資源簡介

第十一講　一次函數
知識要點 對點練習
1.一次函數的圖象 (1)正比例函數 是經過點(0,0)和點(1,__ __)的一條直線. 一次函數 是經過點(0,__ __)和點的一條直線. (3)圖象關系 一次函數y=kx+b的圖象可由正比例函數y=kx的圖象平移得到,b>0,向__ __移動__ __個單位,b<0,向__ __移動__ __個單位. 1.(1)(教材再開發·人教八下P87練習T1改編)下列函數中,y是x的正比例函數的是( ) A.y=2x-1 B.y= C.y=2x2 D.y= (2)下列函數中,表示y是x的一次函數的是( ) A.y=kx+b B.y=2x2 C.y2=4x D.y=-2x+1 (3)在平面直角坐標系中,將正比例函數y=-2x的圖象向右平移3個單位長度得到一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象,則該一次函數的解析式為( ) A.y=-2x+3 B.y=-2x+6 C.y=-2x-3 D.y=-2x-6
2.一次函數y=kx+b(k≠0)的性質 2.(1)一次函數y=(k-3)x+2的函數值y隨x增大而減小,則k的取值范圍是( ) 　　　　　 　　　　　　　　　　 A.k>0 B.k<0 C.k>3 D.k<3 (2)一次函數y=x+1的圖象不經過( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.待定系數法求一次函數解析式 (1)正比例函數,設y=kx(求k只需一個非原點坐標); (2)一次函數,設y=kx+b(求k,b需2個點坐標). 3.(教材再開發·人教八下P90練習T2改編) (1)經過原點和點(2,1)的直線解析式為__ __. (2)已知一次函數的圖象過點(3,5)與點(2,3),則這個一次函數的解析式為__ __.
4.一次函數與一元一次方程(或不等式)的聯系 對于一次函數y=kx+b: (1)當y=0時,kx+b=0,轉化成方程; (2)當y>0時,kx+b>0,轉化成不等式; (3)當y<0時,kx+b<0,轉化成不等式. 4.(教材再開發·人教八下P96思考改編)如圖,已知一次函數y=mx+n的圖象經過點P(-2,3),則關于x的不等式mx+n<3的解集為__ __.
考點一 一次函數的定義
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
【例1】(2023·深圳期中)已知函數y=(m-1)x|m|-3是關于x的一次函數,則m的值為__ __.
【方法小結】本題主要考查了一次函數的定義,掌握一次函數y=kx+b的定義條件是:k,b為常數,k≠0,自變量次數為1,是解題關鍵.
考點二 一次函數的圖象與性質
【例2】(2023·臨沂)對于某個一次函數y=kx+b(k≠0),根據兩位同學的對話得出的結論,錯誤的是( )
A.k>0 B.kb<0 C.k+b>0 D.k=-b
【方法小結】考點“一次函數的圖象與性質”在中考中多以填空題、選擇題的形式出現,要熟練掌握和靈活運用一次函數的圖象與性質,常用排除法.
注意:(1)一次函數的圖象是直線,而且直線無限延伸,不可度量;
(2)一次函數的圖象位置與k和b的符號有關;
(3)一次函數圖象的增減性應注意比例系數k的符號.
考點三 一次函數的解析式的確定
【例3】某品牌鞋子的長度ycm與鞋子的“碼”數x之間滿足一次函數關系.若22碼鞋子的長度為16cm,44碼鞋子的長度為27cm,則38碼鞋子的長度為( )
A.23cm B.24cm C.25cm D.26cm
【思路點撥】先設出函數解析式,用待定系數法求出函數解析式,再把x=38代入求出y即可.
【方法小結】考點“一次函數的解析式的確定”,一般用待定系數法求出解析式.具體步驟是:首先設出一次函數的一般形式,然后把已知條件代入所設解析式,得到方程或方程組,解方程或方程組求出待定系數的值,從而寫出一次函數的解析式.
考點四 正比例函數與一次函數
【例4】(2023·陜西)在同一平面直角坐標系中,函數y=ax和y=x+a(a為常數,a<0)的圖象可能是( )
【方法小結】本題考查了一次函數y=kx+b(k,b為常數,k≠0,b≠0)的圖象:一次函數的圖象是一條直線,當k>0,圖象經過第一、三象限,y隨x的增大而增大;當k<0,圖象經過第二、四象限,y隨x的增大而減小;圖象與y軸的交點坐標為(0,b),當b>0時,直線交y軸于正半軸,當b<0時,直線交y軸于負半軸.
