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第二十二講　銳角三角函數及解直角三角形
知識要點 對點練習
1.特殊角的三角函數值 1.(2024·揚州)計算:|π-3|+2sin 30°-(-2)0. 【解析】|π-3|+2sin 30°-(-2)0 =π-3+2×-1 =π-3.
2.直角三角形中的邊角關系 (1)三邊之間的關系:__a2+b2=c2__. (2)兩銳角之間的關系:__∠A+∠B=90°__. (3)邊角之間的關系:sin A=cos B=,sin B=cos A=,tan A=,tan B=. 2.(教材再開發·北師九下P4習題T1改編) 在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=5,BC=12,則sin A的值為 __.
3.解直角三角形的應用 (1)仰角和俯角:如圖1,在同一鉛垂面內視線和水平線間的夾角,視線在水平線__上方__的叫做仰角,在水平線__下方__的叫做俯角. (2)坡度(坡比)和坡角:如圖2,通常把坡面的鉛直高度h和__水平寬度l__之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母__i__表示,即i= __;坡面與__水平面__的夾角叫做坡角,記作α.所以i= __=tan α. (3)方向角:指北或指南的方向線與目標方向所成的小于90°的角叫做方向角. 3.(1)(教材再開發·北師九下P10習題T4改編)數學活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度.如圖,他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°,再向前70 m至D點,又測得最高點A的仰角為58°,點C,D,B在同一直線上,則該建筑物AB的高度約為(C) (精確到1 m.參考數據:sin 22°≈0.37,tan 22°≈0.40,sin 58°≈0.85,tan 58°≈1.60) A.28 m B.34 m C.37 m D.46 m (2)如圖斜坡AB的坡比為1∶2,豎直高度BC為1米,則該斜坡的水平寬度AC為__2__米.
【考點一】銳角三角函數
【例1】(2023·內江)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,且滿足a2+|c-10|+=12a-36,則sin B的值為 __.
【方法小結】此題型是常考題,銳角三角函數一般是在直角三角形中使用,考查了非負數的性質,銳角三角函數的定義及勾股定理逆定理,熟練掌握勾股定理逆定理和直角三角函數的定義,正弦=是解題的關鍵.
【例2】(2024·達州)如圖,由8個全等的菱形組成的網格中,每個小菱形的邊長均為2,∠ABD=120°,其中點A,B,C都在格點上,則tan∠BCD的值為(B)
A.2 B.2 C. D.3
【方法小結】本題考查的是銳角三角函數與勾股定理及逆定理的綜合運用,求一個角的銳角三角函數值往往要在直角三角形中進行,因此,銳角三角函數經常與勾股定理或逆定理配合使用.
【例3】(2024·內江)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,點E在DC上,將矩形ABCD沿AE折疊,點D恰好落在BC邊上的點F處,那么tan∠EFC= __.
【考點二】　解直角三角形
【例4】(2024·浙江)如圖,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC邊上的中線,
AB=10,AD=6,tan∠ACB=1.
(1)求BC的長;
(2)求sin∠DAE的值.
【解析】(1)∵AD⊥BC,AB=10,AD=6,∴BD===8;
∵tan∠ACB=1,∴CD=AD=6,∴BC=BD+CD=8+6=14;
(2)∵AE是BC邊上的中線,∴CE=BC=7,∴DE=CE-CD=7-6=1,
∵AD⊥BC,∴AE===,∴sin∠DAE===.
【考點三】　銳角三角函數的應用
仰角、俯角:
【例5】(2024·廣州模擬)無人機在實際生活中應用越來越廣泛.如圖所示,某校數學興趣小組利用無人機測量大樓的高度,無人機在空中點P處,測得地面點A的俯角為60°,測得樓頂點C處的俯角為30°,點P到點A的距離為80米,已知點A與大樓的距離AB為70米(點A,B,C,P在同一平面內).
