資源簡介

第十九講　相似三角形
知識要點
1.相似三角形的性質(zhì)
性質(zhì)1:相似三角形的對應(yīng)角__相等__,對應(yīng)邊的比__相等__.
性質(zhì)2:相似三角形周長的比等于__相似比__.
性質(zhì)3:相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比等于
__相似比__.
性質(zhì)4:相似三角形的面積的比等于相似比的__平方__.
對點練習(xí)
1.(1)若兩個相似三角形周長的比為1∶4,則這兩個三角形對應(yīng)邊的比是(B)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
(2)(教材再開發(fā)·人教九下P31練習(xí)T2改編)如圖,在△ABC中,DE∥BC,=,△ADE的面積是4,則△ABC的面積為(B)
A.12 B.9 C.10 D.8
知識要點
2.相似三角形的判定
判定1:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原__三角形__相似(相似三角形的預(yù)備定理).
判定2:三邊__成比例__的兩個三角形相似.
判定3:兩邊__成比例__且__夾角相等__的兩個三角形相似.
判定4:兩角__分別相等__的兩個三角形相似.
對點練習(xí)
2.下列說法正確的是(D)
A.兩個直角三角形相似
B.兩條邊對應(yīng)成比例,一組對應(yīng)角相等的兩個三角形相似
C.有一個角為40°的兩個等腰三角形相似
D.有一個角為100°的兩個等腰三角形相似
知識要點
3.位似
位似的圖形不僅相似,而且它們的對應(yīng)點的連線相交于一點,這個點叫做位似中心.
對點練習(xí)
3.(教材再開發(fā)·北師九上P114隨堂練習(xí)改編)如圖,△ABC和△A'B'C'是以點O為位似中心的位似圖形,若OA∶OA'=1∶2,則△ABC與△A'B'C'的周長比為(C)
A.1∶4　　　B.1∶3　　　C.1∶2　　　D.1∶9
考點一　比例線段
【例1】如圖,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,BD=3,AC=10,則AE的長為(B)
A.3 B.4 C.5 D.6
【思路點撥】根據(jù)平行線分線段成比例由DE∥BC得到=,然后根據(jù)比例的性質(zhì)可求出AE.
【方法小結(jié)】此題主要考查平行線分線段成比例的性質(zhì),掌握平行線分線段性質(zhì)定理可得對應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵.
【例2】(2023·甘肅)若=,則ab=(A)
A.6 B. C.1 D.
【方法小結(jié)】考點“比例線段”多見于選擇題,填空題;此題主要考查了比例的性質(zhì),利用比例線段的性質(zhì)將原式正確變形是解題關(guān)鍵.
考點二　 相似多邊形的性質(zhì)
【例3】若兩個相似多邊形的面積之比為1∶4,則它們的周長之比為(B)
A.1∶4 B.1∶2 C.2∶1 D.4∶1
【方法小結(jié)】考點“相似多邊形的性質(zhì)”多見于選擇題,填空題;此題主要考查了相似多邊形的性質(zhì),利用相似多邊形的性質(zhì)知兩個三角形的面積比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵.
考點三 相似三角形的判定
【例4】如圖,BE是△ABC的中線,點F在BE上,延長AF交BC于點D.若BF=3FE,則= __.
【例5】如圖,在△ABC中,D在AC上,DE∥BC,DF∥AB.
(1)求證:△DFC∽△AED;
(2)若CD=AC,求的值.
【思路點撥】(1)利用題干中兩組平行線找到兩角對應(yīng)相等即可求證
△DFC∽△AED;
(2)利用題干條件,找到△DFC和△AED的相似比,即可求出的值.
【解析】(1)∵DF∥AB,DE∥BC,∴∠DFC=∠ABF,∠AED=∠ABF,
∴∠DFC=∠AED,
又∵DE∥BC,∴∠DCF=∠ADE,∴△DFC∽△AED;
(2)∵CD=AC,∴=,由(1)知△DFC和△AED的相似比為=,
故=()2=()2=.