【例5】在平面直角坐標系中,點A(3,0),B(0,4).以AB為一邊在第一象限作正方形ABCD,則對角線BD所在直線的解析式為( )
A.y=-x+4 B.y=-x+4 C.y=-x+4 D.y=4
【方法小結】對一次函數的考查,主要是通過函數圖象的旋轉作為聯系,運用“函數圖象與坐標軸的交點并用幾何法求線段長”這一方法,一般用其中一個函數的解析式的特殊點,通過作輔助線,利用全等三角形的判定和性質求出另一交點的坐標,再用待定系數法求解析式;也常見于選擇題、填空題.
考點五 一次函數與方程、不等式的關系
【例6】數形結合是解決數學問題常用的思想方法.如圖,直線y=2x-1與直線y=kx+b(k≠0)相交于點P(2,3).根據圖象可知,關于x的不等式2x-1>kx+b的解集是( )
A.x<2 B.x<3 C.x>2 D.x>3
【方法小結】本題考查了一次函數與方程、不等式的關系,近幾年中考比較少出現,解題關鍵在于突破兩直線的交點坐標,結合圖象的性質便可求出答案.
【例7】(2023·武漢)我國古代數學經典著作《九章算術》記載:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步,今不善行者先行一百步,善行者追之.問幾何步及之 ”如圖是善行者與不善行者行走路程s(單位:步)關于善行者的行走時間t的函數圖象,則兩圖象交點P的縱坐標是__ __.
【思路點撥】兩條直線的交點坐標就是兩條直線的解析式構成的方程組的解.
【方法小結】本題考查了一次函數與二元一次方程(組)的綜合,近幾年中考比較少出,抓住題中方程組的解(兩個相應的一次函數圖象的交點坐標)是求出本題答案的關鍵.
考點六 一次函數的應用
【例8】已知A,B兩地相距60km,甲、乙兩人沿同一條公路從A地出發到B地,甲騎自行車勻速行駛3h到達,乙騎摩托車,比甲遲1h出發,行至30km處追上甲,停留半小時后繼續以原速行駛.他們離開A地的路程y與甲行駛時間x的函數圖象如圖所示.當乙再次追上甲時距離B地( )
A.15km B.16km C.44km D.45km
【思路點撥】根據圖象信息先求出甲、乙的速度,然后根據第二次乙追上甲時所走路程相同求出甲所用時間,再求距離B地的距離即可.
【方法小結】本題考查一次函數的應用,近年來中考常見于解答題,解題的關鍵:(1)熟練運用待定系數法求解析式;(2)解決該類問題應結合圖形,理解圖形中點的坐標代表的意義.
【例9】(2024·深圳模擬)項目化學習
項目主題:優化運輸方案
項目背景:物流業是一個新興產業,該產業是為保證社會生產和社會生活的供給,由運輸業,倉儲業,通信業等多種行業整合的結果,物流業的速度和精準就集中體現在快遞業中.近年來,物流公司使某企業節省了貨運成本.某校綜合實踐活動小組以探究“優化某企業運輸方案”為主題開展項目學習.
驅動任務:探究運輸商品和總運費之間的關系
研究步驟:
(1)收集某公司每月運往各地商品的信息;
(2)對收集的信息,用適當的方法描述;
(3)信息分析,形成結論.
數據信息:
信息1,某物流公司每月要將某企業的2 000件商品分別運往A,B,C三地,其中運往C地的件數是運往A地件數的2倍;
信息2,各地的運費如表所示:
運送地點 A地 B地 C地
運費(元/件) 40 20 30
問題解決:
(1)設運往A地的商品x(件),總運費為y(元),試寫出y與x的函數關系式;
(2)若某月計劃總運費不超過64 000元,最多可運往A地的商品為多少件
考點七 一次函數綜合
【例10】(2024·深圳模擬)如圖,在平面直角坐標系中,將 ABCD放置在第一象限,且AB∥x軸.直線y=-2x從原點出發沿x軸正方向平移,在平移過程中直線被平行四邊形截得的線段長度l與直線在x軸上平移的距離m的函數圖象如圖2所示,則 ABCD的面積為( )
A.20 B.10 C.10 D.10
【例11】(2023·蘭州)如圖,反比例函數y=(x<0)與一次函數y=-2x+m的圖象交于點A(-1,4),BC⊥y軸于點D,分別交反比例函數與一次函數的圖象于點B,C.
(1)求反比例函數y=與一次函數y=-2x+m的表達式;
(2)當OD=1時,求線段BC的長.