(1)填空:∠APC=________度,∠PCB=________度;
(2)求此時無人機距離地面AB的高度;
(3)求大樓BC的高度.(結果保留根號)
【思路點撥】(1)根據平角的定義和四邊形的內角和定理即可得到結論;
(2)延長BC交PQ于點E,過點A作AD⊥PQ,垂足為D,根據題意可得:AD=BE,AB=DE=70米,BE⊥DQ,然后在Rt△ADP中,利用銳角三角函數的定義求出AD即可;
(3)根據三角函數的定義得到DP的長,從而求出PE的長,再在Rt△PEC中,利用銳角三角函數的定義求出CE的長,從而利用線段的和差關系進行計算,即可解答.
【解析】(1)由題意得,∠APC=180°-60°-30°=90°,
∵∠A=60°,∠ABC=90°,∴∠PCB=360°-90°-60°-90°=120°.
答案:90　120
(2)如圖:延長BC交PQ于點E,過點A作AD⊥PQ,垂足為D,
由題意得:AD=BE,AB=DE=70米,BE⊥DQ,
在Rt△ADP中,AP=80米,∠DPA=60°,
∴AD=AP·sin 60°=80×=40(米),
答:此時無人機距離地面AB的高度為40米;
(3)在Rt△ADP中,AP=80米,∠DPA=60°,∴DP=AP·cos 60°=80×=40(米),
∴PE=DE-DP=70-40=30(米),
在Rt△PEC中,∠EPC=30°,∴EC=PE·tan 30°=30×=10(米),
∴BC=BE-CE=AD-CE=40-10=30(米),∴大樓BC的高度為30米.
【方法小結】本題考查解直角三角形,掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提,理解兩個直角三角形之間的關系是解決問題的關鍵.
方位角:
【例6】(2024·重慶B卷)如圖,A,B,C,D分別是某公園四個景點,B在A的正東方向,D在A的正北方向,且在C的北偏西60°方向,C在A的北偏東30°方向,且在B的北偏西15°方向,AB=2千米.(參考數據:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
(1)求BC的長度(結果精確到0.1千米);
(2)甲、乙兩人從景點D出發去景點B,甲選擇的路線為D-C-B,乙選擇的路線為D-A-B.請計算說明誰選擇的路線較近
【思路點撥】(1)過B作BE⊥AC于點E,由∠DAC=30°,可得∠EAB=60°,∠EBA=30°,根據含30°的直角三角形的性質可求出AE和BE,而C在B的北偏西15°方向,可得△EBC是等腰直角三角形,從而CE=BE,進而求出BC;
(2)過C作CF⊥AD于點F,由(1)可求出AC,在Rt△ACF中,CF=AC,AF=CF,根據D在C的北偏西60°方向,可知∠DCF=30°,求出DF,及CD,比較AD+AB與CD+BC,即得答案.
【解析】(1)過B作BE⊥AC于E,如圖:
根據已知得∠DAB=90°,
∵∠DAC=30°,∴∠EAB=60°,∠EBA=30°,
∴AE=AB=1(千米),BE=AE=(千米),
∵C在B的北偏西15°方向,∴∠EBC=90°-30°-15°=45°,
∴△EBC是等腰直角三角形,
∴CE=BE=(千米),BC=BE=×=≈2.5(千米),
∴BC的長度約為2.5千米;
(2)過C作CF⊥AD于F,如圖:
由(1)知AE=1千米,CE=千米,
∴AC=AE+CE=(1+)千米.
在Rt△ACF中,CF=AC=(千米),AF=CF=(千米),
∵D在C的北偏西60°方向,∴∠DCF=30°,
∴DF==(千米),CD=2DF=(千米),
∴AD+AB=++2=≈5.15(千米);CD+BC=+≈4.03(千米),
∴CD+BC【方法小結】銳角三角函數的應用要注意:
(1)保證有直角三角形這個大前提,如果沒有直角三角形則需構造直角三角形,一般方法是作垂直;
(2)要根據給出的條件和所求問題選擇適當的三角函數進行解題.
坡角、坡度:
【例7】(2024·眉山)如圖,斜坡CD的坡度i=1∶2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹AB,當太陽光與水平面的夾角為60°時,大樹在斜坡上的影子BE長為10米,則大樹AB的高為__(4-2)__米.
