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第二十講　等腰三角形
知識要點
1.等腰三角形
(1)定義:有__ __相等的三角形
(2)性質:①軸對稱性:等腰三角形是軸對稱圖形,__ __是它的對稱軸
②定理:(i)等腰三角形的兩個底角__ __(簡稱:__ __)
(ii)等腰三角形頂角__ __、底邊上的中線和底邊上的__ __相互重合(簡稱“三線合一”)
(3)判定:如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也__ __(簡寫為“__ __”)
對點練習
1.(1)已知等腰三角形的兩邊長分別為4 cm和8 cm,則此三角形的周長為__ __cm.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)若等腰三角形有一個內角為110°,則這個等腰三角形的底角是( )
A.70° B.45° C.35° D.50°
(3)
(教材再開發·人教八上P77練習T2改編)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足為D,若BC=4,則BD=__ __.
知識要點
2.等邊三角形
(1)定義:__ __相等的三角形
(2)性質:①等邊三角形的三個內角都__ __,并且每一個角都等于__ __
②等邊三角形是軸對稱圖形,并且有__ __條對稱軸
(3)判定:①三個角都__ __的三角形
②有一個角是60°的__ __三角形
對點練習
2.如圖,在等邊△ABC中,AD⊥BC,AB=5 cm,則DC的長為 _ __.
考點一 等腰三角形的性質和判定
【例1】(1)已知a,b是等腰三角形的兩邊長,且a,b滿足+(2a+3b-13)2=0,則此等腰三角形的周長為( )
A.8 B.6或8 C.7 D.7或8
(2)已知等腰三角形的一邊長為9,另一邊長為方程x2-8x+15=0的根,則該等腰三角形的周長為__ __.
【思路點撥】題目中的等腰三角形沒有明確腰、底分別是多少,所以要進行討論,且要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形.
【例2】(2024·內江)如圖,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,則∠ACB的度數為__ __.
【例3】(2024·新疆)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若點D在直線AB上(不與點A,B重合),且∠BCD=30°,則AD的長為__ __.
【例4】如圖,在△ABC中,AC(1)已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P,連接AP,求證:∠APC=2∠B.
(2)以點B為圓心,線段AB的長為半徑畫弧,與BC邊交于點Q,連接AQ.若∠AQC=
3∠B,求∠B的度數.
【思路點撥】(1)根據線段垂直平分線的性質可知PA=PB,根據等腰三角形的性質可得∠B=∠BAP,根據三角形的外角性質即可證得∠APC=2∠B;
(2)根據題意可知BA=BQ,根據等腰三角形的性質可得∠BAQ=∠BQA,再根據三角形的內角和公式即可解答.
【例5】如圖,在△ABC中,AB=BC,由圖中的尺規作圖痕跡得到的射線BD與AC交于點E,點F為BC的中點,連接EF,若BE=AC=2,則△CEF的周長為( )
A.+1 B.+3 C.+1 D.4
【方法小結】
1.當等腰三角形的腰和底、頂角、底角不明確時,需分類討論.
2.等腰三角形的性質“等邊對等角”,是三角形中邊與角關系轉化的紐帶.當利用方程思想求角度時,等腰三角形的性質在用含未知數的代數式表示角時起到關鍵作用.
3.等腰三角形常常與線段垂直平分線的性質定理結合運用,在證明線段或角相等時可以減少證明全等的次數,提高做題效率.
考點二　 等邊三角形的性質和判定
【例6】(2024·青海)如圖,在Rt△ABC中,D是AC的中點,∠BDC=60°,AC=6,則BC的長是( )
A.3 B.6 C. D.3
【思路點撥】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得BD=CD=AD,再根據∠BDC=60°得△BCD為等邊三角形,然后根據等邊三角形的性質可得出BC的長.
【例7】(2023·甘肅)如圖,BD是等邊△ABC的邊AC上的高,以點D為圓心,DB長為半徑作弧交BC的延長線于點E,則∠DEC=( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
【例8】已知:在△ABC中,AB=AC ,D為AC的中點,DE⊥AB ,DF⊥BC ,垂足分別為點E,F,且DE=DF.求證:△ABC是等邊三角形.
【方法小結】
等邊三角形的判斷方法的選擇:
(1)若已知三邊關系,則考慮運用等邊三角形的定義進行判定;
(2)若已知三角關系,則根據“三個角都相等的三角形是等邊三角形”進行判定;
(3)若已知該三角形是等腰三角形,則可再尋找一個內角等于60°即可.
(2023·深圳)如圖,在△ABC中,AB=AC,tan B=,點D為BC上一動點,連接AD,將△ABD沿AD翻折得到△ADE,DE交AC于點G,GE則= __. 第二十講　等腰三角形
知識要點
1.等腰三角形
(1)定義:有__兩邊__相等的三角形
(2)性質:①軸對稱性:等腰三角形是軸對稱圖形,__底邊上的中線(或底邊上的高或頂角平分線)所在的直線__是它的對稱軸
②定理:(i)等腰三角形的兩個底角__相等__(簡稱:__等邊對等角__)
(ii)等腰三角形頂角__平分線__、底邊上的中線和底邊上的__高__相互重合(簡稱“三線合一”)
(3)判定:如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也__相等__(簡寫為“__等角對等邊__”)
對點練習
1.(1)已知等腰三角形的兩邊長分別為4 cm和8 cm,則此三角形的周長為__20__cm.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)若等腰三角形有一個內角為110°,則這個等腰三角形的底角是(C)
A.70° B.45° C.35° D.50°
(3)
(教材再開發·人教八上P77練習T2改編)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足為D,若BC=4,則BD=__2__.
