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第二十四講　菱形、矩形、正方形
知識要點 對點練習
1.矩形的判定 (1)有一個角是__直角__的平行四邊形(定義) (2)對角線__相等__的平行四邊形 (3)有三個角是__直角__的四邊形 1.(教材再開發·人教八下P60習題T1改編)下列條件中,不能判定平行四邊形ABCD是矩形的是(A) A.∠A=∠C B.∠A=∠B C.AC=BD D.AB⊥BC
2.矩形的性質 除具有平行四邊形的性質外,還有: (1)矩形的四個角都是__直角__ (2)矩形的對角線__相等__ (3)既是__中心對稱__圖形,又是軸對稱圖形 2.下列語句中,不屬于矩形性質的是(D) A.兩條對角線互相平分 B.兩條對角線相等 C.四個內角都是直角 D.兩條對角線互相垂直
3.菱形的判定 (1)有一組鄰邊__相等__的平行四邊形(定義) (2)對角線互相__垂直__的平行四邊形 (3)四條邊都__相等__的四邊形 3.如圖,要使平行四邊形ABCD為菱形,還需添加的一個條件是__AB=AD(答案不唯一)__.(寫出一個即可)
4.菱形的性質 除具有平行四邊形的性質外,還有: (1)菱形的四條邊都__相等__ (2)菱形的兩條對角線互相__垂直__,并且每一條對角線平分__一組對角__ (3)菱形的面積等于兩條對角線乘積的__一半__ (4)既是__中心對稱__圖形,又是軸對稱圖形 4.(1)如圖,在菱形ABCD中, ∠ABC=80°,則∠BDA的度數為(A) A.40°　　　　　 B.50° C.80° D.100° (2)(教材再開發·北師九上P8例3改編)已知菱形兩條對角線的長分別為5 cm和8 cm,則這個菱形的面積是__20__cm2.
5.正方形的判定 (1)有一組鄰邊__相等__并且有一個角是__直角__的平行四邊形(定義) (2)一組鄰邊__相等__的矩形 (3)一個角是__直角__的菱形 (4)對角線相等且垂直的平行四邊形 5.下列命題為真命題的是(B) A.四邊相等的四邊形是正方形 B.有一組鄰邊相等的矩形是正方形 C.對角線相等的四邊形是正方形 D.對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形
6.正方形的性質 (1)正方形的四個角都是__直角__ (2)正方形的四條邊都__相等__ (3)正方形的兩條對角線__相等__且互相__垂直平分__,每一條對角線平分一組對角 (4)既是__中心__對稱圖形,又是軸對稱圖形 6.(1)正方形具有而矩形不一定具有的性質是(D) A.四個角都相等 B.對角線互相平分 C.對角線相等 D.對角線互相垂直 (2)正方形具有而菱形不一定具有的性質是(B) A.對角線互相垂直 B.對角線相等 C.對邊相等 D.鄰邊相等
【考點一】菱形的性質與判定
【例1】如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,已知OA=OC,OB=OD,過點O作EF⊥BD,分別交AB,DC于點E,F,連接DE,BF.
(1)求證:四邊形DEBF是菱形;
(2)設AD∥EF,AD+AB=12,BD=4,求AF的長.
【思路點撥】(1)先根據對角線互相平分證得四邊形ABCD為平行四邊形,再證得△DOF≌△BOE,從而得到DF∥BE,DF=BE,得到四邊形DEBF為平行四邊形,根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形從而證得結論;
(2)過點F作FG⊥AB于點G,根據勾股定理求得AD,AB的長度,從而得到∠ABD=30°,根據菱形性質得到△BEF為等邊三角形,再根據勾股定理求出GF的長度,根據勾股定理求出AF的長.
