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第四講　二次根式
知識要點 對點練習(xí)
1.二次根式:形如 ( )的代數(shù)式. 1.(教材再開發(fā)·人教八下P2例1改編) 要使代數(shù)式有意義,則x的取值范圍是 .
2.二次根式的性質(zhì): (1)(a≥0)是 數(shù). (2)= . (3)()2= (a≥0). 2.下列各組實數(shù)中,互為相反數(shù)的一組是( ) A.與 B.與 C.|-|與 D.與
3.最簡二次根式: 最簡二次根式要同時具備下列兩個條件: (1)被開方數(shù)不含 . (2)被開方數(shù)中不含 的因數(shù)或因式. 3.(教材再開發(fā)·人教八下P10練習(xí)T2改編)下列二次根式中,是最簡二次根式的是( ) A. B. C. D.
4.同類二次根式:幾個二次根式化簡成最簡二次根式后,如果它們的 ,那么這幾個二次根式叫做同類二次根式. 4.下列二次根式中,與是同類二次根式的是( ) A. B. C. D.
5.二次根式的運算 (1)二次根式的乘除: ①·= (a≥0,b≥0); ②= (a≥0,b>0). (2)積、商平方根的性質(zhì): ①= (a≥0,b≥0); ②= (a≥0,b>0). (3)二次根式的加減:先將二次根式化成 ,再將 相同的二次根式合并. 5.(教材再開發(fā)·北師八上P44例4改編)計算: (1)-+; (2)÷-×+; (3)-+; (4)(-)2-(2+)(2-).
考點一二次根式的概念
【例1】(2024·煙臺)若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍為 .
【例2】下列根式中,是最簡二次根式的是( )
A. B. C. D.
【思路點撥】直接根據(jù)最簡二次根式的概念:(1)被開方數(shù)不含分母;(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式判斷即可.
【方法小結(jié)】正確理解并掌握二次根式成立的條件,是解決求二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍的關(guān)鍵,題型主要以選擇題和填空題為主.
考點二二次根式的性質(zhì)
【例3】(2022·河北)下列正確的是( )
A.=2+3 B.=2×3
C.=32 D.=0.7
【例4】(2024·樂山)已知1A.-1 B.1 C.2x-3 D.3-2x
【思路點撥】先確定x的取值范圍,再利用二次根式和絕對值的性質(zhì)求出答案即可.
【方法小結(jié)】二次根式的性質(zhì)主要是對=|a|的考查,應(yīng)用的關(guān)鍵是把握a的正負(fù)性,其中a的符號常以數(shù)軸上點的位置的形式給出.
考點三 二次根式的運算
【例5】(2022·武漢)下列各式計算正確的是( )
A.+= B.4-3=1
C.×= D.÷2=
【例6】(2023·聊城)計算: (-3)÷= .
【例7】(2023·成都)計算:+2sin 45°-(π-3)0+|-2|.
【思路點撥】直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及算術(shù)平方根的定義、零指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案.
【方法小結(jié)】二次根式的加減本質(zhì)是合并,將被開方數(shù)相同的項合并,被開方數(shù)不變,系數(shù)相加減即可.二次根式的乘除法類比整式的乘除法進行.解決二次根式的加減運算以及混合運算必須要明確運算順序并正確進行運算.在二次根式的運算中,有理數(shù)的運算律、多項式的乘法法則及除法法則仍然適用,結(jié)果要最簡,即分母中不含根號,根號中不含分?jǐn)?shù)或平方數(shù).
考點四二次根式的估算
【例8】(2024·重慶A卷)已知m=-,則實數(shù)m的范圍是( )
A.2C.4廣東3年真題
1.(2024·廣東)完全相同的4個正方形面積之和是100,則正方形的邊長是( )
A.2 B.5 C.10 D.20
2.(2024·深圳)如圖,A,B,C均為正方形,若A的面積為10,C的面積為1,則B的邊長可以是 .(寫出一個答案即可)
3.(2023·廣東)計算:×= .
4.(2022·深圳)計算:-+cos45°+.
5.(2024·廣東)計算:20×|-|+-3-1.第四講　二次根式
知識要點 對點練習(xí)
1.二次根式:形如 ( a≥0 )的代數(shù)式. 1.(教材再開發(fā)·人教八下P2例1改編) 要使代數(shù)式有意義,則x的取值范圍是 x≥9 .
