資源簡介

微專題1　一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
角度1 已知一根,求另一根及字母系數(shù)
【解答思路】
方法一:先利用根與系數(shù)的關(guān)系求出另一根,再根據(jù)方程的兩根及根與系數(shù)的關(guān)系求出字母系數(shù).
方法二:先把已知根代入方程,求出字母系數(shù),再解方程求出另一根.
針對訓(xùn)練
1.若x=-1是方程x2-3x+k+1=0的一個根,則此方程的另一個根是(D)
A.-5 B.0 C.3 D.4
2.已知x=1是方程x2+bx-2=0的一個根,則方程的另一個根是__x=-2__.
角度2 求關(guān)于兩根代數(shù)式的值
【解答思路】
(1)+=(x1+x2)2-2x1x2;(2)+=;
(3)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;(4)(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a2;
(5)x1+x2=x1x2(x1+x2).
針對訓(xùn)練
3.已知x1,x2是方程x2-x-2 023=0的兩個實(shí)數(shù)根,則代數(shù)式-2 023x1+的值是(A)
A.4 047 B.4 045 C.2 023 D.1
4.已知x1,x2是方程x2-x-3=0的兩根,則+=__-__.
5.(2024·成都)若m,n是一元二次方程x2-5x+2=0的兩個實(shí)數(shù)根,則m+(n-2)2的值為__7__.
角度3 確定方程中待定字母的值或范圍
【解答思路】
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系常與根的判別式相結(jié)合,一般按下面方法解題:
1.一元二次方程根的情況
　　　　 結(jié)合根的判別式
列出方程或不等式
　　　　
確定字母的值或取值范圍
2.方程的根滿足的條件
　　　　 結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系
列出方程或不等式
　　　　
確定字母的值或取值范圍.
針對訓(xùn)練
6.α,β是關(guān)于x的方程x2-x+k-1=0的兩個實(shí)數(shù)根,且α2-2α-β=4,則k的值為__-4__.
7.(2024·南充)已知x1,x2是關(guān)于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求k的取值范圍.
(2)若k<5,且k,x1,x2都是整數(shù),求k的值.
【解析】(1)∵原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ>0,
∴Δ=(-2k)2-4×1×(k2-k+1)=4k2-4k2+4k-4=4k-4>0,
解得k>1.
(2)∵1當(dāng)k=2時,方程為x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,
當(dāng)k=3或4時,此時方程解不為整數(shù).
綜上所述,k的值為2.
角度4 由方程的根的關(guān)系求作新方程
【解答思路】
(1)設(shè)原方程的兩個根為x1,x2,同時寫出新方程的兩根(用x1,x2表示);
(2)寫出原方程兩根之和與兩根之積;
(3)寫出新方程兩根之和與兩根之積;
(4)寫出新方程.
針對訓(xùn)練
8.(2024·廣州模擬) ABCD中,AB,BC的長分別等于一元二次方程x2-5x+6=0兩根之和與兩根之積,則對角線AC長的取值范圍是(D)
A.AC>1 B.19.若x1+x2=3,+=5,則以x1,x2為根的一元二次方程是(A)
A.x2-3x+2=0 B.x2+3x-2=0
C.x2+3x+2=0 D.x2-3x-2=0
10.已知方程x2-3x+1=0,一個一元二次方程的根分別是原方程各根的倒數(shù),則這個一元二次方程是__x2-3x+1=0__.
11.已知,x1,x2是方程x2-2x-3=0的兩個根,
(1)求+的值;
(2)求一個新的一元二次方程,使它的兩根分別是原方程兩根的相反數(shù).
【解析】(1)∵x1,x2是方程x2-2x-3=0的兩個根,
∴x1+x2=2,x1·x2=-3,
∴+===-.
(2)∵x1+x2=2,x1·x2=-3,
∴(-x1)+(-x2)=-(x1+x2)=-2,(-x1)·(-x2)=x1·x2=-3,
∴當(dāng)a=1時,-x1和-x2是方程x2+2x-3=0的根,則新方程為x2+2x-3=0.
角度5 已知方程,判斷兩實(shí)根的符號
【解答思路】
(1)要使方程有兩個實(shí)數(shù)根,滿足a≠0且Δ≥0;
(2)利用兩根和x1+x2,兩根積x1·x2,結(jié)合條件判斷.
針對訓(xùn)練
12.一元二次方程x2+bx-2=0中,若b<0,則這個方程根的情況是(B)
A.有兩個正根 B.有一正根一負(fù)根且正根的絕對值大
C.有兩個負(fù)根 D.有一正根一負(fù)根且負(fù)根的絕對值大
13.已知關(guān)于x的方程x2-(2k-3)x+2k-4=0.