【思路點撥】(1)利用待定系數法即可求解;
(2)由題意可知B,C的縱坐標為1,即可求得B,C的橫坐標,從而求得BC的長.
【方法小結】考查待定系數法求解析式,要善于運用數形結合的思想方法,通過構圖和圖形的性質分析問題.要從反比例函數的性質及關鍵點入手,通過待定量表示點的坐標,根據圖形性質或圖形變換后不變的線段或勾股定理表示出其他關鍵點的坐標,進而表示線段的長度、三角形的面積等.這是解決該類問題最基本的途徑.
1.(2024·廣東)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,則一次函數y=kx+b的圖象大致是( )
2.(2023·廣東)已知一次函數y=kx+b的圖象經過點(0,1)與點(2,5),求該一次函數的表達式.
3.(2024·廣州)一個人的腳印信息往往對應著這個人某些方面的基本特征.某數學興趣小組收集了大量不同人群的身高和腳長數據,通過對數據的整理和分析,發現身高y和腳長x之間近似存在一個函數關系,部分數據如表:
腳長x(cm) … 23 24 25 26 27 28 …
身高y(cm) … 156 163 170 177 184 191 …
(1)在圖1中描出表中數據對應的點(x,y);
(2)根據表中數據,從y=ax+b(a≠0)和y=(k≠0)中選擇一個函數模型,使它能近似地反映身高和腳長的函數關系,并求出這個函數的表達式(不要求寫出x的取值范圍);
(3)如圖2,某場所發現了一個人的腳印,腳長約為25.8 cm,請根據(2)中求出的函數表達式,估計這個人的身高.第十一講　一次函數
知識要點 對點練習
1.一次函數的圖象 (1)正比例函數 是經過點(0,0)和點(1,__k__)的一條直線. (2)一次函數 是經過點(0,__b__)和點的一條直線. (3)圖象關系 一次函數y=kx+b的圖象可由正比例函數y=kx的圖象平移得到,b>0,向__上__移動__b__個單位,b<0,向__下__移動__-b__個單位. 1.(1)(教材再開發·人教八下P87練習T1改編)下列函數中,y是x的正比例函數的是(B) A.y=2x-1 B.y= C.y=2x2 D.y= (2)下列函數中,表示y是x的一次函數的是(D) A.y=kx+b B.y=2x2 C.y2=4x D.y=-2x+1 (3)在平面直角坐標系中,將正比例函數y=-2x的圖象向右平移3個單位長度得到一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象,則該一次函數的解析式為(B) A.y=-2x+3 B.y=-2x+6 C.y=-2x-3 D.y=-2x-6
2.一次函數y=kx+b(k≠0)的性質 2.(1)一次函數y=(k-3)x+2的函數值y隨x增大而減小,則k的取值范圍是(D) 　　　　　 　　　　　　　　　　 A.k>0 B.k<0 C.k>3 D.k<3 (2)一次函數y=x+1的圖象不經過(D) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.待定系數法求一次函數解析式 (1)正比例函數,設y=kx(求k只需一個非原點坐標); (2)一次函數,設y=kx+b(求k,b需2個點坐標). 3.(教材再開發·人教八下P90練習T2改編) (1)經過原點和點(2,1)的直線解析式為__y=x__. (2)已知一次函數的圖象過點(3,5)與點(2,3),則這個一次函數的解析式為__y=2x-1__.
4.一次函數與一元一次方程(或不等式)的聯系 對于一次函數y=kx+b: (1)當y=0時,kx+b=0,轉化成方程; (2)當y>0時,kx+b>0,轉化成不等式; (3)當y<0時,kx+b<0,轉化成不等式. 4.(教材再開發·人教八下P96思考改編)如圖,已知一次函數y=mx+n的圖象經過點P(-2,3),則關于x的不等式mx+n<3的解集為__x>-2__.
考點一 一次函數的定義
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
【例1】(2023·深圳期中)已知函數y=(m-1)x|m|-3是關于x的一次函數,則m的值為__-1__.
【方法小結】本題主要考查了一次函數的定義,掌握一次函數y=kx+b的定義條件是:k,b為常數,k≠0,自變量次數為1,是解題關鍵.
考點二 一次函數的圖象與性質
【例2】(2023·臨沂)對于某個一次函數y=kx+b(k≠0),根據兩位同學的對話得出的結論,錯誤的是(C)
A.k>0 B.kb<0 C.k+b>0 D.k=-b
【方法小結】考點“一次函數的圖象與性質”在中考中多以填空題、選擇題的形式出現,要熟練掌握和靈活運用一次函數的圖象與性質,常用排除法.
