資源簡介

第十七講　三角形和多邊形
知識要點 對點練習
1.三角形中的三條重要線段 (1)中線:三角形的三條中線的交點在三角形的__ __部,這個交點叫做三角形的__ __. (2)角平分線:三角形的三條角平分線的交點在三角形的__ __部. (3)高:__ __三角形的三條高的交點在三角形的內部;直角三角形的三條高的交點是__ __;__ __三角形的三條高所在直線的交點在三角形的外部. 1.下列說法正確的是( ) ①三角形的角平分線是射線; ②三角形的三條角平分線都在三角形內部; ③三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分; ④三角形的三條高都在三角形內部. A.①② B.②③ C.③④ D.②④
2.三角形的三邊關系 三角形的兩邊之和__ __第三邊,三角形的兩邊之差__ __第三邊. 2.(教材再開發·北師七下P86習題T1改編)下列長度的各組線段能組成一個三角形的是( ) A.1 cm,2 cm,3 cm B.3 cm,8 cm,5 cm C.4 cm,5 cm,10 cm D.4 cm,5 cm,6 cm
3.三角形的內角和定理及推論 (1)定理:三角形三個內角的和等于__ __. (2)推論:①三角形的一個外角等于和它__ __的和. ②直角三角形的兩個銳角__ __. 3.(1)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠B=56°,則∠A的度數為( ) A.34°　　　 B.44°　　　 C.124°　　　 D.134° (2)(教材再開發·人教八上P15練習改編)如圖,在△ABC中,∠A=50°,∠C=70°,則外角∠ABD的度數是( ) A.110° B.120° C.130° D.140°
4.多邊形 (1)內角和定理:n邊形的內角和是__ __. (2)外角和定理:任意多邊形的外角和為__ __. (3)正多邊形:各個角__ __,各條邊__ __的多邊形. 4.五邊形的內角和等于__ __°.
考點一 三角形和多邊形有關的內角和外角
【例1】(2023·聊城)如圖,分別過△ABC的頂點A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°,
∠EBC=80°,則∠ACB的度數為( )
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.65° B.75° C.85° D.95°
【例2】如圖,在△ABC中,∠A=70°,∠C=30°,BD平分∠ABC交AC于點D,DE∥AB,交BC于點E,則∠BDE的度數是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
【思路點撥】根據三角形內角和定理求出∠ABC,根據角平分線定義求出∠ABD,根據平行線的性質得出∠BDE=∠ABD即可.
【方法小結】本題考查了平行線的性質,三角形內角和定理,角平分線定義的應用,注意:兩直線平行,內錯角相等.
【例3】(2024·山東)如圖,已知AB,BC,CD是正n邊形的三條邊,在同一平面內,以BC為邊在該正n邊形的外部作正方形BCMN.若∠ABN=120°,則n的值為( )
A.12 B.10 C.8 D.6
【例4】(2024·赤峰)如圖是正n邊形紙片的一部分,其中l,m是正n邊形兩條邊的一部分,若l,m所在的直線相交形成的銳角為60°,則n的值是( )
A.5 B.6 C.8 D.10
【例5】(2024·嘉興一模)如圖,在△ABC中,以點B為圓心,AB長為半徑畫弧交BC于點D,以點C為圓心,AC長為半徑畫弧交BC于點E,連接AE,AD.設∠B=α,
∠EAD=β,則∠C的度數為( )
A.α- B.2α-β C.2β-α D.α+
考點二 三角形的主要線段及三角形的四種“心”
【例6】如圖,△ABC三邊的中線AD,BE,CF的公共點G,若S△ABC=12,則圖中陰影部分面積是__ __.
【方法小結】主要考查中線的性質.需牢固掌握中線的性質,數形結合即可解答.
