資源簡介

第二十一講　直角三角形
知識要點
1.直角三角形的性質與判定
(1)性質:①直角三角形的兩個銳角__互余__
②在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的__一半__
③在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的__一半__
(2)判定:①定義法:有一個角是__直角__的三角形
②兩個內角__互余__的三角形
對點練習
1.(1)已知:在一個直角三角形中30°角所對的直角邊為3 cm,則斜邊長為__6__cm__.
(2)直角三角形斜邊上的中線長為5 cm,則斜邊長為__10__cm.
知識要點
2.勾股定理及逆定理
(1)勾股定理:如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么__a2+b2=c2__
(2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長a,b,c滿足__a2+b2=c2__,那么這個三角形是直角三角形
對點練習
2.(教材再開發·人教八下P28T1改編)若一個直角三角形的兩邊長分別是4 cm,
3 cm,則第三條邊長是__5或__cm.
考點　 直角三角形的性質與判定
【例1】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是△ABC的高,若∠B=20°,則∠DAC=(B)
A.90° B.20° C.45° D.70°
【方法小結】直角三角形的性質一般會與其他知識點結合,本題考查了直角三角形的性質和余角的性質,屬于基礎題,也是常考題.
【例2】如圖,一只正方體箱子沿著斜面CD向上運動,∠C=30°,箱高AB=1米,當BC=2米時,點A離地面CE的距離是________米.(A)
A.+1 B.+ C.+1 D.+4
【例3】(2024·安徽)如圖,在Rt△ABC中,AC=BC=2,點D在AB的延長線上,且CD=AB,則BD的長是(B)
A.- B.- C.2-2 D.2-
【思路點撥】過點C作CH⊥AB于點H,由等腰直角三角形的性質可得AB,AH=BH=CH,由勾股定理可求DH的長,即可求解.
【例4】(2023·隨州)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D為AC上一點,若BD是∠ABC的平分線,則AD=__5__.
【方法小結】本題主要考查角平分線的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、解方程,解題關鍵是正確作出輔助線,利用角平分線的性質和勾股定理解決問題.
【例5】(2024·浙江)如圖,正方形ABCD由四個全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和中間一個小正方形EFGH組成,連接DE.
若AE=4,BE=3,則DE=(C)
A.5 B.2 C. D.4
【例6】已知:如圖,在Rt△ABC和Rt△BAD中,AB為斜邊,AC=BD,BC,AD相交于點E.
(1)求證:AE=BE;
(2)若∠AEC=45°,AC=1,求CE的長.
【思路點撥】(1)先證明Rt△ACE≌Rt△BDE,再利用全等三角形的性質可得AE=BE;
(2)利用等腰直角三角形的性質可以知道CE=AC=1.
【解析】(1)∵∠AEC與∠BED是對頂角,∴∠AEC=∠BED,
在△ACE和△BDE中,
∴△ACE≌△BDE(AAS),∴AE=BE;
(2)∵∠AEC=45°,∠C=90°,∴∠CAE=45°,∴CE=AC=1.
【方法小結】等腰直角三角形較少單獨考查,一般與其他知識相結合,本題考查了三角形全等的判定和性質,以及等腰直角三角形的性質.
1.(2023·深圳)爬坡時坡面與水平面夾角為α,則每爬1 m耗能(1.025-cos α)J,若某人爬了1 000 m,該坡角為30°,則他耗能(參考數據:≈1.732,≈1.414)(B)
A.58 J B.159 J C.1 025 J D.1 732 J
2.(2022·深圳)已知△ABC是直角三角形,∠B=90°,AB=3,BC=5,AE=2,連接CE,以CE為底作直角三角形CDE,且CD=DE.F是AE邊上的一點,連接BD和BF,
且∠FBD=45°,則AF長為 __.
3.(2023·廣東)綜合與實踐
主題:制作無蓋正方體形紙盒.
素材:一張正方形紙板.
步驟1:如圖1,將正方形紙板的邊長三等分,畫出九個相同的小正方形,并剪去四個角上的小正方形;
步驟2:如圖2,把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒.
猜想與證明:(1)直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A1B1C1的大小關系;
(2)證明(1)中你發現的結論.
