資源簡介

第二講　整式、因式分解
知識要點 對點練習
1.整式的有關概念 1.(教材再開發·北師七上P89T1改編) (1)單項式-3xy2的系數是 -3 ,次數是 3 . (2)多項式2x-5xy3-1是 四 次 三 項式,其中一次項為 2x ,一次項系數為 2 .
2.同類項:所含字母 相同 ,且相同字母指數也 相同 的單項式. 2.(1)(2024·內江)下列單項式中,ab3的同類項是(A) A.3ab3 B.2a2b3 C.-a2b2 D.a3b (2)2x3y4與-x3myn是同類項,則m+n= 5 .
3.冪的運算性質 運算性質或法則冪的運算 (m,n為正 整數, 且m>n)同底數冪相乘am·an= am+n 同底數冪相除am÷an= am-n (a≠0) 冪的乘方(am)n= amn 積的乘方(ab)n= an bn
3.計算: (1)a3·a5= a8 ; (2)(a3)2= a6 ; (3)(2023·天津)(xy2= x2y4 (4)x7÷x2= x5 ; (5)(a-1)0= 1 (a≠1); (6)a-2= (a≠0).
4.整式的乘法 (1)單項式乘單項式 系數、相同字母的冪 分別相乘,只在一個單項式中出現的字母,連同它的 指數 一起作為積的一個因式. (2)單項式乘多項式m(a+b+c)= ma+mb+mc . (3)多項式乘多項式(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn . 平方差公式:(a+b)(a-b)= a2-b2 . 完全平方公式:(a±b)2= a2 ±2ab+b2 . 4.(教材再開發·人教八上P100例5改編) 計算:(1)3a3·4a3= 12a6 ; (2)-2a·8a2= -16a3 ; (3)3a2(a+2b2)= 3a3+6a2b2 ; (4)(6ab+4a2)÷2a= 3b+2a ; (5)(a+2b)(a-b)= a2+ab-2b2 ; (6)(x+3)(x-3)= x2-9 ; (7)(2x-1)2= 4x2-4x+1 .
續表
知識要點 對點練習
5.因式分解的定義 把一個多項式化成幾個整式的 積 的形式,這種變形叫做多項式的因式分解. 5.下面各式從左到右的變形,屬于因式分解的是(C) A.x2-x-1=x(x-1)-1 B.x2-1=(x-1)2 C.x2-x-6=(x-3)(x+2) D.x(x-1)=x2-x
6.因式分解的方法和步驟 (1)提公因式法:am+bm+cm= m(a+b+c) . (2)運用公式法:平方差公式:a2-b2= (a+b)(a-b) . 完全平方公式:a2±2ab+b2= (a±b)2 . (3)步驟 ①若多項式的各項有公因式,則應先 提取公因式 ,首項是負的,可將負號一并提取. ②若多項式的各項沒有公因式,則可以考慮用 公式 法來因式分解. ③檢查因式分解是否徹底. 6.(1)因式分解:m2-3m= m(m-3) . (2)分解因式:x2-9= (x+3)(x-3) . (3)因式分解:x2-2x+1= (x-1)2 . (4)因式分解:ax2-2ax+a= a(x-1)2 .
考點一代數式與代數式求值
【例1】某校七年級師生參加愛心捐款活動,其中有a名教師,b名學生,若平均每名教師捐x元,每名學生捐10元,則他們一共捐款 (ax+10b) 元.
【思路點撥】教師人數×x+學生人數×10=一共捐款的錢數,由此可列出代數式.
【例2】(2024·廣安)若x2-2x-3=0,則2x2-4x+1= 7 .
【思路點撥】由已知可得x2-2x=3,將代數式適當變形,利用整體代入的思想進行運算即可得出結論.
【方法小結】考點“代數式與代數式求值”在中考中多以填空題、選擇題的形式出現.列代數式的關鍵是明確題中數量關系,列出相應的代數式;代數式求值,根據已知條件求出一個式子的值,然后把要求的式子化成與已知式子相關的形式,把已知式子整體代入可求,熟練掌握整體代入法求代數式的值是解題的關鍵.