注意:(1)一次函數的圖象是直線,而且直線無限延伸,不可度量;
(2)一次函數的圖象位置與k和b的符號有關;
(3)一次函數圖象的增減性應注意比例系數k的符號.
考點三 一次函數的解析式的確定
【例3】某品牌鞋子的長度ycm與鞋子的“碼”數x之間滿足一次函數關系.若22碼鞋子的長度為16cm,44碼鞋子的長度為27cm,則38碼鞋子的長度為(B)
A.23cm B.24cm C.25cm D.26cm
【思路點撥】先設出函數解析式,用待定系數法求出函數解析式,再把x=38代入求出y即可.
【方法小結】考點“一次函數的解析式的確定”,一般用待定系數法求出解析式.具體步驟是:首先設出一次函數的一般形式,然后把已知條件代入所設解析式,得到方程或方程組,解方程或方程組求出待定系數的值,從而寫出一次函數的解析式.
考點四 正比例函數與一次函數
【例4】(2023·陜西)在同一平面直角坐標系中,函數y=ax和y=x+a(a為常數,a<0)的圖象可能是(D)
【方法小結】本題考查了一次函數y=kx+b(k,b為常數,k≠0,b≠0)的圖象:一次函數的圖象是一條直線,當k>0,圖象經過第一、三象限,y隨x的增大而增大;當k<0,圖象經過第二、四象限,y隨x的增大而減小;圖象與y軸的交點坐標為(0,b),當b>0時,直線交y軸于正半軸,當b<0時,直線交y軸于負半軸.
【例5】在平面直角坐標系中,點A(3,0),B(0,4).以AB為一邊在第一象限作正方形ABCD,則對角線BD所在直線的解析式為(A)
A.y=-x+4 B.y=-x+4 C.y=-x+4 D.y=4
【方法小結】對一次函數的考查,主要是通過函數圖象的旋轉作為聯系,運用“函數圖象與坐標軸的交點并用幾何法求線段長”這一方法,一般用其中一個函數的解析式的特殊點,通過作輔助線,利用全等三角形的判定和性質求出另一交點的坐標,再用待定系數法求解析式;也常見于選擇題、填空題.
考點五 一次函數與方程、不等式的關系
【例6】數形結合是解決數學問題常用的思想方法.如圖,直線y=2x-1與直線y=kx+b(k≠0)相交于點P(2,3).根據圖象可知,關于x的不等式2x-1>kx+b的解集是(C)
A.x<2 B.x<3 C.x>2 D.x>3
【方法小結】本題考查了一次函數與方程、不等式的關系,近幾年中考比較少出現,解題關鍵在于突破兩直線的交點坐標,結合圖象的性質便可求出答案.
【例7】(2023·武漢)我國古代數學經典著作《九章算術》記載:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步,今不善行者先行一百步,善行者追之.問幾何步及之 ”如圖是善行者與不善行者行走路程s(單位:步)關于善行者的行走時間t的函數圖象,則兩圖象交點P的縱坐標是__250__.
【思路點撥】兩條直線的交點坐標就是兩條直線的解析式構成的方程組的解.
【方法小結】本題考查了一次函數與二元一次方程(組)的綜合,近幾年中考比較少出,抓住題中方程組的解(兩個相應的一次函數圖象的交點坐標)是求出本題答案的關鍵.
考點六 一次函數的應用
【例8】已知A,B兩地相距60km,甲、乙兩人沿同一條公路從A地出發到B地,甲騎自行車勻速行駛3h到達,乙騎摩托車,比甲遲1h出發,行至30km處追上甲,停留半小時后繼續以原速行駛.他們離開A地的路程y與甲行駛時間x的函數圖象如圖所示.當乙再次追上甲時距離B地(A)
A.15km B.16km C.44km D.45km
【思路點撥】根據圖象信息先求出甲、乙的速度,然后根據第二次乙追上甲時所走路程相同求出甲所用時間,再求距離B地的距離即可.
【方法小結】本題考查一次函數的應用,近年來中考常見于解答題,解題的關鍵:(1)熟練運用待定系數法求解析式;(2)解決該類問題應結合圖形,理解圖形中點的坐標代表的意義.
【例9】(2024·深圳模擬)項目化學習
項目主題:優化運輸方案
項目背景:物流業是一個新興產業,該產業是為保證社會生產和社會生活的供給,由運輸業,倉儲業,通信業等多種行業整合的結果,物流業的速度和精準就集中體現在快遞業中.近年來,物流公司使某企業節省了貨運成本.某校綜合實踐活動小組以探究“優化某企業運輸方案”為主題開展項目學習.
