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第二十三講　平行四邊形
知識要點 對點練習
1.平行四邊形的概念及性質 (1)概念:兩組對邊分別__ __的四邊形. (2)性質 邊:對邊__ __;角:對角__ __;對角線:對角線__ __. 1.如圖,在平行四邊形ABCD中, ∠B=60°,則∠D=( ) A.60°　　　 B.120°　　　 C.140°　　　 D.30°
2.平行四邊形的判定 (1)邊: ①兩組對邊分別__ __的四邊形; ②兩組對邊分別__ __的四邊形; ③一組對邊__ __的四邊形. (2)角:兩組對角分別__ __的四邊形. (3)對角線:對角線__ __的四邊形. 2.下列不能判斷一個四邊形是平行四邊形的是( ) A.一組對邊平行且相等的四邊形 B.兩組對邊分別相等的四邊形 C.對角線互相平分的四邊形 D.一組對邊相等,且另一組對邊平行的四邊形
3.兩條平行線之間的距離 (1)如果兩條直線平行,那么一條直線上所有的點到另一條直線的距離都__ __. (2)兩條平行線中,一條直線上任意一點到另一條直線的__ __,叫做兩條平行線之間的距離. 3.如圖,AD,CE是△ABC的高,過點A作AF∥BC,則下列線段的長可表示圖中兩條平行線之間的距離的是( ) A.AB B.AD C.CE D.AC
4.三角形的中位線 (1)定義:連接三角形兩邊__ __的線段叫做三角形的中位線. (2)性質: 三角形的中位線__ __于三角形的第三邊,且等于第三邊的__ __. 4.(教材再開發·北師八下P152隨堂練習T2改編) 如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,E,F分別為AC和AB的中點,AF=5,AE=4,則BC=__ __.
【考點一】平行四邊形的性質
【例1】(2024·河南)如圖,在 ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,點E為OC的中點,EF∥AB交BC于點F.若AB=4,則EF的長為( )
A. B.1 C. D.2
【思路點撥】利用平行四邊形的性質、線段中點定義可得出CE=AC,證明
△CEF∽△CAB,利用相似三角形的性質求解即可.
【考點二】平行四邊形的判定
【例2】(2024·達州)如圖,線段AC,BD相交于點O,且AB∥CD,AE⊥BD于點E.
(1)尺規作圖:過點C作BD的垂線,垂足為點F,連接AF,CE;(不寫作法,保留作圖痕跡,并標明相應的字母)
(2)若AB=CD,請判斷四邊形AECF的形狀,并說明理由.(若前問未完成,可畫草圖完成此問)
【思路點撥】(1)利用基本作圖,過C點作BD的垂線即可;
(2)先利用平行線的性質得到∠B=∠D,再利用AE⊥BD,CF⊥BD得到AE∥CF,∠AEB=∠CFD,則可證明△ABE≌△CDF,從而根據平行四邊形的判定方法可判斷四邊形AECF是平行四邊形.
【方法小結】判定平行四邊形的思路:(1)若條件是“一組對邊平行”,則考慮利用“兩組對邊分別平行”或者“一組對邊平行且相等”證明平行四邊形;(2)若條件是“一組對邊相等”,則考慮利用“兩組對邊分別相等”或者“一組對邊平行且相等”證明平行四邊形;(3)若條件與對角線有關,則考慮利用“對角線互相平分”證明平行四邊形;(4)若條件是“一組對角相等”,則考慮利用“兩組對角分別相等”證明平行四邊形.
【考點三】 三角形的中位線
【例3】(2024·廣州模擬)如圖,在△ABC中,點D是邊BC的中點,點F在AB邊上,
AE⊥CF且AE平分∠BAC,已知DE=1,AC=4,則AB的長為( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【思路點撥】證明△AFE≌△ACE,根據全等三角形的性質可得到FE=EC,AF=AC,再利用三角形的中位線定理證明BF=2DE,即可求出答案.
【方法小結】考點“三角形的中位線”在近年中考中出現,注意對定理的熟練掌握,同時注意區分三角形的中位線與三角形的中線.