【解析】(1)∵OA=OC,OB=OD,∴四邊形ABCD為平行四邊形,
∴AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,
在△BOE和△DOF中,
∴△BOE≌△DOF(ASA),∴BE=DF,
∵BE∥DF,∴四邊形DEBF是平行四邊形,
∵EF⊥BD,∴四邊形DEBF是菱形;
(2)過點F作FG⊥AB于點G,如圖,
∵AD∥EF,EF⊥BD,∴∠ADB=90°,
∴在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,∵AD+AB=12,BD=4,
∴AD2+(4)2=(12-AD)2,解得AD=4,AB=8,∴∠ABD=30°,
∵四邊形DEBF是菱形,∴∠EBF=2∠ABD=60°,
∴△BEF是等邊三角形,
∵OB=OD,EF∥AD,∴AE=BE=4,
∵FG⊥BE,∴EG=BG=2,
在Rt△BGF中,BF=4,BG=2,根據勾股定理得,FG==2,
在Rt△AGF中,AG=6,根據勾股定理得,AF===4.
【方法小結】菱形判定方法的選擇
(1)若四邊形(或可證)為平行四邊形,則再證一組鄰邊相等或對角線互相垂直;
(2)若相等的邊較多(或容易證出)時,可證四條邊相等.
【考點二】矩形的性質與判定
【例2】(2024·蘭州)如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點,CE∥AD,AE⊥AD,
EF⊥AC.
(1)求證:四邊形ADCE是矩形;
(2)若BC=4,CE=3,求EF的長.
【思路點撥】(1)根據等腰三角形性質得AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°,由CE∥AD得∠ECD=∠ADB=90°,由AE⊥AD得∠EAD=90°,則∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°,由此即可得出結論;
(2)根據等腰三角形性質得BD=CD=BC,根據四邊形ADCE是矩形,得AE=CD,∠AEC=90°,進而可在Rt△AEC中求出AC,然后根據三角形的面積公式可求出EF的長.
【解析】(1)∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點,
∴AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°.
∵CE∥AD,∴∠ECD=∠ADB=90°.
∵AE⊥AD,∴∠EAD=90°,
∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°,
∴四邊形ADCE是矩形.
(2)∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點,BC=4,
∴BD=CD=BC=2,
由(1)可知:四邊形ADCE是矩形,
∴AE=CD=2,∠AEC=90°,
在Rt△AEC中,AE=2,CE=3,
由勾股定理得:AC==.
∵EF⊥AC,
∴由三角形的面積公式得:S△AEC=AC·EF=AE·CE,∴EF===.
【考點三】正方形的性質與判定
【例3】如圖,E,F分別是正方形ABCD的邊AB,BC上的動點,滿足AE=BF,連接CE,DF,相交于點G,連接AG,若正方形的邊長為2.則線段AG的最小值為 __.
【方法小結】此類試題屬于中考選擇題中的壓軸題.解此類試題需要綜合考慮多個知識點、多種方法進行解題.
【例4】(2023·杭州)在邊長為1的正方形ABCD中,點E在邊AD上(不與點A,D重合),射線BE與射線CD交于點F.
(1)若ED=,求DF的長.
(2)求證:AE·CF=1.
(3)以點B為圓心,BC長為半徑畫弧,交線段BE于點G.若EG=ED,求ED的長.
【解析】(1)∵四邊形ABCD是正方形,∴AD∥BC,
∴△DEF∽△CBF,
∴=,∴=,∴DF=;
(2)∵AB∥CD,∴∠ABE=∠F,
又∵∠A=∠BCD=90°,
∴△ABE∽△CFB,∴=,∴AE·CF=AB·BC=1;
(3)設EG=ED=x,則AE=AD-ED=1-x,BE=BG+GE=BC+GE=1+x,
在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,
∴1+(1-x)2=(1+x)2,
∴x=,∴DE=.
廣東3年真題
1.(2022·深圳)下列說法錯誤的是(C)
A.對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形
B.同圓或等圓中,同弧對應的圓周角相等
C.對角線相等的四邊形是矩形
D.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形
2.(2023·廣東)如圖,拋物線y=ax2+c經過正方形OABC的三個頂點A,B,C,點B在y軸上,則ac的值為(B)
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
3.(2022·廣東)菱形的邊長為5,則它的周長是__20__.