1.(2024·深圳)如圖,為了測量某電子廠的高度,小明用高1.8 m的測量儀EF測得頂端A的仰角為45°,小軍在小明的前面5 m處用高1.5 m的測量儀CD測得頂端A的仰角為53°,則電子廠AB的高度為(參考數據:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈)(A)
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.22.7 m B.22.4 m C.21.2 m D.23.0 m
2.(2024·深圳)如圖,在△ABC中,AB=BC,tan B=.D為BC上一點,且滿足=,過D作DE⊥AD交AC延長線于點E,則= __.
3.(2023·廣東)2023年5月30日,神舟十六號載人飛船發射取得圓滿成功,3名航天員順利進駐中國空間站.如圖中的照片展示了中國空間站上機械臂的一種工作狀態.當兩臂AC=BC=10 m,兩臂夾角∠ACB=100°時,求A,B兩點間的距離.(結果精確到0.1 m,參考數據:sin 50°≈0.766,cos 50°≈0.643,tan 50°≈1.192)
【解析】連接AB,取AB中點D,連接CD,如圖,
∵AC=BC,點D為AB中點,
∴中線CD為等腰三角形的角平分線(三線合一),AD=BD=AB,
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=50°,在Rt△ACD中,sin∠ACD=,
∴sin 50°=,∴AD=10×sin 50°≈7.66(m),∴AB=2AD=2×7.66=15.32≈15.3(m).
答:A,B兩點間的距離大約是15.3 m.
4.(2024·廣州)2024年6月2日,嫦娥六號著陸器和上升器組合體(簡稱為“著上組合體”)成功著陸在月球背面.某校綜合實踐小組制作了一個“著上組合體”的模擬裝置,在一次試驗中,如圖,該模擬裝置在緩速下降階段從A點垂直下降到B點,再垂直下降到著陸點C,從B點測得地面D點的俯角為36.87°,AD=17米,BD=10米.
(1)求CD的長;
(2)若模擬裝置從A點以每秒2米的速度勻速下降到B點,求模擬裝置從A點下降到B點的時間.
參考數據:sin 36.87°≈0.60,cos 36.87°≈0.80,tan 36.87°≈0.75.
【解析】(1)如圖:
由題意得:AC⊥CD,BE∥CD,∴∠EBD=∠BDC=36.87°,
在Rt△BCD中,BD=10米,∴CD=BD·cos 36.87°≈10×0.80=8(米),
∴CD的長約為8米;
(2)在Rt△BCD中,BD=10米,∠BDC=36.87°,∴BC=BD·sin 36.87°≈10×0.6=6(米),
在Rt△ACD中,AD=17米,CD=8米,∴AC===15(米),
∴AB=AC-BC=15-6=9(米),
∵模擬裝置從A點以每秒2米的速度勻速下降到B點,
∴模擬裝置從A點下降到B點的時間=9÷2=4.5(秒),
∴模擬裝置從A點下降到B點的時間約為4.5秒.
5.(2024·廣東)中國新能源汽車為全球應對氣候變化和綠色低碳轉型作出了巨大貢獻.為滿足新能源汽車的充電需求,某小區增設了充電站,如圖是矩形PQMN充電站的平面示意圖,矩形ABCD是其中一個停車位.經測量,∠ABQ=60°,AB=5.4 m,CE=1.6 m,GH⊥CD,GH是另一個車位的寬,所有車位的長、寬相同,按圖示并列劃定.
根據以上信息回答下列問題:(結果精確到0.1 m,參考數據≈1.73)
(1)求PQ的長;
(2)該充電站有20個停車位,求PN的長.
【解析】(1)∵四邊形PQMN是矩形,∴∠Q=∠P=90°,
在Rt△ABQ中,∠ABQ=60°,AB=5.4 m,∴AQ=AB·sin∠ABQ= m,∠QAB=30°,
∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°,
∴∠CBE=30°,∴BC== m,∴AD= m,
∵∠PAD=180°-30°-90°=60°,∴AP=AD·cos∠PAD= m,
∴PQ=AP+AQ=≈6.1 m;
(2)在Rt△BCE中,BE==3.2 m,
在Rt△ABQ中,BQ=AB·cos∠ABQ=2.7 m,∵該充電站有20個停車位,
∴QM=QB+20BE=66.7 m,∵四邊形ABCD是矩形,∴PN=QM=66.7 m.第二十二講　銳角三角函數及解直角三角形
知識要點 對點練習
1.特殊角的三角函數值 1.(2024·揚州)計算:|π-3|+2sin 30°-(-2)0.