考點二整式的概念
【例3】下列整式中,是二次單項式的是(B)
A.x2+1 B.xy
C.x2y D.-3x
【思路點撥】根據單項式次數的定義:單項式中所有字母指數的和叫單項式的次數作答即可.
【例4】(2022·永州)若單項式3xmy與-2x6y是同類項,則m= 6 .
【思路點撥】根據同類項的定義,含有相同的字母,并且相同字母的指數也相同,得出m的值.
【方法小結】同類項必須符合兩個條件:第一,所含字母相同;第二,相同字母的指數相同,兩者缺一不可.根據同類項的概念——相同字母的指數相同列方程(組)是解決此類題的一般方法.
考點三 整式的運算
【例5】(2024·龍東)下列計算正確的是(C)
A.a3·a2=a6
B.(a2)5=a7
C.(-2a3b)3=-8a9b3
D.(-a+b)(a+b)=a2-b2
【思路點撥】根據合并同類項法則、同底數冪的乘除法、積的乘方計算得到結果,即可作出判斷.
【方法小結】考點“整式的運算”在中考中多以選擇題的形式出現,這類問題一定要熟悉基本概念、基本法則,并能加以靈活運用,熟練掌握公式及法則是解題的關鍵.
考點四因式分解
【例6】(2024·揚州)分解因式2x2-4x+2= 2(x-1)2 .
【例7】(2024·廣西)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值為(D)
A.0 B.1 C.4 D.9
【方法小結】考點“因式分解”在中考中多以填空題、選擇題的形式出現,常考查提公因式法與公式法的綜合運用.因式分解的基本思路是:一個多項式如果有公因式,首先提公因式,然后再用公式法進行因式分解,如果剩余的是兩項,考慮使用平方差公式,如果剩余的是三項,則考慮使用完全平方公式,同時因式分解要徹底,要分解到不能分解為止.找準公因式,熟記公式結構是解題的關鍵.
考點五整式的化簡求值
【例8】(2024·赤峰)已知a2-a-3=0,求代數式(a-2)2+(a-1)(a+3)的值.
【解析】(a-2)2+(a-1)(a+3)
=a2-4a+4+a2+3a-a-3
=2a2-2a+1,
∵a2-a-3=0,
∴a2-a=3,
當a2-a=3時,原式=2(a2-a)+1=2×3+1=6+1=7.
【思路點撥】(a-2)2直接利用完全平方公式展開,(a-1)(a+3)利用多項式的乘法公式展開,然后合并同類項即可化簡,最后代入a2-a=3進行計算.
【例9】已知4x=3y,求代數式(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2的值.
【解析】(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2
=x2-4xy+4y2-x2+y2-2y2
=-4xy+3y2
=y(3y-4x),
∵4x=3y,∴原式=y(3y-3y)=0.
【思路點撥】(x-2y)2可以利用完全平方公式展開,-(x-y)(x+y)利用平方差公式展開,再將各項合并即可化簡,最后代入4x=3y進行計算.
【方法小結】考點“整式的化簡求值”在中考中多以解答題的形式出現,常考查整式的混合運算,靈活運用乘法公式:完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵,同時,在去括號的過程中要注意括號前的符號,若為負號,去括號后,括號里面的符號要改變.
廣東3年真題
1.(2023·深圳)下列運算正確的是 (D)
A.a3·a2=a6
B.4ab-ab=4　
C.(a+1)2=a2+1
D.(-a3)2=a6
2.(2022·深圳)下列運算正確的是(A)
A.a2·a6=a8
B.(-2a)3=6a3
C.2(a+b)=2a+b
D.2a+3b=5ab
3.(2024·深圳)下列運算正確的是(B)
A.(-m3)2=-m5
B.m2n·m=m3n
C.3mn-m=3n
D.(m-1)2=m2-1
4.(2024·廣州)若a≠0,則下列運算正確的是(B)
A.+= B.a3·a2=a5
C.·= D.a3÷a2=1
5.(2024·廣東)下列計算正確的是(D)
A.a2·a5=a10 B.a8÷a2=a4
C.-2a+5a=7a D.(a2)5=a10
6.(2022·廣東)單項式3xy的系數為 3 .