4.(2024·廣東)如圖,菱形ABCD的面積為24,點E是AB的中點,點F是BC上的動點.若△BEF的面積為4,則圖中陰影部分的面積為__10__.
5.(2024·廣州)如圖,Rt△ABC中,∠B=90°.
(1)尺規作圖:作AC邊上的中線BO(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)在(1)所作的圖中,將中線BO繞點O逆時針旋轉180°得到DO,連接AD,CD.求證:四邊形ABCD是矩形.
【解析】(1)如圖所示,線段BO為AC邊上的中線.
(2)∵點O是AC的中點,∴AO=CO.
∵將中線BO繞點O逆時針旋轉180°得到DO,
∴BO=DO,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∵∠ABC=90°,
∴四邊形ABCD是矩形.
6.(2023·深圳)(1)如圖1,在矩形ABCD中,E為AD邊上一點,連接BE,
①若BE=BC,過C作CF⊥BE交BE于點F,求證:△ABE≌△FCB;
②若S矩形ABCD=20時,則BE·CF=________.
(2)如圖2,在菱形ABCD中,cos A=,過C作CE⊥AB交AB的延長線于點E,過E作EF⊥AD交AD于點F,若S菱形ABCD=24時,求EF·BC的值.
(3)如圖3,在平行四邊形ABCD中,∠A=60°,AB=6,AD=5,點E在CD上,且CE=2,點F為BC上一點,連接EF,過E作EG⊥EF交平行四邊形ABCD的邊于點G,若EF·EG=7時,請直接寫出AG的長.
【解析】(1)①∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠CBF=90°,
又∵CF⊥BE,
∴∠FCB+∠CBF=90°,∠CFB=∠A=90°,
∴∠FCB=∠ABE,
又∵BC=EB,
∴△ABE≌△FCB(AAS);
②由①可得∠FCB=∠ABE,∠CFB=∠A=90°,
∴△ABE∽△FCB.
∴=,
又∵=AB·BC=20,
∴BE·CF=AB·BC=20,
答案:20
(2)∵在菱形ABCD中,cos A=,
∴AD∥BC,AB=BC,則∠CBE=∠A,
∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°,
∴cos ∠CBE=,
∴BE=BC·cos ∠CBE=BC·cos A=BC,
∴AE=AB+BE=AB+BC=AB+AB=AB,
∵EF⊥AD,CE⊥AB,
∴∠AFE=∠BEC=90°,
又∵∠CBE=∠A,
∴△AFE∽△BEC,
∴==,
∴EF·BC=AE·CE=AB·CE=S菱形ABCD=×24=32;
(3)①當點G在AD邊上時,如圖所示,延長FE交AD的延長線于點M,連接GF,
過點E作 EH⊥DM于點H,
∵平行四邊形ABCD中,AB=6,CE=2,
∴CD=AB=6,
DE=DC-EC=6-2=4,
∵DM∥FC,
∴△EDM∽△ECF,
∴===2,
==2,
∴S△MGE=2S△EFG=EF·EG=7,
在Rt△DEH 中,∠HDE=∠A=60°,
則EH=DE=×4=2,DH=DE=2,
∴MG·HE=7,
∴MG=7,
∵GE⊥EF,EH⊥MG,∠MEH=90°-∠HEG=∠HGE,
∴tan ∠MEH=tan ∠HGE,
∴=,
∴HE2=HM·HG,
設AG=a,則GD=AD-AG=5-a,
GH=GD+HD=5-a+2=7-a,HM=GM-GH=7-(7-a)=a,
(2)2=a(7-a),
解得a=3或a=4,
即AG=3或 AG=4,
②當G點在AB邊上時,如圖所示,
連接GF,延長GE交BC的延長線于點M,過點G作GN∥AD,則GN∥BC,四邊形ADNG是平行四邊形,
設AG=x,則 DN=AG=x,EN=DE-DN=4-x,