2.直角三角形中的邊角關系 (1)三邊之間的關系:__ __. (2)兩銳角之間的關系:__ __. (3)邊角之間的關系:sin A=cos B=,sin B=cos A=,tan A=,tan B=. 2.(教材再開發·北師九下P4習題T1改編) 在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=5,BC=12,則sin A的值為 __.
3.解直角三角形的應用 (1)仰角和俯角:如圖1,在同一鉛垂面內視線和水平線間的夾角,視線在水平線__ __的叫做仰角,在水平線__ __的叫做俯角. (2)坡度(坡比)和坡角:如圖2,通常把坡面的鉛直高度h和__ __之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母__ __表示,即i= __;坡面與__ __的夾角叫做坡角,記作α.所以i= __=tan α. (3)方向角:指北或指南的方向線與目標方向所成的小于90°的角叫做方向角. 3.(1)(教材再開發·北師九下P10習題T4改編)數學活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度.如圖,他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°,再向前70 m至D點,又測得最高點A的仰角為58°,點C,D,B在同一直線上,則該建筑物AB的高度約為( ) (精確到1 m.參考數據:sin 22°≈0.37,tan 22°≈0.40,sin 58°≈0.85,tan 58°≈1.60) A.28 m B.34 m C.37 m D.46 m (2)如圖斜坡AB的坡比為1∶2,豎直高度BC為1米,則該斜坡的水平寬度AC為__ __米.
【考點一】銳角三角函數
【例1】(2023·內江)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,且滿足a2+|c-10|+=12a-36,則sin B的值為 __.
【方法小結】此題型是常考題,銳角三角函數一般是在直角三角形中使用,考查了非負數的性質,銳角三角函數的定義及勾股定理逆定理,熟練掌握勾股定理逆定理和直角三角函數的定義,正弦=是解題的關鍵.
【例2】(2024·達州)如圖,由8個全等的菱形組成的網格中,每個小菱形的邊長均為2,∠ABD=120°,其中點A,B,C都在格點上,則tan∠BCD的值為( )
A.2 B.2 C. D.3
【方法小結】本題考查的是銳角三角函數與勾股定理及逆定理的綜合運用,求一個角的銳角三角函數值往往要在直角三角形中進行,因此,銳角三角函數經常與勾股定理或逆定理配合使用.
【例3】(2024·內江)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,點E在DC上,將矩形ABCD沿AE折疊,點D恰好落在BC邊上的點F處,那么tan∠EFC= _.
【考點二】　解直角三角形
【例4】(2024·浙江)如圖,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC邊上的中線,
AB=10,AD=6,tan∠ACB=1.
(1)求BC的長;
(2)求sin∠DAE的值.
【考點三】　銳角三角函數的應用
仰角、俯角:
【例5】(2024·廣州模擬)無人機在實際生活中應用越來越廣泛.如圖所示,某校數學興趣小組利用無人機測量大樓的高度,無人機在空中點P處,測得地面點A的俯角為60°,測得樓頂點C處的俯角為30°,點P到點A的距離為80米,已知點A與大樓的距離AB為70米(點A,B,C,P在同一平面內).
(1)填空:∠APC=________度,∠PCB=________度;
(2)求此時無人機距離地面AB的高度;
(3)求大樓BC的高度.(結果保留根號)
【思路點撥】(1)根據平角的定義和四邊形的內角和定理即可得到結論;
(2)延長BC交PQ于點E,過點A作AD⊥PQ,垂足為D,根據題意可得:AD=BE,AB=DE=70米,BE⊥DQ,然后在Rt△ADP中,利用銳角三角函數的定義求出AD即可;
(3)根據三角函數的定義得到DP的長,從而求出PE的長,再在Rt△PEC中,利用銳角三角函數的定義求出CE的長,從而利用線段的和差關系進行計算,即可解答.