7.(2023·廣東)因式分解:x2-1= (x+1)(x-1) .
8.(2022·深圳)分解因式:a2-1= (a+1)(a-1) .
9.(2023·深圳)已知實數a,b,滿足a+b=6,ab=7,則a2b+ab2的值為 42 . 第二講　整式、因式分解
知識要點 對點練習
1.整式的有關概念 1.(教材再開發·北師七上P89T1改編) (1)單項式-3xy2的系數是 ,次數是 . (2)多項式2x-5xy3-1是 次 項式,其中一次項為 ,一次項系數為 .
2.同類項:所含字母 ,且相同字母指數也 的單項式. 2.(1)(2024·內江)下列單項式中,ab3的同類項是( ) A.3ab3 B.2a2b3 C.-a2b2 D.a3b (2)2x3y4與-x3myn是同類項,則m+n= .
3.冪的運算性質 運算性質或法則冪的運算 (m,n為正 整數, 且m>n)同底數冪相乘am·an= 同底數冪相除am÷an= (a≠0) 冪的乘方(am)n= 積的乘方(ab)n=
3.計算: (1)a3·a5= ; (2)(a3)2= ; (3)(2023·天津)(xy2= (4)x7÷x2= ; (5)(a-1)0= (a≠1); (6)a-2= (a≠0).
4.整式的乘法 (1)單項式乘單項式 分別相乘,只在一個單項式中出現的字母,連同它的 一起作為積的一個因式. (2)單項式乘多項式m(a+b+c)= . (3)多項式乘多項式(a+b)(m+n)= . 平方差公式:(a+b)(a-b)= . 完全平方公式:(a±b)2= . 4.(教材再開發·人教八上P100例5改編) 計算:(1)3a3·4a3= ; (2)-2a·8a2= ; (3)3a2(a+2b2)= ; (4)(6ab+4a2)÷2a= ; (5)(a+2b)(a-b)= ; (6)(x+3)(x-3)= ; (7)(2x-1)2= .
續表
知識要點 對點練習
5.因式分解的定義 把一個多項式化成幾個整式的 的形式,這種變形叫做多項式的因式分解. 5.下面各式從左到右的變形,屬于因式分解的是( ) A.x2-x-1=x(x-1)-1 B.x2-1=(x-1)2 C.x2-x-6=(x-3)(x+2) D.x(x-1)=x2-x
6.因式分解的方法和步驟 (1)提公因式法:am+bm+cm= . (2)運用公式法:平方差公式:a2-b2= . 完全平方公式:a2±2ab+b2= . (3)步驟 ①若多項式的各項有公因式,則應先 ,首項是負的,可將負號一并提取. ②若多項式的各項沒有公因式,則可以考慮用 法來因式分解. ③檢查因式分解是否徹底. 6.(1)因式分解:m2-3m= . (2)分解因式:x2-9= . (3)因式分解:x2-2x+1= . (4)因式分解:ax2-2ax+a= .
考點一代數式與代數式求值
【例1】某校七年級師生參加愛心捐款活動,其中有a名教師,b名學生,若平均每名教師捐x元,每名學生捐10元,則他們一共捐款 元.
【思路點撥】教師人數×x+學生人數×10=一共捐款的錢數,由此可列出代數式.
【例2】(2024·廣安)若x2-2x-3=0,則2x2-4x+1= .
【思路點撥】由已知可得x2-2x=3,將代數式適當變形,利用整體代入的思想進行運算即可得出結論.
【方法小結】考點“代數式與代數式求值”在中考中多以填空題、選擇題的形式出現.列代數式的關鍵是明確題中數量關系,列出相應的代數式;代數式求值,根據已知條件求出一個式子的值,然后把要求的式子化成與已知式子相關的形式,把已知式子整體代入可求,熟練掌握整體代入法求代數式的值是解題的關鍵.