考點四 相似三角形的性質(zhì)
【例6】(2024·陜西)如圖,正方形CEFG的頂點G在正方形ABCD的邊CD上,AF與DC交于點H,若AB=6,CE=2,則DH的長為(B)
A.2 B.3 C. D.
【思路點撥】由正方形CEFG和正方形ABCD,得AD∥GF,得△ADH∽△FGH,得DH∶HG=AD∶GF,先求出DG的長,再求出DH的長.
【方法小結(jié)】考點“相似三角形的性質(zhì)”在中考中有時以選擇題的形式出現(xiàn),要熟練掌握和靈活運用相似三角形的性質(zhì),解本題的關(guān)鍵是了解相似三角形的對應(yīng)邊成比例,應(yīng)注意大邊對大邊,小邊對小邊.
【例7】如圖,在△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,點M,Q分別是邊AB,BC上的動點(點M不與A,B重合),且MQ⊥BC,過點M作BC的平行線MN,交AC于點N,連接NQ,設(shè)BQ為x.
(1)試說明不論x為何值時,總有△QBM∽△ABC;
(2)是否存在一點Q,使得四邊形BMNQ為平行四邊形,試說明理由;
(3)當(dāng)x為何值時,四邊形BMNQ的面積最大,并求出最大值.
【思路點撥】(1)根據(jù)題意得到∠MQB=∠CAB,根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可;
(2)根據(jù)對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答;
(3)根據(jù)勾股定理求出BC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用x表示出QM,MN,然后根據(jù)梯形面積公式列出二次函數(shù)解析式,最后利用二次函數(shù)性質(zhì)計算即可.
【解析】(1)∵M(jìn)Q⊥BC,∴∠MQB=90°,∴∠MQB=∠CAB,
又∵∠QBM=∠ABC,∴△QBM∽△ABC.
(2)存在.當(dāng)BQ=MN時,四邊形BMNQ為平行四邊形,
∵M(jìn)N∥BQ,BQ=MN,∴四邊形BMNQ為平行四邊形.
(3)∵∠A=90°,AB=3,AC=4,
∴BC==5,
∵△QBM∽△ABC,
∴==即==,
解得QM=x,BM=x,
∵M(jìn)N∥BC,∴=,即=,
解得MN=5-x,則四邊形BMNQ的面積=×(5-x+x)×x=-x2+x,
∴當(dāng)x=時,四邊形BMNQ的面積最大,最大值為.
【方法小結(jié)】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定、二次函數(shù)的性質(zhì),掌握相似三角形的判定定理、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
考點五　 圖形的位似
【例8】(2024·綏化)如圖,矩形OABC各頂點的坐標(biāo)分別為O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2),以原點O為位似中心,將這個矩形按相似比縮小,則頂點B在第一象限對應(yīng)點的坐標(biāo)是(D)
A.(9,4) B.(4,9) C. (1,) D. (1,)
【方法小結(jié)】此題主要考查了位似變換,正確把握位似圖形的性質(zhì)和分類討論思想,即分兩種情形畫出圖形,是解此題的關(guān)鍵.
【例9】(2024·巴中)如圖是用12個相似的直角三角形組成的圖案.若OA=1,則OG=(C)
A. B. C. D.
考點六　 相似三角形的應(yīng)用
【例10】(2024·廣州模擬)在初中物理中我們學(xué)過凸透鏡的成像規(guī)律.如圖MN為一凸透鏡,F是凸透鏡的焦點.在焦點以外的主光軸上垂直放置一小蠟燭AB,透過透鏡后成的像為CD.光路圖如圖所示:經(jīng)過焦點的光線AE,通過透鏡折射后平行于主光軸,并與經(jīng)過凸透鏡光心的光線AO匯聚于C點.
(1)若焦距OF=4,物距OB=6,小蠟燭的高度AB=1,求蠟燭的像CD的長度;
(2)設(shè)x=,y=,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并通過計算說明當(dāng)物距大于2倍焦距時,成縮小的像.