【方法小結】本題考查解直角三角形,掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提,理解兩個直角三角形之間的關系是解決問題的關鍵.
方位角:
【例6】(2024·重慶B卷)如圖,A,B,C,D分別是某公園四個景點,B在A的正東方向,D在A的正北方向,且在C的北偏西60°方向,C在A的北偏東30°方向,且在B的北偏西15°方向,AB=2千米.(參考數據:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
(1)求BC的長度(結果精確到0.1千米);
(2)甲、乙兩人從景點D出發去景點B,甲選擇的路線為D-C-B,乙選擇的路線為D-A-B.請計算說明誰選擇的路線較近
【思路點撥】(1)過B作BE⊥AC于點E,由∠DAC=30°,可得∠EAB=60°,∠EBA=30°,根據含30°的直角三角形的性質可求出AE和BE,而C在B的北偏西15°方向,可得△EBC是等腰直角三角形,從而CE=BE,進而求出BC;
(2)過C作CF⊥AD于點F,由(1)可求出AC,在Rt△ACF中,CF=AC,AF=CF,根據D在C的北偏西60°方向,可知∠DCF=30°,求出DF,及CD,比較AD+AB與CD+BC,即得答案.
【方法小結】銳角三角函數的應用要注意:
(1)保證有直角三角形這個大前提,如果沒有直角三角形則需構造直角三角形,一般方法是作垂直;
(2)要根據給出的條件和所求問題選擇適當的三角函數進行解題.
坡角、坡度:
【例7】(2024·眉山)如圖,斜坡CD的坡度i=1∶2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹AB,當太陽光與水平面的夾角為60°時,大樹在斜坡上的影子BE長為10米,則大樹AB的高為__ __米.
1.(2024·深圳)如圖,為了測量某電子廠的高度,小明用高1.8 m的測量儀EF測得頂端A的仰角為45°,小軍在小明的前面5 m處用高1.5 m的測量儀CD測得頂端A的仰角為53°,則電子廠AB的高度為(參考數據:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈)( )
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.22.7 m B.22.4 m C.21.2 m D.23.0 m
2.(2024·深圳)如圖,在△ABC中,AB=BC,tan B=.D為BC上一點,且滿足=,過D作DE⊥AD交AC延長線于點E,則= __.
3.(2023·廣東)2023年5月30日,神舟十六號載人飛船發射取得圓滿成功,3名航天員順利進駐中國空間站.如圖中的照片展示了中國空間站上機械臂的一種工作狀態.當兩臂AC=BC=10 m,兩臂夾角∠ACB=100°時,求A,B兩點間的距離.(結果精確到0.1 m,參考數據:sin 50°≈0.766,cos 50°≈0.643,tan 50°≈1.192)
4.(2024·廣州)2024年6月2日,嫦娥六號著陸器和上升器組合體(簡稱為“著上組合體”)成功著陸在月球背面.某校綜合實踐小組制作了一個“著上組合體”的模擬裝置,在一次試驗中,如圖,該模擬裝置在緩速下降階段從A點垂直下降到B點,再垂直下降到著陸點C,從B點測得地面D點的俯角為36.87°,AD=17米,BD=10米.
(1)求CD的長;
(2)若模擬裝置從A點以每秒2米的速度勻速下降到B點,求模擬裝置從A點下降到B點的時間.
參考數據:sin 36.87°≈0.60,cos 36.87°≈0.80,tan 36.87°≈0.75.
5.(2024·廣東)中國新能源汽車為全球應對氣候變化和綠色低碳轉型作出了巨大貢獻.為滿足新能源汽車的充電需求,某小區增設了充電站,如圖是矩形PQMN充電站的平面示意圖,矩形ABCD是其中一個停車位.經測量,∠ABQ=60°,AB=5.4 m,CE=1.6 m,GH⊥CD,GH是另一個車位的寬,所有車位的長、寬相同,按圖示并列劃定.
根據以上信息回答下列問題:(結果精確到0.1 m,參考數據≈1.73)
(1)求PQ的長;
(2)該充電站有20個停車位,求PN的長.

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