考點二整式的概念
【例3】下列整式中,是二次單項式的是( )
A.x2+1 B.xy
C.x2y D.-3x
【思路點撥】根據單項式次數的定義:單項式中所有字母指數的和叫單項式的次數作答即可.
【例4】(2022·永州)若單項式3xmy與-2x6y是同類項,則m= .
【思路點撥】根據同類項的定義,含有相同的字母,并且相同字母的指數也相同,得出m的值.
【方法小結】同類項必須符合兩個條件:第一,所含字母相同;第二,相同字母的指數相同,兩者缺一不可.根據同類項的概念——相同字母的指數相同列方程(組)是解決此類題的一般方法.
考點三 整式的運算
【例5】(2024·龍東)下列計算正確的是( )
A.a3·a2=a6
B.(a2)5=a7
C.(-2a3b)3=-8a9b3
D.(-a+b)(a+b)=a2-b2
【思路點撥】根據合并同類項法則、同底數冪的乘除法、積的乘方計算得到結果,即可作出判斷.
【方法小結】考點“整式的運算”在中考中多以選擇題的形式出現,這類問題一定要熟悉基本概念、基本法則,并能加以靈活運用,熟練掌握公式及法則是解題的關鍵.
考點四因式分解
【例6】(2024·揚州)分解因式2x2-4x+2= .
【例7】(2024·廣西)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值為( )
A.0 B.1 C.4 D.9
【方法小結】考點“因式分解”在中考中多以填空題、選擇題的形式出現,常考查提公因式法與公式法的綜合運用.因式分解的基本思路是:一個多項式如果有公因式,首先提公因式,然后再用公式法進行因式分解,如果剩余的是兩項,考慮使用平方差公式,如果剩余的是三項,則考慮使用完全平方公式,同時因式分解要徹底,要分解到不能分解為止.找準公因式,熟記公式結構是解題的關鍵.
考點五整式的化簡求值
【例8】(2024·赤峰)已知a2-a-3=0,求代數式(a-2)2+(a-1)(a+3)的值.
【思路點撥】(a-2)2直接利用完全平方公式展開,(a-1)(a+3)利用多項式的乘法公式展開,然后合并同類項即可化簡,最后代入a2-a=3進行計算.
【例9】已知4x=3y,求代數式(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2的值.
【思路點撥】(x-2y)2可以利用完全平方公式展開,-(x-y)(x+y)利用平方差公式展開,再將各項合并即可化簡,最后代入4x=3y進行計算.
【方法小結】考點“整式的化簡求值”在中考中多以解答題的形式出現,常考查整式的混合運算,靈活運用乘法公式:完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵,同時,在去括號的過程中要注意括號前的符號,若為負號,去括號后,括號里面的符號要改變.
廣東3年真題
1.(2023·深圳)下列運算正確的是 ( )
A.a3·a2=a6
B.4ab-ab=4　
C.(a+1)2=a2+1
D.(-a3)2=a6
2.(2022·深圳)下列運算正確的是( )
A.a2·a6=a8
B.(-2a)3=6a3
C.2(a+b)=2a+b
D.2a+3b=5ab
3.(2024·深圳)下列運算正確的是( )
A.(-m3)2=-m5
B.m2n·m=m3n
C.3mn-m=3n
D.(m-1)2=m2-1
4.(2024·廣州)若a≠0,則下列運算正確的是( )
A.+= B.a3·a2=a5
C.·= D.a3÷a2=1
5.(2024·廣東)下列計算正確的是( )
A.a2·a5=a10 B.a8÷a2=a4
C.-2a+5a=7a D.(a2)5=a10
6.(2022·廣東)單項式3xy的系數為 .
7.(2023·廣東)因式分解:x2-1= .
8.(2022·深圳)分解因式:a2-1= .
9.(2023·深圳)已知實數a,b,滿足a+b=6,ab=7,則a2b+ab2的值為 .

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