【例7】(2023·浙江)如圖,點P是△ABC的重心,點D是邊AC的中點,PE∥AC交BC于點E,DF∥BC交EP于點F.若四邊形CDFE的面積為6,則△ABC的面積為( )
A.12 B.14 C.18 D.24
【例8】如圖所示,已知點E,F分別是△ABC中AC,AB邊的中點,BE,CF相交于點G,FG=3,則CF的長為( )
A.4 B.4.5 C.6 D.9
考點三 三角形的高、中線、角平分線
【例9】如圖,AD,AE,AF分別是△ABC的中線,角平分線,高,下列各式中錯誤的是( )
A.BC=2CD B.∠BAE=∠BAC
C.∠AFB=90° D.AE=CE
【方法小結】本題考查了三角形的角平分線、中線和高的定義及性質,是基礎題.從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線,垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高;三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點,則這個內角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線;三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線.
【例10】(2024·涼山州)如圖,△ABC中,∠BCD=30°,∠ACB=80°,CD是邊AB上的高,AE是∠CAB的平分線,則∠AEB的度數是__ __.
【思路點撥】由CD是邊AB上的高,∠BCD=30°,∠ACB=80°,可求得∠CAB,∠CBA的度數,因為AE是∠CAB的平分線,可得∠EAB的度數,根據三角形內角和定理,可得∠AEB的度數.
考點四三角形的三邊關系
【例11】(2023·福建)若某三角形的三邊長分別為3,4,m,則m的值可以是( )
A.1 B.5 C.7 D.9
【方法小結】本題考查了三角形三邊關系定理,根據兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊得解.
【例12】三個數3,1-a,1-2a在數軸上從左到右依次排列,且以這三個數為邊長能構成三角形,則a的取值范圍為__ __.
【思路點撥】由三個數的大小關系初步確定a的取值范圍;再由三角形三邊關系得到3+(1-a)>1-2a,從而求出a的取值范圍.
【方法小結】本題考查數軸上點的特點,這是隱含的a的范圍(大小關系),再由三角形兩邊之和大于第三邊進一步確定a的取值范圍,從而順利求解.
1.(2022·廣東)下列圖形中有穩定性的是( )
A.三角形 B.平行四邊形 C.長方形 D.正方形
2.(2022·廣東)如圖,在△ABC中,BC=4,點D,E分別為AB,AC的中點,則DE=( )
A. B. C.1 D.2第十七講　三角形和多邊形
知識要點 對點練習
1.三角形中的三條重要線段 (1)中線:三角形的三條中線的交點在三角形的__內__部,這個交點叫做三角形的__重心__. (2)角平分線:三角形的三條角平分線的交點在三角形的__內__部. (3)高:__銳角__三角形的三條高的交點在三角形的內部;直角三角形的三條高的交點是__直角頂點__;__鈍角__三角形的三條高所在直線的交點在三角形的外部. 1.下列說法正確的是(B) ①三角形的角平分線是射線; ②三角形的三條角平分線都在三角形內部; ③三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分; ④三角形的三條高都在三角形內部. A.①② B.②③ C.③④ D.②④
2.三角形的三邊關系 三角形的兩邊之和__大于__第三邊,三角形的兩邊之差__小于__第三邊. 2.(教材再開發·北師七下P86習題T1改編)下列長度的各組線段能組成一個三角形的是(D) A.1 cm,2 cm,3 cm B.3 cm,8 cm,5 cm C.4 cm,5 cm,10 cm D.4 cm,5 cm,6 cm
3.三角形的內角和定理及推論 (1)定理:三角形三個內角的和等于__180°__. (2)推論:①三角形的一個外角等于和它__不相鄰的兩個內角__的和. ②直角三角形的兩個銳角__互余__. 3.(1)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠B=56°,則∠A的度數為(A) A.34°　　　 B.44°　　　 C.124°　　　 D.134° (2)(教材再開發·人教八上P15練習改編)如圖,在△ABC中,∠A=50°,∠C=70°,則外角∠ABD的度數是(B) A.110° B.120° C.130° D.140°
4.多邊形 (1)內角和定理:n邊形的內角和是__(n-2)×180°__. (2)外角和定理:任意多邊形的外角和為__360°__. (3)正多邊形:各個角__相等__,各條邊__相等__的多邊形. 4.五邊形的內角和等于__540__°.
