線x=-2交直線AB于H,如圖:
在y=-x-5中,令x=-2得y=-3,
∴H(-2,-3),
∵△PAB的面積為21,
∴PH·|xB-xA|=21,即PH×(1+6)=21,
∴PH=6,
∵-3+6=3,-3-6=-9,
∴點P的坐標為(-2,3)或(-2,-9);
(3)過Q作QM∥x軸交直線AB于M,如圖:
設Q(t,-),
在y=-x-5中,令y=-得x=-5,
∴M(-5,-),
∴MQ=|-5-t|,
∵△QAB的面積為21,
∴MQ·|yA-yB|=21,
即×|-5-t|×7=21,
∴-5-t=6或-5-t=-6,
解得t=或t=-2或t=3,
經檢驗,t=,t=3符合題意,
∴點Q的坐標為(,-)或(3,-2).
類型二　求特殊三角形或特殊四邊形
【思維切入】
1.動三角形的形狀問題:
(1)等腰三角形:
方法1:求已知邊,按腰或底分類討論求解(兩圓一垂直);
方法2:設動點坐標,表示三邊平方,分類討論得方程求解;
(2)直角三角形:
方法1:按直角分類討論,構造一線三直角求解;
方法2:設動點坐標,表示三邊的平方,根據勾股定理的逆定理分類討論列方程求解.
2.動點平行四邊形問題:
按對角線兩端點的橫坐標(縱坐標)之和相等,分類討論求解.
3.動點四邊形的問題轉化為動點三角形問題;
動點菱形問題轉化為動點等腰三角形問題;
動點矩形問題轉化為動點直角三角形問題.
針對訓練
4.如圖,一次函數y=kx+b與反比例函數y=交于A(1,4),B(4,m)兩點,延長AO交反比例函數圖象于點C,連接OB.
(1)求一次函數的表達式與反比例函數的表達式.
(2)求△AOB的面積.
(3)在x軸上是否存在點P,使得△PAC是直角三角形 若存在,請求出P點坐標;若不存在,請說明理由.
【解析】(1)將A(1,4)代入y=得k1=4,
∴反比例函數的表達式為y=,
將B(4,m)代入y=得m=1,∴B(4,1),
將A(1,4),B(4,1)代入y=kx+b得,
解得,
∴一次函數的表達式為y=-x+5;
(2)過A作AM⊥x軸于M點,過B作BN⊥x軸于N點(圖略),
∴AM=4,BN=1,MN=4-1=3,S△AOM=S△BON=4,
∵△AOB的面積=四邊形AONB的面積-△BON的面積,梯形ABNM的面積=四邊形AONB的面積-△AOM的面積==,
∴△AOB的面積=梯形ABNM的面積=;
(3)存在.∵延長AO交反比例函數圖象于點C,
∴點A與點C關于原點對稱,∴C(-1,-4),
設P(m,0),
∴AC2=(1+1)2+(4+4)2=68,AP2=(1-m)2+42,PC2=(-1-m)2+(-4)2,
①當∠APC=90°時,AC2=AP2+PC2,
∴68=(1-m)2+42+(-1-m)2+(-4)2,
解得m=±,
∴P(-,0)或(,0);
②當∠PAC=90°時,PC2=AP2+AC2,
∴(-1-m)2+(-4)2=(1-m)2+42+68,
解得m=17,
∴P(17,0);
③當∠PCA=90°時,AP2=PC2+AC2,
∴(1-m)2+42=(-1-m)2+(-4)2+68,
解得m=-17,
∴P(-17,0),
綜上所述,P(-,0)或(,0)或(17,0)或(-17,0).
5.如圖,一次函數y=x+1的圖象與反比例函數y=(x>0)的圖象交于點A(a,3),與y軸交于點B.
(1)求a,k的值;
(2)直線CD過點A,與反比例函數圖象交于點C,與x軸交于點D,AC=AD,連接CB.
①求△ABC的面積;
②點P在反比例函數的圖象上,點Q在x軸上,若以點A,B,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形,請求出所有符合條件的點P的坐標.
【解析】(1)把x=a,y=3代入y=x+1得,
a+1=3,∴a=4,
把x=4,y=3代入y=得,3=,∴k=12;
(2)∵點A(4,3),點D的縱坐標是0,AD=AC,
∴點C的縱坐標是3×2-0=6,
把y=6代入y=得x=2,∴點C的坐標為(2,6),
①如圖1,作CF⊥x軸于點F,交AB于點E,
當x=2時,y=×2+1=2,
∴E(2,2),∵C(2,6),∴CE=6-2=4,
∴S△ABC=CE·xA=×4×4=8;
②如圖2,當AB是對角線,
即四邊形APBQ是平行四邊形時,
∵A(4,3),B(0,1),點Q的縱坐標為0,
∴yP=1+3-0=4,
當y=4時,4=,∴x=3,∴點P的坐標為(3,4);
當AB為邊時,即四邊形ABQP是平行四邊形(圖中的 ABQ'P'),
由yQ'-yB=yP'-yA得,
0-1=yP'-3,∴yP'=2,
當y=2時,x==6,∴點P'的坐標為(6,2),
綜上所述,點P的坐標為(3,4)或(6,2).

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