∵GN∥CM,
∴△ENG∽△ECM,
∴===,
∴CM==,
∴==,
∵EF·EG=7,
∴S△MEF==,
過點E作EH⊥BC于點H,
在Rt△EHC中,EC=2,∠ECH=60°,
∴EH=,CH=1,
∴S△MEF=·MF·EH,
則×·MF=,
∴MF=,
∴FH=MF-CM-CH=--1=,MH=CM+CH=+1=,
∵∠MEF=∠EHM=90°,∠FEH=90°-∠MEH=∠M,
∴tan ∠FEH=tan M,
即=,
∴EH2=FH·HM,
即()2=×,
解得x1=,x2=8 (舍去),
即AG=;
③當G點在BC邊上時,如圖所示,
過點B作BT⊥DC于點T,
在Rt△BTC 中,CT=BC=,BT=TC=,S△BTC=BT·TC=××=,
EF·EG=7,
∴S△EFG=,
∵<,
∴G點不可能在BC邊上,
綜上所述,AG的長為3或4或 .第二十四講　菱形、矩形、正方形
知識要點 對點練習
1.矩形的判定 (1)有一個角是__ __的平行四邊形(定義) (2)對角線__ __的平行四邊形 (3)有三個角是__ __的四邊形 1.(教材再開發·人教八下P60習題T1改編)下列條件中,不能判定平行四邊形ABCD是矩形的是( ) A.∠A=∠C B.∠A=∠B C.AC=BD D.AB⊥BC
2.矩形的性質 除具有平行四邊形的性質外,還有: (1)矩形的四個角都是__ __ (2)矩形的對角線__ __ (3)既是__ __圖形,又是軸對稱圖形 2.下列語句中,不屬于矩形性質的是( ) A.兩條對角線互相平分 B.兩條對角線相等 C.四個內角都是直角 D.兩條對角線互相垂直
3.菱形的判定 (1)有一組鄰邊__ __的平行四邊形(定義) (2)對角線互相__ __的平行四邊形 (3)四條邊都__ __的四邊形 3.如圖,要使平行四邊形ABCD為菱形,還需添加的一個條件是__ __.(寫出一個即可)
4.菱形的性質 除具有平行四邊形的性質外,還有: (1)菱形的四條邊都__ __ (2)菱形的兩條對角線互相__ __,并且每一條對角線平分__ __ (3)菱形的面積等于兩條對角線乘積的__ __ (4)既是__ __圖形,又是軸對稱圖形 4.(1)如圖,在菱形ABCD中, ∠ABC=80°,則∠BDA的度數為( ) A.40°　　　　　 B.50° C.80° D.100° (2)(教材再開發·北師九上P8例3改編)已知菱形兩條對角線的長分別為5 cm和8 cm,則這個菱形的面積是__ __cm2.
5.正方形的判定 (1)有一組鄰邊__ __并且有一個角是__ __的平行四邊形(定義) (2)一組鄰邊__ __的矩形 (3)一個角是__ __的菱形 (4)對角線相等且垂直的平行四邊形 5.下列命題為真命題的是( ) A.四邊相等的四邊形是正方形 B.有一組鄰邊相等的矩形是正方形 C.對角線相等的四邊形是正方形 D.對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形
6.正方形的性質 (1)正方形的四個角都是__ __ (2)正方形的四條邊都__ __ (3)正方形的兩條對角線__ __且互相__ __,每一條對角線平分一組對角 (4)既是__ __對稱圖形,又是軸對稱圖形 6.(1)正方形具有而矩形不一定具有的性質是( ) A.四個角都相等 B.對角線互相平分 C.對角線相等 D.對角線互相垂直 (2)正方形具有而菱形不一定具有的性質是( ) A.對角線互相垂直 B.對角線相等 C.對邊相等 D.鄰邊相等
【考點一】菱形的性質與判定
【例1】如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,已知OA=OC,OB=OD,過點O作EF⊥BD,分別交AB,DC于點E,F,連接DE,BF.