【解析】(1)∠ABC=∠A1B1C1;
(2)∵A1B1為正方形對角線,∴∠A1B1C1=45°,
設每個小正方形的邊長為1,連接AC(圖略),
則AB==,AC=BC==,
∵AC2+BC2=AB2,
∴由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°,∴∠ABC=∠A1B1C1.第二十一講　直角三角形
知識要點
1.直角三角形的性質與判定
(1)性質:①直角三角形的兩個銳角__ __
②在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的__ __
③在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的__ __
(2)判定:①定義法:有一個角是__ __的三角形
②兩個內角__ __的三角形
對點練習
1.(1)已知:在一個直角三角形中30°角所對的直角邊為3 cm,則斜邊長為__ __ __.
(2)直角三角形斜邊上的中線長為5 cm,則斜邊長為__ __cm.
知識要點
2.勾股定理及逆定理
(1)勾股定理:如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么__ __
(2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長a,b,c滿足__ __,那么這個三角形是直角三角形
對點練習
2.(教材再開發·人教八下P28T1改編)若一個直角三角形的兩邊長分別是4 cm,
3 cm,則第三條邊長是__ _cm.
考點　 直角三角形的性質與判定
【例1】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是△ABC的高,若∠B=20°,則∠DAC=( )
A.90° B.20° C.45° D.70°
【方法小結】直角三角形的性質一般會與其他知識點結合,本題考查了直角三角形的性質和余角的性質,屬于基礎題,也是常考題.
【例2】如圖,一只正方體箱子沿著斜面CD向上運動,∠C=30°,箱高AB=1米,當BC=2米時,點A離地面CE的距離是________米.( )
A.+1 B.+ C.+1 D.+4
【例3】(2024·安徽)如圖,在Rt△ABC中,AC=BC=2,點D在AB的延長線上,且CD=AB,則BD的長是( )
A.- B.- C.2-2 D.2-
【思路點撥】過點C作CH⊥AB于點H,由等腰直角三角形的性質可得AB,AH=BH=CH,由勾股定理可求DH的長,即可求解.
【例4】(2023·隨州)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D為AC上一點,若BD是∠ABC的平分線,則AD=__ __.
【方法小結】本題主要考查角平分線的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、解方程,解題關鍵是正確作出輔助線,利用角平分線的性質和勾股定理解決問題.
【例5】(2024·浙江)如圖,正方形ABCD由四個全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和中間一個小正方形EFGH組成,連接DE.
若AE=4,BE=3,則DE=( )
A.5 B.2 C. D.4
【例6】已知:如圖,在Rt△ABC和Rt△BAD中,AB為斜邊,AC=BD,BC,AD相交于點E.
(1)求證:AE=BE;
(2)若∠AEC=45°,AC=1,求CE的長.
【思路點撥】(1)先證明Rt△ACE≌Rt△BDE,再利用全等三角形的性質可得AE=BE;
(2)利用等腰直角三角形的性質可以知道CE=AC=1.
【方法小結】等腰直角三角形較少單獨考查,一般與其他知識相結合,本題考查了三角形全等的判定和性質,以及等腰直角三角形的性質.
1.(2023·深圳)爬坡時坡面與水平面夾角為α,則每爬1 m耗能(1.025-cos α)J,若某人爬了1 000 m,該坡角為30°,則他耗能(參考數據:≈1.732,≈1.414)( )
A.58 J B.159 J C.1 025 J D.1 732 J
2.(2022·深圳)已知△ABC是直角三角形,∠B=90°,AB=3,BC=5,AE=2,連接CE,以CE為底作直角三角形CDE,且CD=DE.F是AE邊上的一點,連接BD和BF,
且∠FBD=45°,則AF長為 __.
3.(2023·廣東)綜合與實踐
主題:制作無蓋正方體形紙盒.
素材:一張正方形紙板.
步驟1:如圖1,將正方形紙板的邊長三等分,畫出九個相同的小正方形,并剪去四個角上的小正方形;
步驟2:如圖2,把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒.
猜想與證明:(1)直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A1B1C1的大小關系;
(2)證明(1)中你發現的結論.

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