廣東3年真題
1.(2022·廣東)如圖,在 ABCD中,一定正確的是( )
A.AD=CD B.AC=BD
C.AB=CD D.CD=BC
2.(2024·廣州)如圖, ABCD中,BC=2,點E在DA的延長線上,BE=3,若BA平分
∠EBC,則DE=__ __. 第二十三講　平行四邊形
知識要點 對點練習
1.平行四邊形的概念及性質 (1)概念:兩組對邊分別__平行__的四邊形. (2)性質 邊:對邊__平行且相等__;角:對角__相等__;對角線:對角線__互相平分__. 1.如圖,在平行四邊形ABCD中, ∠B=60°,則∠D=(A) A.60°　　　 B.120°　　　 C.140°　　　 D.30°
2.平行四邊形的判定 (1)邊: ①兩組對邊分別__平行__的四邊形; ②兩組對邊分別__相等__的四邊形; ③一組對邊__平行且相等__的四邊形. (2)角:兩組對角分別__相等__的四邊形. (3)對角線:對角線__互相平分__的四邊形. 2.下列不能判斷一個四邊形是平行四邊形的是(D) A.一組對邊平行且相等的四邊形 B.兩組對邊分別相等的四邊形 C.對角線互相平分的四邊形 D.一組對邊相等,且另一組對邊平行的四邊形
3.兩條平行線之間的距離 (1)如果兩條直線平行,那么一條直線上所有的點到另一條直線的距離都__相等__. (2)兩條平行線中,一條直線上任意一點到另一條直線的__距離__,叫做兩條平行線之間的距離. 3.如圖,AD,CE是△ABC的高,過點A作AF∥BC,則下列線段的長可表示圖中兩條平行線之間的距離的是(B) A.AB B.AD C.CE D.AC
4.三角形的中位線 (1)定義:連接三角形兩邊__中點__的線段叫做三角形的中位線. (2)性質: 三角形的中位線__平行__于三角形的第三邊,且等于第三邊的__一半__. 4.(教材再開發·北師八下P152隨堂練習T2改編) 如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,E,F分別為AC和AB的中點,AF=5,AE=4,則BC=__6__.
【考點一】平行四邊形的性質
【例1】(2024·河南)如圖,在 ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,點E為OC的中點,EF∥AB交BC于點F.若AB=4,則EF的長為(B)
A. B.1 C. D.2
【思路點撥】利用平行四邊形的性質、線段中點定義可得出CE=AC,證明
△CEF∽△CAB,利用相似三角形的性質求解即可.
【考點二】平行四邊形的判定
【例2】(2024·達州)如圖,線段AC,BD相交于點O,且AB∥CD,AE⊥BD于點E.
(1)尺規作圖:過點C作BD的垂線,垂足為點F,連接AF,CE;(不寫作法,保留作圖痕跡,并標明相應的字母)
(2)若AB=CD,請判斷四邊形AECF的形狀,并說明理由.(若前問未完成,可畫草圖完成此問)
【思路點撥】(1)利用基本作圖,過C點作BD的垂線即可;
(2)先利用平行線的性質得到∠B=∠D,再利用AE⊥BD,CF⊥BD得到AE∥CF,∠AEB=∠CFD,則可證明△ABE≌△CDF,從而根據平行四邊形的判定方法可判斷四邊形AECF是平行四邊形.
【解析】(1)如圖,CF,AF,CE為所作;
(2)四邊形AECF是平行四邊形.
理由如下:
∵AB∥CD,∴∠B=∠D.
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴AE∥CF,∠AEB=∠CFD=90°.
在△ABE和△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴AE=CF,而AE∥CF,
∴四邊形AECF是平行四邊形.
【方法小結】判定平行四邊形的思路:(1)若條件是“一組對邊平行”,則考慮利用“兩組對邊分別平行”或者“一組對邊平行且相等”證明平行四邊形;(2)若條件是“一組對邊相等”,則考慮利用“兩組對邊分別相等”或者“一組對邊平行且相等”證明平行四邊形;(3)若條件與對角線有關,則考慮利用“對角線互相平分”證明平行四邊形;(4)若條件是“一組對角相等”,則考慮利用“兩組對角分別相等”證明平行四邊形.
【考點三】 三角形的中位線
【例3】(2024·廣州模擬)如圖,在△ABC中,點D是邊BC的中點,點F在AB邊上,
AE⊥CF且AE平分∠BAC,已知DE=1,AC=4,則AB的長為(B)
A.5 B.6 C.7 D.8
【思路點撥】證明△AFE≌△ACE,根據全等三角形的性質可得到FE=EC,AF=AC,再利用三角形的中位線定理證明BF=2DE,即可求出答案.
【方法小結】考點“三角形的中位線”在近年中考中出現,注意對定理的熟練掌握,同時注意區分三角形的中位線與三角形的中線.
廣東3年真題
1.(2022·廣東)如圖,在 ABCD中,一定正確的是(C)
A.AD=CD B.AC=BD
C.AB=CD D.CD=BC
2.(2024·廣州)如圖, ABCD中,BC=2,點E在DA的延長線上,BE=3,若BA平分
∠EBC,則DE=__5__.

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