資源簡介

第十八講　全等三角形
知識要點 對點練習
1.全等三角形的概念 能夠__完全重合__的兩個三角形. 1.下列說法正確的是(A) A.全等三角形的周長和面積分別相等 B.全等三角形是指形狀相同的兩個三角形 C.全等三角形是指面積相等的兩個三角形 D.所有的等邊三角形都是全等三角形
2.全等三角形的性質 全等三角形的對應邊__相等__,對應角__相等__. 2.(教材再開發(fā)·人教八上P44T9改編)如圖,已知△ABC≌△DEF,點B,E,C,F依次在同一條直線上.若BC=8,CE=5,則CF的長為__3__.
3.全等三角形的判定定理 (1)三邊分別__相等__的兩個三角形全等(簡寫成“邊邊邊”或“__SSS__”). (2)兩邊和它們的夾角分別__相等__的兩個三角形全等(簡寫成“邊角邊”或“__SAS__”). (3)兩角和它們的夾邊分別__相等__的兩個三角形全等(簡寫成“角邊角”或“__ASA__”). (4)兩角和其中一個角的對邊分別__相等__的兩個三角形全等(簡寫成“角角邊”或“__AAS__”). (5)斜邊和一條直角邊分別__相等__的兩個直角三角形全等(簡寫成“斜邊、直角邊”或“__HL__”). 3.(教材再開發(fā)·人教八上P38例2改編)如圖,AB∥CD,AD與BC交于點O,請?zhí)砑右粋€條件__AB=DC(答案不唯一)__,使△AOB≌△DOC.(只填一種情況即可)
考點一 全等三角形的判定
【例1】(2024·牡丹江)如圖,△ABC中,D是AB上一點,CF∥AB,D,E,F三點共線,請?zhí)砑右粋€條件__DE=EF(答案不唯一)__,使得AE=CE.(只添一種情況即可)
【思路點撥】根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定,可以寫出添加的條件.
【例2】如圖所示,A,D,B,E四點在同一條直線上,若BC=EF,∠A=∠EDF,∠E+
∠CBE=180°.求證:AC=DF.
【證明】∵∠ABC+∠CBE=180°,∠E+∠CBE=180°.
∴∠ABC=∠E,
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(AAS),
∴AC=DF.
【例3】(2023·江西)如圖,AB=AD,AC平分∠BAD.求證:△ABC≌△ADC.
【思路點撥】根據(jù)角平分線的性質,可得∠BAC=∠DAC,然后根據(jù)“SAS”即可證明△ABC≌△ADC.
【證明】∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,
在△ABC和△ADC中,,∴△ABC≌△ADC(SAS).
【方法小結】考點“全等三角形的判定”在中考中多以解答題的形式出現(xiàn),主要穿插在四邊形或圓中,判斷三角形全等的方法有:SSS,SAS,ASA,AAS,以及判斷兩個直角三角形全等的方法HL.證明三角形全等關鍵是分析已有條件,欠缺條件,選擇適當判別方法,分析條件時注意必須有邊參與,公共邊,公共角以及對頂角一般都是題中隱含的條件.判定兩個三角形全等時,必須有邊的參與,若有兩邊一角對應相等時,角必須是兩邊的夾角.
考點二 全等三角形的性質
【例4】(2024·臨夏州)如圖,在△ABC中,點A的坐標為(0,1),點B的坐標為(4,1),點C的坐標為(3,4),點D在第一象限(不與點C重合),且△ABD與△ABC全等,點D的坐標是__(1,4)__.
【思路點撥】根據(jù)點D在第一象限(不與點C重合),且△ABD與△ABC全等,得到△BAD≌△ABC,得到AD=BC,BD=AC,畫出圖形,利用數(shù)形結合的思想求解即可.
【例5】(2023·福建)如圖,OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB.求證:AB=CD.
【證明】∵∠AOD=∠COB,∴∠AOD-∠BOD=∠COB-∠BOD,即∠AOB=∠COD.在△AOB 和△COD中,,
∴△AOB≌△COD(SAS),∴AB=CD.
【例6】(2024·蘇州)如圖,△ABC中,AB=AC,分別以B,C為圓心,大于BC長為半徑畫弧,兩弧交于點D,連接BD,CD,AD,AD與BC交于點E.
(1)求證:△ABD≌△ACD;
(2)若BD=2,∠BDC=120°,求BC的長.
【解析】(1)由作圖知:BD=CD.
在△ABD和△ACD中,
,
∴△ABD≌△ACD(SSS);
(2)∵△ABD≌△ACD,∠BDC=120°,
∴∠BDA=∠CDA=∠BDC=×120°=60°,
又∵BD=CD,∴DA⊥BC,BE=CE.
∵BD=2,∴BE=BD·sin∠BDA=2×=,
∴BC=2BE=2.
【方法小結】考點“全等三角形的性質”在中考中多以解答題的形式出現(xiàn),證明不在同一個三角形中的線段或角相等,一般先判定三角形全等,再利用性質證明邊相等、角相等、線段垂直或平行等.解題的關鍵是觀察結論中的線段或角在哪兩個可能全等的三角形中,然后證明這兩個三角形全等.