考點一 三角形和多邊形有關的內角和外角
【例1】(2023·聊城)如圖,分別過△ABC的頂點A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°,
∠EBC=80°,則∠ACB的度數為(B)
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.65° B.75° C.85° D.95°
【例2】如圖,在△ABC中,∠A=70°,∠C=30°,BD平分∠ABC交AC于點D,DE∥AB,交BC于點E,則∠BDE的度數是(B)
A.30° B.40° C.50° D.60°
【思路點撥】根據三角形內角和定理求出∠ABC,根據角平分線定義求出∠ABD,根據平行線的性質得出∠BDE=∠ABD即可.
【方法小結】本題考查了平行線的性質,三角形內角和定理,角平分線定義的應用,注意:兩直線平行,內錯角相等.
【例3】(2024·山東)如圖,已知AB,BC,CD是正n邊形的三條邊,在同一平面內,以BC為邊在該正n邊形的外部作正方形BCMN.若∠ABN=120°,則n的值為(A)
A.12 B.10 C.8 D.6
【例4】(2024·赤峰)如圖是正n邊形紙片的一部分,其中l,m是正n邊形兩條邊的一部分,若l,m所在的直線相交形成的銳角為60°,則n的值是(B)
A.5 B.6 C.8 D.10
【例5】(2024·嘉興一模)如圖,在△ABC中,以點B為圓心,AB長為半徑畫弧交BC于點D,以點C為圓心,AC長為半徑畫弧交BC于點E,連接AE,AD.設∠B=α,
∠EAD=β,則∠C的度數為(C)
A.α- B.2α-β C.2β-α D.α+
考點二 三角形的主要線段及三角形的四種“心”
【例6】如圖,△ABC三邊的中線AD,BE,CF的公共點G,若S△ABC=12,則圖中陰影部分面積是__4__.
【方法小結】主要考查中線的性質.需牢固掌握中線的性質,數形結合即可解答.
【例7】(2023·浙江)如圖,點P是△ABC的重心,點D是邊AC的中點,PE∥AC交BC于點E,DF∥BC交EP于點F.若四邊形CDFE的面積為6,則△ABC的面積為(C)
A.12 B.14 C.18 D.24
【例8】如圖所示,已知點E,F分別是△ABC中AC,AB邊的中點,BE,CF相交于點G,FG=3,則CF的長為(D)
A.4 B.4.5 C.6 D.9
考點三 三角形的高、中線、角平分線
【例9】如圖,AD,AE,AF分別是△ABC的中線,角平分線,高,下列各式中錯誤的是(D)
A.BC=2CD B.∠BAE=∠BAC
C.∠AFB=90° D.AE=CE
【方法小結】本題考查了三角形的角平分線、中線和高的定義及性質,是基礎題.從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線,垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高;三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點,則這個內角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線;三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線.
【例10】(2024·涼山州)如圖,△ABC中,∠BCD=30°,∠ACB=80°,CD是邊AB上的高,AE是∠CAB的平分線,則∠AEB的度數是__100°__.
【思路點撥】由CD是邊AB上的高,∠BCD=30°,∠ACB=80°,可求得∠CAB,∠CBA的度數,因為AE是∠CAB的平分線,可得∠EAB的度數,根據三角形內角和定理,可得∠AEB的度數.
考點四三角形的三邊關系
【例11】(2023·福建)若某三角形的三邊長分別為3,4,m,則m的值可以是(B)
A.1 B.5 C.7 D.9
【方法小結】本題考查了三角形三邊關系定理,根據兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊得解.
【例12】三個數3,1-a,1-2a在數軸上從左到右依次排列,且以這三個數為邊長能構成三角形,則a的取值范圍為__-3【思路點撥】由三個數的大小關系初步確定a的取值范圍;再由三角形三邊關系得到3+(1-a)>1-2a,從而求出a的取值范圍.
【方法小結】本題考查數軸上點的特點,這是隱含的a的范圍(大小關系),再由三角形兩邊之和大于第三邊進一步確定a的取值范圍,從而順利求解.
1.(2022·廣東)下列圖形中有穩定性的是(A)
A.三角形 B.平行四邊形 C.長方形 D.正方形
2.(2022·廣東)如圖,在△ABC中,BC=4,點D,E分別為AB,AC的中點,則DE=(D)
A. B. C.1 D.2

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