【解析】(1)由題意得,AB∥OE,∴△ABF∽△EOF,
∴=,即=,∴OE=2,
∵OE∥CD,CE∥OD,
∴四邊形OECD是平行四邊形,
∴CD=OE=2,
∴蠟燭的像CD的長度為2;
(2)由題可知,CD=OE,
∴==y,
由(1)知△ABF∽△EOF,
∴==y,
∴=,
∴=y+1,
∴=y+1,
∴x=y+1,∴y=x-1,
當(dāng)>2,即x>2時,y=x-1>1,
∴>1,即AB>CD,
∴當(dāng)物距大于2倍焦距時,成縮小的像.
【例11】若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積,我們把這個三角形叫做比例三角形.
(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,請直接寫出所有滿足條件的AC的長;
(2)如圖1,在四邊形ABCD中,AD∥BC,對角線BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC.求證:△ABC是比例三角形.
(3)如圖2,在(2)的條件下,當(dāng)∠ADC=90°時,求的值.
【思路點撥】(1)根據(jù)比例三角形的定義分AB2=BC·AC,BC2=AB·AC,AC2=AB·BC三種情況分別代入計算可得結(jié)論;
(2)先證△ABC∽△DCA得CA2=BC·AD,再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得結(jié)論;
(3)作AH⊥BD,由AB=AD知BH=BD,再證△ABH∽△DBC得AB·BC=BH·DB,即AB·BC=BD2,結(jié)合AB·BC=AC2知BD2=AC2,據(jù)此可得答案.
【解析】(1)∵△ABC是比例三角形,且AB=2,AC=3,
①當(dāng)AB2=BC·AC時,得:4=3AC,解得AC=;
②當(dāng)BC2=AB·AC時,得:9=2AC,解得AC=;
③當(dāng)AC2=AB·BC時,得:AC2=6,解得AC=(負(fù)值舍去);
所以當(dāng)AC=或或時,△ABC是比例三角形;
(2)∵AD∥BC,∴∠ACB=∠CAD,
又∵∠BAC=∠ADC,∴△ABC∽△DCA,∴=,即CA2=BC·AD,
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD,
∴CA2=BC·AB,∴△ABC是比例三角形.
(3)如圖,過點A作AH⊥BD于點H,
∵AB=AD,∴BH=BD,
∵AD∥BC,∠ADC=90°,
∴∠BCD=90°,∴∠BHA=∠BCD=90°,
又∵∠ABH=∠DBC,∴△ABH∽△DBC,
∴=,即AB·BC=BH·DB,
∴AB·BC=BD2,
又∵AB·BC=AC2,∴BD2=AC2,∴=.
【方法小結(jié)】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)、分類討論的數(shù)學(xué)思想方法;熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的三線合一性質(zhì),由比例式轉(zhuǎn)化為等積式是求值問題的常用方法,也是解此題的關(guān)鍵.
1. (2023·廣東)邊長分別為10,6,4的三個正方形拼接在一起,它們的底邊在同一直線上(如圖),則圖中陰影部分的面積為__15__.
2.(2024·廣州)如圖,點E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求證:△ABE∽△ECF.
【證明】∵BE=3,EC=6,CF=2,∴BC=3+6=9,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=9,∠B=∠C=90°,
∵==,=,∴=,
∴△ABE∽△ECF.
3.(2022·深圳)(1)發(fā)現(xiàn):如圖①所示,在正方形ABCD中,E為AD邊上一點,將△AEB沿BE翻折到△BEF處,延長EF交CD邊于點G.求證:△BFG≌△BCG;
(2)探究:如圖②,在矩形ABCD中,E為AD邊上一點,且AD=8,AB=6.將△AEB沿BE翻折到△BEF處,延長EF交BC邊于點G,延長BF交CD邊于點H,且FH=CH,求AE的長;
(3)拓展:如圖③,在菱形ABCD中,AB=6,E為CD邊上的三等分點,∠D=60°.
將△ADE沿AE翻折得到△AFE,直線EF交BC的延長線于點P,求PC的長.