1.(2022·深圳)如圖所示,已知△ABE為直角三角形,∠ABE=90°,BC為☉O的切線,C為切點,CA=CD,則△ABC和△CDE的面積之比為(B)
A.1∶3 B.1∶2
C.∶2 D.(-1)∶1
2.(2024·廣州)如圖,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D為邊BC的中點,點E,F分別在邊AB,AC上,AE=CF,則四邊形AEDF的面積為(C)
A.18 B.9 C.9 D.6
3.(2022·廣東)如圖,已知∠AOC=∠BOC,點P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證:△OPD≌△OPE.
【證明】∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE,
在Rt△OPD和Rt△OPE中,,
∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL).第十八講　全等三角形
知識要點 對點練習
1.全等三角形的概念 能夠__ __的兩個三角形. 1.下列說法正確的是( ) A.全等三角形的周長和面積分別相等 B.全等三角形是指形狀相同的兩個三角形 C.全等三角形是指面積相等的兩個三角形 D.所有的等邊三角形都是全等三角形
2.全等三角形的性質 全等三角形的對應邊__ __,對應角__ __. 2.(教材再開發(fā)·人教八上P44T9改編)如圖,已知△ABC≌△DEF,點B,E,C,F依次在同一條直線上.若BC=8,CE=5,則CF的長為__ __.
3.全等三角形的判定定理 (1)三邊分別__ __的兩個三角形全等(簡寫成“邊邊邊”或“__ __”). (2)兩邊和它們的夾角分別__ __的兩個三角形全等(簡寫成“邊角邊”或“__ __”). (3)兩角和它們的夾邊分別__ __的兩個三角形全等(簡寫成“角邊角”或“__ __”). (4)兩角和其中一個角的對邊分別__ __的兩個三角形全等(簡寫成“角角邊”或“__ __”). (5)斜邊和一條直角邊分別__ __的兩個直角三角形全等(簡寫成“斜邊、直角邊”或“__ __”). 3.(教材再開發(fā)·人教八上P38例2改編)如圖,AB∥CD,AD與BC交于點O,請?zhí)砑右粋€條件__ __,使△AOB≌△DOC.(只填一種情況即可)
考點一 全等三角形的判定
【例1】(2024·牡丹江)如圖,△ABC中,D是AB上一點,CF∥AB,D,E,F三點共線,請?zhí)砑右粋€條件__ __,使得AE=CE.(只添一種情況即可)
【思路點撥】根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定,可以寫出添加的條件.
【例2】如圖所示,A,D,B,E四點在同一條直線上,若BC=EF,∠A=∠EDF,∠E+
∠CBE=180°.求證:AC=DF.
【例3】(2023·江西)如圖,AB=AD,AC平分∠BAD.求證:△ABC≌△ADC.
【思路點撥】根據(jù)角平分線的性質,可得∠BAC=∠DAC,然后根據(jù)“SAS”即可證明△ABC≌△ADC.
【方法小結】考點“全等三角形的判定”在中考中多以解答題的形式出現(xiàn),主要穿插在四邊形或圓中,判斷三角形全等的方法有:SSS,SAS,ASA,AAS,以及判斷兩個直角三角形全等的方法HL.證明三角形全等關鍵是分析已有條件,欠缺條件,選擇適當判別方法,分析條件時注意必須有邊參與,公共邊,公共角以及對頂角一般都是題中隱含的條件.判定兩個三角形全等時,必須有邊的參與,若有兩邊一角對應相等時,角必須是兩邊的夾角.
考點二 全等三角形的性質
【例4】(2024·臨夏州)如圖,在△ABC中,點A的坐標為(0,1),點B的坐標為(4,1),點C的坐標為(3,4),點D在第一象限(不與點C重合),且△ABD與△ABC全等,點D的坐標是__ __.
【思路點撥】根據(jù)點D在第一象限(不與點C重合),且△ABD與△ABC全等,得到△BAD≌△ABC,得到AD=BC,BD=AC,畫出圖形,利用數(shù)形結合的思想求解即可.
【例5】(2023·福建)如圖,OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB.求證:AB=CD.
【例6】(2024·蘇州)如圖,△ABC中,AB=AC,分別以B,C為圓心,大于BC長為半徑畫弧,兩弧交于點D,連接BD,CD,AD,AD與BC交于點E.
(1)求證:△ABD≌△ACD;
(2)若BD=2,∠BDC=120°,求BC的長.
【方法小結】考點“全等三角形的性質”在中考中多以解答題的形式出現(xiàn),證明不在同一個三角形中的線段或角相等,一般先判定三角形全等,再利用性質證明邊相等、角相等、線段垂直或平行等.解題的關鍵是觀察結論中的線段或角在哪兩個可能全等的三角形中,然后證明這兩個三角形全等.
1.(2022·深圳)如圖所示,已知△ABE為直角三角形,∠ABE=90°,BC為☉O的切線,C為切點,CA=CD,則△ABC和△CDE的面積之比為( )
A.1∶3 B.1∶2
C.∶2 D.(-1)∶1
2.(2024·廣州)如圖,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D為邊BC的中點,點E,F分別在邊AB,AC上,AE=CF,則四邊形AEDF的面積為( )
A.18 B.9 C.9 D.6
3.(2022·廣東)如圖,已知∠AOC=∠BOC,點P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證:△OPD≌△OPE.

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