驅動任務:探究運輸商品和總運費之間的關系
研究步驟:
(1)收集某公司每月運往各地商品的信息;
(2)對收集的信息,用適當的方法描述;
(3)信息分析,形成結論.
數據信息:
信息1,某物流公司每月要將某企業的2 000件商品分別運往A,B,C三地,其中運往C地的件數是運往A地件數的2倍;
信息2,各地的運費如表所示:
運送地點 A地 B地 C地
運費(元/件) 40 20 30
問題解決:
(1)設運往A地的商品x(件),總運費為y(元),試寫出y與x的函數關系式;
(2)若某月計劃總運費不超過64 000元,最多可運往A地的商品為多少件
【解析】(1)由題意可知,運往C地的商品2x件,運往B地的商品(2 000-3x)件,
則y=40x+20(2 000-3x)+60x=40x+40 000,
∴y與x的函數關系式為y=40x+40 000.
(2)根據題意,得y≤64 000,即40x+40 000≤64 000,
解得x≤600,
∴最多可運往A地的商品為600件.
考點七 一次函數綜合
【例10】(2024·深圳模擬)如圖,在平面直角坐標系中,將 ABCD放置在第一象限,且AB∥x軸.直線y=-2x從原點出發沿x軸正方向平移,在平移過程中直線被平行四邊形截得的線段長度l與直線在x軸上平移的距離m的函數圖象如圖2所示,則 ABCD的面積為(A)
A.20 B.10 C.10 D.10
【例11】(2023·蘭州)如圖,反比例函數y=(x<0)與一次函數y=-2x+m的圖象交于點A(-1,4),BC⊥y軸于點D,分別交反比例函數與一次函數的圖象于點B,C.
(1)求反比例函數y=與一次函數y=-2x+m的表達式;
(2)當OD=1時,求線段BC的長.
【思路點撥】(1)利用待定系數法即可求解;
(2)由題意可知B,C的縱坐標為1,即可求得B,C的橫坐標,從而求得BC的長.
【解析】(1)∵反比例函數y=(x<0)與一次函數y=-2x+m的圖象交于點A(-1,4),
∴4=,4=-2×(-1)+m,∴k=-4,m=2,
∴反比例函數的表達式為y=-,一次函數的表達式為y=-2x+2;
(2)∵BC⊥y軸于點D,∴BC∥x軸,
∵OD=1,∴點B,C的縱坐標為1,
∴B(-4,1),C(,1),
∴BC=+4=4.
【方法小結】考查待定系數法求解析式,要善于運用數形結合的思想方法,通過構圖和圖形的性質分析問題.要從反比例函數的性質及關鍵點入手,通過待定量表示點的坐標,根據圖形性質或圖形變換后不變的線段或勾股定理表示出其他關鍵點的坐標,進而表示線段的長度、三角形的面積等.這是解決該類問題最基本的途徑.
1.(2024·廣東)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,則一次函數y=kx+b的圖象大致是(B)
2.(2023·廣東)已知一次函數y=kx+b的圖象經過點(0,1)與點(2,5),求該一次函數的表達式.
【解析】將(0,1)與(2,5)代入y=kx+b得,解得,
∴一次函數的表達式為y=2x+1.
3.(2024·廣州)一個人的腳印信息往往對應著這個人某些方面的基本特征.某數學興趣小組收集了大量不同人群的身高和腳長數據,通過對數據的整理和分析,發現身高y和腳長x之間近似存在一個函數關系,部分數據如表:
腳長x(cm) … 23 24 25 26 27 28 …
身高y(cm) … 156 163 170 177 184 191 …
(1)在圖1中描出表中數據對應的點(x,y);
(2)根據表中數據,從y=ax+b(a≠0)和y=(k≠0)中選擇一個函數模型,使它能近似地反映身高和腳長的函數關系,并求出這個函數的表達式(不要求寫出x的取值范圍);
(3)如圖2,某場所發現了一個人的腳印,腳長約為25.8 cm,請根據(2)中求出的函數表達式,估計這個人的身高.
【解析】(1)描點如圖所示:
(2)∵y=(k≠0)轉化為k=xy=23×156≠24×163≠25×170≠…,
∴y與x的函數關系不可能是y=,
故選一次函數y=ax+b(a≠0),將點(23,156),(24,163)代入表達式得:
,解得,
∴一次函數表達式為y=7x-5.
(3)當x=25.8時,y=7×25.8-5=175.6(cm).
答:腳長約為25.8 cm,估計這個人的身高為175.6 cm.

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