(1)求證:四邊形DEBF是菱形;
(2)設AD∥EF,AD+AB=12,BD=4,求AF的長.
【思路點撥】(1)先根據對角線互相平分證得四邊形ABCD為平行四邊形,再證得△DOF≌△BOE,從而得到DF∥BE,DF=BE,得到四邊形DEBF為平行四邊形,根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形從而證得結論;
(2)過點F作FG⊥AB于點G,根據勾股定理求得AD,AB的長度,從而得到∠ABD=30°,根據菱形性質得到△BEF為等邊三角形,再根據勾股定理求出GF的長度,根據勾股定理求出AF的長.
【方法小結】菱形判定方法的選擇
(1)若四邊形(或可證)為平行四邊形,則再證一組鄰邊相等或對角線互相垂直;
(2)若相等的邊較多(或容易證出)時,可證四條邊相等.
【考點二】矩形的性質與判定
【例2】(2024·蘭州)如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點,CE∥AD,AE⊥AD,
EF⊥AC.
(1)求證:四邊形ADCE是矩形;
(2)若BC=4,CE=3,求EF的長.
【思路點撥】(1)根據等腰三角形性質得AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°,由CE∥AD得∠ECD=∠ADB=90°,由AE⊥AD得∠EAD=90°,則∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°,由此即可得出結論;
(2)根據等腰三角形性質得BD=CD=BC,根據四邊形ADCE是矩形,得AE=CD,∠AEC=90°,進而可在Rt△AEC中求出AC,然后根據三角形的面積公式可求出EF的長.
【考點三】正方形的性質與判定
【例3】如圖,E,F分別是正方形ABCD的邊AB,BC上的動點,滿足AE=BF,連接CE,DF,相交于點G,連接AG,若正方形的邊長為2.則線段AG的最小值為 __.
【方法小結】此類試題屬于中考選擇題中的壓軸題.解此類試題需要綜合考慮多個知識點、多種方法進行解題.
【例4】(2023·杭州)在邊長為1的正方形ABCD中,點E在邊AD上(不與點A,D重合),射線BE與射線CD交于點F.
(1)若ED=,求DF的長.
(2)求證:AE·CF=1.
(3)以點B為圓心,BC長為半徑畫弧,交線段BE于點G.若EG=ED,求ED的長.
廣東3年真題
1.(2022·深圳)下列說法錯誤的是( )
A.對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形
B.同圓或等圓中,同弧對應的圓周角相等
C.對角線相等的四邊形是矩形
D.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形
2.(2023·廣東)如圖,拋物線y=ax2+c經過正方形OABC的三個頂點A,B,C,點B在y軸上,則ac的值為( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
3.(2022·廣東)菱形的邊長為5,則它的周長是__ __.
4.(2024·廣東)如圖,菱形ABCD的面積為24,點E是AB的中點,點F是BC上的動點.若△BEF的面積為4,則圖中陰影部分的面積為__ __.
5.(2024·廣州)如圖,Rt△ABC中,∠B=90°.
(1)尺規作圖:作AC邊上的中線BO(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)在(1)所作的圖中,將中線BO繞點O逆時針旋轉180°得到DO,連接AD,CD.求證:四邊形ABCD是矩形.
6.(2023·深圳)(1)如圖1,在矩形ABCD中,E為AD邊上一點,連接BE,
①若BE=BC,過C作CF⊥BE交BE于點F,求證:△ABE≌△FCB;
②若S矩形ABCD=20時,則BE·CF=________.
(2)如圖2,在菱形ABCD中,cos A=,過C作CE⊥AB交AB的延長線于點E,過E作EF⊥AD交AD于點F,若S菱形ABCD=24時,求EF·BC的值.
(3)如圖3,在平行四邊形ABCD中,∠A=60°,AB=6,AD=5,點E在CD上,且CE=2,點F為BC上一點,連接EF,過E作EG⊥EF交平行四邊形ABCD的邊于點G,若EF·EG=7時,請直接寫出AG的長.

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