【解析】(1)∵將△AEB沿BE翻折到△BEF處,四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BF,∠BFE=∠A=90°,∴∠BFG=90°=∠C,
∵AB=BC=BF,BG=BG,∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL);
(2)延長BH,AD交于點Q,如圖:
設(shè)FH=HC=x,
在Rt△BCH中,BC2+CH2=BH2,
∴82+x2=(6+x)2,解得x=,∴DH=DC-HC=,
∵∠BFG=∠BCH=90°,∠HBC=∠FBG,∴△BFG∽△BCH,
∴==,即==,∴BG=,FG=,
∵EQ∥GB,DQ∥CB,∴△EFQ∽△GFB,△DHQ∽△CHB,
∴=,即=,∴DQ=,
設(shè)AE=EF=m,則DE=8-m,
∴EQ=DE+DQ=8-m+=-m,
∵△EFQ∽△GFB,∴=,即=,
解得m=,∴AE的長為;
(3)方法一:(Ⅰ)當(dāng)DE=DC=2時,延長FE交AD于點Q,過點Q作QH⊥CD于點H,如圖:
設(shè)DQ=x,QE=y,則AQ=6-x,
∵CP∥DQ,∴△CPE∽△DQE,∴==2,∴CP=2x,
∵△ADE沿AE翻折得到△AFE,∴EF=DE=2,AF=AD=6,∠QAE=∠FAE,
∴AE是△AQF的角平分線,∴=,即=①,
∵∠D=60°,∴DH=DQ=x,HE=DE-DH=2-x,HQ=DH=x,
在Rt△HQE中,HE2+HQ2=EQ2,
∴(2-x)2+(x) 2=y2②,
聯(lián)立①②可解得x=,
∴CP=2x=;
(Ⅱ)當(dāng)CE=DC=2時,延長FE交AD延長線于點Q',過點Q'作Q'H'⊥CD交CD延長線于點H',如圖:
設(shè)DQ'=x',Q'E=y',則AQ'=6+x',
∵CP∥DQ',∴△CPE∽△DQ'E,
∴==,∴CP=x',
同理∠Q'AE=∠EAF,∴=,即=③,
由H'Q'2+H'E2=Q'E2得(x')2+(x'+4)2=y'2④,
聯(lián)立③④可解得x'=,∴CP=x'=,
綜上所述,CP的長為或.
方法二:(Ⅰ)當(dāng)DE=DC=2時,連接CF,過點P作PK⊥CD于點K,如圖:
∵四邊形ABCD是菱形,∠D=60°,
∴△ABC,△ADC是等邊三角形,
∴∠ACB=∠ACD=60°,AD=AC,∴∠PCK=60°,
∵將△ADE沿AE翻折得到△AFE,
∴∠AFE=∠D=60°=∠ACB,AF=AD=AC,EF=DE=2,
∴∠AFC=∠ACF,∴∠PFC=∠PCF,∴PF=PC,
設(shè)PF=PC=2a,在Rt△PCK中,CK=a,PK=a,
∴EK=EC-CK=4-a,
在Rt△PEK中,EK2+PK2=PE2,∴(4-a)2+(a)2=(2+2a)2,
解得a=,∴PC=2a=;
(Ⅱ)當(dāng)CE=DC=2時,連接CF,過點P作PT⊥CD交DC延長線于點T,如圖:
同(Ⅰ)可證AC=AD=AF,∠ACB=60°=∠D=∠AFE,
∴∠ACF=∠AFC,∴∠ACF-∠ACB=∠AFC-∠AFE,
即∠PCF=∠PFC,∴PC=PF,
設(shè)PC=PF=2n,在Rt△PCT中,CT=n,PT=n,
∴ET=CE+CT=2+n,EP=EF-PF=DE-PF=4-2n,
在Rt△PET中,PT2+ET2=PE2,
∴(n)2+(2+n)2=(4-2n)2,解得n=,∴PC=2n=,
綜上所述,PC的長為或.第十九講　相似三角形
知識要點
1.相似三角形的性質(zhì)
性質(zhì)1:相似三角形的對應(yīng)角__ __,對應(yīng)邊的比__ __.
性質(zhì)2:相似三角形周長的比等于__ __.
性質(zhì)3:相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比等于
__ __.
性質(zhì)4:相似三角形的面積的比等于相似比的__ __.