2.二次根式的性質(zhì): (1)(a≥0)是 非負(fù) 數(shù). (2)= |a| . (3)()2= a (a≥0). 2.下列各組實數(shù)中,互為相反數(shù)的一組是(B) A.與 B.與 C.|-|與 D.與
3.最簡二次根式: 最簡二次根式要同時具備下列兩個條件: (1)被開方數(shù)不含 分母 . (2)被開方數(shù)中不含 能開得盡方 的因數(shù)或因式. 3.(教材再開發(fā)·人教八下P10練習(xí)T2改編)下列二次根式中,是最簡二次根式的是(D) A. B. C. D.
4.同類二次根式:幾個二次根式化簡成最簡二次根式后,如果它們的 被開方數(shù)相同 ,那么這幾個二次根式叫做同類二次根式. 4.下列二次根式中,與是同類二次根式的是(C) A. B. C. D.
5.二次根式的運算 (1)二次根式的乘除: ①·= (a≥0,b≥0); ②= (a≥0,b>0). (2)積、商平方根的性質(zhì): ①= · (a≥0,b≥0); ②= (a≥0,b>0). (3)二次根式的加減:先將二次根式化成 最簡二次根式 ,再將 被開方數(shù) 相同的二次根式合并. 5.(教材再開發(fā)·北師八上P44例4改編)計算: (1)-+; (2)÷-×+; (3)-+; (4)(-)2-(2+)(2-). 【解析】(1)原式=3-4+=0; (2)原式=4-+2=4+; (3)原式=2-+5=+5; (4)原式=3-6+6+1=10-6.
考點一二次根式的概念
【例1】(2024·煙臺)若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍為 x>1 .
【例2】下列根式中,是最簡二次根式的是(D)
A. B. C. D.
【思路點撥】直接根據(jù)最簡二次根式的概念:(1)被開方數(shù)不含分母;(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式判斷即可.
【方法小結(jié)】正確理解并掌握二次根式成立的條件,是解決求二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍的關(guān)鍵,題型主要以選擇題和填空題為主.
考點二二次根式的性質(zhì)
【例3】(2022·河北)下列正確的是(B)
A.=2+3 B.=2×3
C.=32 D.=0.7
【例4】(2024·樂山)已知1A.-1 B.1 C.2x-3 D.3-2x
【思路點撥】先確定x的取值范圍,再利用二次根式和絕對值的性質(zhì)求出答案即可.
【方法小結(jié)】二次根式的性質(zhì)主要是對=|a|的考查,應(yīng)用的關(guān)鍵是把握a的正負(fù)性,其中a的符號常以數(shù)軸上點的位置的形式給出.
考點三 二次根式的運算
【例5】(2022·武漢)下列各式計算正確的是(C)
A.+= B.4-3=1
C.×= D.÷2=
【例6】(2023·聊城)計算: (-3)÷= 3 .
【例7】(2023·成都)計算:+2sin 45°-(π-3)0+|-2|.
【思路點撥】直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及算術(shù)平方根的定義、零指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案.
【解析】原式=2+2×-1+2-
=2+-1+2-
=3.
【方法小結(jié)】二次根式的加減本質(zhì)是合并,將被開方數(shù)相同的項合并,被開方數(shù)不變,系數(shù)相加減即可.二次根式的乘除法類比整式的乘除法進行.解決二次根式的加減運算以及混合運算必須要明確運算順序并正確進行運算.在二次根式的運算中,有理數(shù)的運算律、多項式的乘法法則及除法法則仍然適用,結(jié)果要最簡,即分母中不含根號,根號中不含分?jǐn)?shù)或平方數(shù).
考點四二次根式的估算
【例8】(2024·重慶A卷)已知m=-,則實數(shù)m的范圍是(B)
A.2C.4廣東3年真題
1.(2024·廣東)完全相同的4個正方形面積之和是100,則正方形的邊長是(B)
A.2 B.5 C.10 D.20
2.(2024·深圳)如圖,A,B,C均為正方形,若A的面積為10,C的面積為1,則B的邊長可以是 2(答案不唯一) .(寫出一個答案即可)
3.(2023·廣東)計算:×= 6 .
4.(2022·深圳)計算:-+cos45°+.
【解析】原式=1-3+×+5
=1-3+1+5
=4.
5.(2024·廣東)計算:20×|-|+-3-1.
【解析】原式=1×+2-
=+2-
=2.

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