知識要點
2.等邊三角形
(1)定義:__三邊__相等的三角形
(2)性質:①等邊三角形的三個內角都__相等__,并且每一個角都等于__60°__
②等邊三角形是軸對稱圖形,并且有__三__條對稱軸
(3)判定:①三個角都__相等__的三角形
②有一個角是60°的__等腰__三角形
對點練習
2.如圖,在等邊△ABC中,AD⊥BC,AB=5 cm,則DC的長為 __cm__.
考點一 等腰三角形的性質和判定
【例1】(1)已知a,b是等腰三角形的兩邊長,且a,b滿足+(2a+3b-13)2=0,則此等腰三角形的周長為(D)
A.8 B.6或8 C.7 D.7或8
(2)已知等腰三角形的一邊長為9,另一邊長為方程x2-8x+15=0的根,則該等腰三角形的周長為__19或21或23__.
【思路點撥】題目中的等腰三角形沒有明確腰、底分別是多少,所以要進行討論,且要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形.
【例2】(2024·內江)如圖,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,則∠ACB的度數為__100°__.
【例3】(2024·新疆)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若點D在直線AB上(不與點A,B重合),且∠BCD=30°,則AD的長為__6或12__.
【例4】如圖,在△ABC中,AC(1)已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P,連接AP,求證:∠APC=2∠B.
(2)以點B為圓心,線段AB的長為半徑畫弧,與BC邊交于點Q,連接AQ.若∠AQC=
3∠B,求∠B的度數.
【思路點撥】(1)根據線段垂直平分線的性質可知PA=PB,根據等腰三角形的性質可得∠B=∠BAP,根據三角形的外角性質即可證得∠APC=2∠B;
(2)根據題意可知BA=BQ,根據等腰三角形的性質可得∠BAQ=∠BQA,再根據三角形的內角和公式即可解答.
【解析】(1)∵線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P,
∴PA=PB,∴∠B=∠BAP,
∵∠APC=∠B+∠BAP,∴∠APC=2∠B.
(2)根據題意可知BA=BQ,∴∠BAQ=∠BQA,
∵∠AQC=3∠B,∠AQC=∠B+∠BAQ,
∴∠BQA=2∠B,
∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°,
∴5∠B=180°,∴∠B=36°.
【例5】如圖,在△ABC中,AB=BC,由圖中的尺規作圖痕跡得到的射線BD與AC交于點E,點F為BC的中點,連接EF,若BE=AC=2,則△CEF的周長為(C)
A.+1 B.+3 C.+1 D.4
【方法小結】
1.當等腰三角形的腰和底、頂角、底角不明確時,需分類討論.
2.等腰三角形的性質“等邊對等角”,是三角形中邊與角關系轉化的紐帶.當利用方程思想求角度時,等腰三角形的性質在用含未知數的代數式表示角時起到關鍵作用.
3.等腰三角形常常與線段垂直平分線的性質定理結合運用,在證明線段或角相等時可以減少證明全等的次數,提高做題效率.
考點二　 等邊三角形的性質和判定
【例6】(2024·青海)如圖,在Rt△ABC中,D是AC的中點,∠BDC=60°,AC=6,則BC的長是(A)
A.3 B.6 C. D.3
【思路點撥】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得BD=CD=AD,再根據∠BDC=60°得△BCD為等邊三角形,然后根據等邊三角形的性質可得出BC的長.
【例7】(2023·甘肅)如圖,BD是等邊△ABC的邊AC上的高,以點D為圓心,DB長為半徑作弧交BC的延長線于點E,則∠DEC=(C)
A.20° B.25° C.30° D.35°
【例8】已知:在△ABC中,AB=AC ,D為AC的中點,DE⊥AB ,DF⊥BC ,垂足分別為點E,F,且DE=DF.求證:△ABC是等邊三角形.
【證明】∵AB=AC, ∴∠B=∠C.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEA=∠DFC=90°.
∵D為AC的中點,∴DA=DC.又∵DE=DF.∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),
∴∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∴△ABC是等邊三角形.
【方法小結】
等邊三角形的判斷方法的選擇:
(1)若已知三邊關系,則考慮運用等邊三角形的定義進行判定;
(2)若已知三角關系,則根據“三個角都相等的三角形是等邊三角形”進行判定;
(3)若已知該三角形是等腰三角形,則可再尋找一個內角等于60°即可.
(2023·深圳)如圖,在△ABC中,AB=AC,tan B=,點D為BC上一動點,連接AD,將△ABD沿AD翻折得到△ADE,DE交AC于點G,GE則= __.

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