對點練習(xí)
1.(1)若兩個相似三角形周長的比為1∶4,則這兩個三角形對應(yīng)邊的比是( )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
(2)(教材再開發(fā)·人教九下P31練習(xí)T2改編)如圖,在△ABC中,DE∥BC,=,△ADE的面積是4,則△ABC的面積為( )
A.12 B.9 C.10 D.8
知識要點
2.相似三角形的判定
判定1:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原__ __相似(相似三角形的預(yù)備定理).
判定2:三邊__ __的兩個三角形相似.
判定3:兩邊__ __且__ __的兩個三角形相似.
判定4:兩角__ __的兩個三角形相似.
對點練習(xí)
2.下列說法正確的是( )
A.兩個直角三角形相似
B.兩條邊對應(yīng)成比例,一組對應(yīng)角相等的兩個三角形相似
C.有一個角為40°的兩個等腰三角形相似
D.有一個角為100°的兩個等腰三角形相似
知識要點
3.位似
位似的圖形不僅相似,而且它們的對應(yīng)點的連線相交于一點,這個點叫做位似中心.
對點練習(xí)
3.(教材再開發(fā)·北師九上P114隨堂練習(xí)改編)如圖,△ABC和△A'B'C'是以點O為位似中心的位似圖形,若OA∶OA'=1∶2,則△ABC與△A'B'C'的周長比為( )
A.1∶4　　　B.1∶3　　　C.1∶2　　　D.1∶9
考點一　比例線段
【例1】如圖,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,BD=3,AC=10,則AE的長為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【思路點撥】根據(jù)平行線分線段成比例由DE∥BC得到=,然后根據(jù)比例的性質(zhì)可求出AE.
【方法小結(jié)】此題主要考查平行線分線段成比例的性質(zhì),掌握平行線分線段性質(zhì)定理可得對應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵.
【例2】(2023·甘肅)若=,則ab=( )
A.6 B. C.1 D.
【方法小結(jié)】考點“比例線段”多見于選擇題,填空題;此題主要考查了比例的性質(zhì),利用比例線段的性質(zhì)將原式正確變形是解題關(guān)鍵.
考點二　 相似多邊形的性質(zhì)
【例3】若兩個相似多邊形的面積之比為1∶4,則它們的周長之比為( )
A.1∶4 B.1∶2 C.2∶1 D.4∶1
【方法小結(jié)】考點“相似多邊形的性質(zhì)”多見于選擇題,填空題;此題主要考查了相似多邊形的性質(zhì),利用相似多邊形的性質(zhì)知兩個三角形的面積比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵.
考點三 相似三角形的判定
【例4】如圖,BE是△ABC的中線,點F在BE上,延長AF交BC于點D.若BF=3FE,則= _.
【例5】如圖,在△ABC中,D在AC上,DE∥BC,DF∥AB.
(1)求證:△DFC∽△AED;
(2)若CD=AC,求的值.
【思路點撥】(1)利用題干中兩組平行線找到兩角對應(yīng)相等即可求證
△DFC∽△AED;
(2)利用題干條件,找到△DFC和△AED的相似比,即可求出的值.
考點四 相似三角形的性質(zhì)
【例6】(2024·陜西)如圖,正方形CEFG的頂點G在正方形ABCD的邊CD上,AF與DC交于點H,若AB=6,CE=2,則DH的長為( )
A.2 B.3 C. D.
【思路點撥】由正方形CEFG和正方形ABCD,得AD∥GF,得△ADH∽△FGH,得DH∶HG=AD∶GF,先求出DG的長,再求出DH的長.
【方法小結(jié)】考點“相似三角形的性質(zhì)”在中考中有時以選擇題的形式出現(xiàn),要熟練掌握和靈活運用相似三角形的性質(zhì),解本題的關(guān)鍵是了解相似三角形的對應(yīng)邊成比例,應(yīng)注意大邊對大邊,小邊對小邊.
【例7】如圖,在△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,點M,Q分別是邊AB,BC上的動點(點M不與A,B重合),且MQ⊥BC,過點M作BC的平行線MN,交AC于點N,連接NQ,設(shè)BQ為x.