(1)求證:無論k為何實(shí)數(shù),此方程總有實(shí)數(shù)根.
(2)k為何值時,兩根異號且負(fù)根的絕對值大
【解析】(1)Δ=[-(2k-3)]2-4×(2k-4)=4k2-20k+25=(2k-5)2.
∵(2k-5)2≥0,即Δ≥0,
∴無論k為何實(shí)數(shù),方程總有實(shí)數(shù)根.
(2)∵兩根異號且負(fù)根的絕對值大,
∴,∴k<,
∴當(dāng)k<時,兩根異號且負(fù)根的絕對值大.微專題1　一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
角度1 已知一根,求另一根及字母系數(shù)
【解答思路】
方法一:先利用根與系數(shù)的關(guān)系求出另一根,再根據(jù)方程的兩根及根與系數(shù)的關(guān)系求出字母系數(shù).
方法二:先把已知根代入方程,求出字母系數(shù),再解方程求出另一根.
針對訓(xùn)練
1.若x=-1是方程x2-3x+k+1=0的一個根,則此方程的另一個根是( )
A.-5 B.0 C.3 D.4
2.已知x=1是方程x2+bx-2=0的一個根,則方程的另一個根是__ __.
角度2 求關(guān)于兩根代數(shù)式的值
【解答思路】
(1)+=(x1+x2)2-2x1x2;(2)+=;
(3)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;(4)(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a2;
(5)x1+x2=x1x2(x1+x2).
針對訓(xùn)練
3.已知x1,x2是方程x2-x-2 023=0的兩個實(shí)數(shù)根,則代數(shù)式-2 023x1+的值是( )
A.4 047 B.4 045 C.2 023 D.1
4.已知x1,x2是方程x2-x-3=0的兩根,則+=__ _.
5.(2024·成都)若m,n是一元二次方程x2-5x+2=0的兩個實(shí)數(shù)根,則m+(n-2)2的值為__ __.
角度3 確定方程中待定字母的值或范圍
【解答思路】
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系常與根的判別式相結(jié)合,一般按下面方法解題:
1.一元二次方程根的情況
　　　　 結(jié)合根的判別式
列出方程或不等式
　　　　
確定字母的值或取值范圍
2.方程的根滿足的條件
　　　　 結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系
列出方程或不等式
　　　　
確定字母的值或取值范圍.
針對訓(xùn)練
6.α,β是關(guān)于x的方程x2-x+k-1=0的兩個實(shí)數(shù)根,且α2-2α-β=4,則k的值為__ __.
7.(2024·南充)已知x1,x2是關(guān)于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求k的取值范圍.
(2)若k<5,且k,x1,x2都是整數(shù),求k的值.
角度4 由方程的根的關(guān)系求作新方程
【解答思路】
(1)設(shè)原方程的兩個根為x1,x2,同時寫出新方程的兩根(用x1,x2表示);
(2)寫出原方程兩根之和與兩根之積;
(3)寫出新方程兩根之和與兩根之積;
(4)寫出新方程.
針對訓(xùn)練
8.(2024·廣州模擬) ABCD中,AB,BC的長分別等于一元二次方程x2-5x+6=0兩根之和與兩根之積,則對角線AC長的取值范圍是( )
A.AC>1 B.19.若x1+x2=3,+=5,則以x1,x2為根的一元二次方程是( )
A.x2-3x+2=0 B.x2+3x-2=0
C.x2+3x+2=0 D.x2-3x-2=0
10.已知方程x2-3x+1=0,一個一元二次方程的根分別是原方程各根的倒數(shù),則這個一元二次方程是__ __.
11.已知,x1,x2是方程x2-2x-3=0的兩個根,
(1)求+的值;
(2)求一個新的一元二次方程,使它的兩根分別是原方程兩根的相反數(shù).
角度5 已知方程,判斷兩實(shí)根的符號
【解答思路】
(1)要使方程有兩個實(shí)數(shù)根,滿足a≠0且Δ≥0;
(2)利用兩根和x1+x2,兩根積x1·x2,結(jié)合條件判斷.
針對訓(xùn)練
12.一元二次方程x2+bx-2=0中,若b<0,則這個方程根的情況是( )
A.有兩個正根 B.有一正根一負(fù)根且正根的絕對值大
C.有兩個負(fù)根 D.有一正根一負(fù)根且負(fù)根的絕對值大
13.已知關(guān)于x的方程x2-(2k-3)x+2k-4=0.
(1)求證:無論k為何實(shí)數(shù),此方程總有實(shí)數(shù)根.
(2)k為何值時,兩根異號且負(fù)根的絕對值大

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