(1)試說明不論x為何值時,總有△QBM∽△ABC;
(2)是否存在一點Q,使得四邊形BMNQ為平行四邊形,試說明理由;
(3)當(dāng)x為何值時,四邊形BMNQ的面積最大,并求出最大值.
【思路點撥】(1)根據(jù)題意得到∠MQB=∠CAB,根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可;
(2)根據(jù)對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答;
(3)根據(jù)勾股定理求出BC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用x表示出QM,MN,然后根據(jù)梯形面積公式列出二次函數(shù)解析式,最后利用二次函數(shù)性質(zhì)計算即可.
【方法小結(jié)】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定、二次函數(shù)的性質(zhì),掌握相似三角形的判定定理、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
考點五　 圖形的位似
【例8】(2024·綏化)如圖,矩形OABC各頂點的坐標(biāo)分別為O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2),以原點O為位似中心,將這個矩形按相似比縮小,則頂點B在第一象限對應(yīng)點的坐標(biāo)是( )
A.(9,4) B.(4,9) C. (1,) D. (1,)
【方法小結(jié)】此題主要考查了位似變換,正確把握位似圖形的性質(zhì)和分類討論思想,即分兩種情形畫出圖形,是解此題的關(guān)鍵.
【例9】(2024·巴中)如圖是用12個相似的直角三角形組成的圖案.若OA=1,則OG=( )
A. B. C. D.
考點六　 相似三角形的應(yīng)用
【例10】(2024·廣州模擬)在初中物理中我們學(xué)過凸透鏡的成像規(guī)律.如圖MN為一凸透鏡,F是凸透鏡的焦點.在焦點以外的主光軸上垂直放置一小蠟燭AB,透過透鏡后成的像為CD.光路圖如圖所示:經(jīng)過焦點的光線AE,通過透鏡折射后平行于主光軸,并與經(jīng)過凸透鏡光心的光線AO匯聚于C點.
(1)若焦距OF=4,物距OB=6,小蠟燭的高度AB=1,求蠟燭的像CD的長度;
(2)設(shè)x=,y=,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并通過計算說明當(dāng)物距大于2倍焦距時,成縮小的像.
【例11】若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積,我們把這個三角形叫做比例三角形.
(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,請直接寫出所有滿足條件的AC的長;
(2)如圖1,在四邊形ABCD中,AD∥BC,對角線BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC.求證:△ABC是比例三角形.
(3)如圖2,在(2)的條件下,當(dāng)∠ADC=90°時,求的值.
【思路點撥】(1)根據(jù)比例三角形的定義分AB2=BC·AC,BC2=AB·AC,AC2=AB·BC三種情況分別代入計算可得結(jié)論;
(2)先證△ABC∽△DCA得CA2=BC·AD,再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得結(jié)論;
(3)作AH⊥BD,由AB=AD知BH=BD,再證△ABH∽△DBC得AB·BC=BH·DB,即AB·BC=BD2,結(jié)合AB·BC=AC2知BD2=AC2,據(jù)此可得答案.
【方法小結(jié)】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)、分類討論的數(shù)學(xué)思想方法;熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的三線合一性質(zhì),由比例式轉(zhuǎn)化為等積式是求值問題的常用方法,也是解此題的關(guān)鍵.
1. (2023·廣東)邊長分別為10,6,4的三個正方形拼接在一起,它們的底邊在同一直線上(如圖),則圖中陰影部分的面積為__ __.
2.(2024·廣州)如圖,點E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求證:△ABE∽△ECF.
3.(2022·深圳)(1)發(fā)現(xiàn):如圖①所示,在正方形ABCD中,E為AD邊上一點,將△AEB沿BE翻折到△BEF處,延長EF交CD邊于點G.求證:△BFG≌△BCG;
(2)探究:如圖②,在矩形ABCD中,E為AD邊上一點,且AD=8,AB=6.將△AEB沿BE翻折到△BEF處,延長EF交BC邊于點G,延長BF交CD邊于點H,且FH=CH,求AE的長;
(3)拓展:如圖③,在菱形ABCD中,AB=6,E為CD邊上的三等分點,∠D=60°.
將△ADE沿AE翻折得到△AFE,直線EF交BC的延長線于點P,求PC的長.

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