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第十五講　函數(shù)的綜合
考點(diǎn)一　 函數(shù)與函數(shù)的綜合
(1)一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合
【例1】(2023·河南)二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象如圖所示,則一次函數(shù)y=x+b的圖象一定不經(jīng)過(guò)( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【方法小結(jié)】一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合需要綜合應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì),一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是理解題意,學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題,利用數(shù)形結(jié)合的思想,要關(guān)注特殊點(diǎn),如兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn),函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等.
(2)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合
【例2】(2023·安徽)已知反比例函數(shù)y=(k≠0)在第一象限內(nèi)的圖象與一次函數(shù)y=-x+b的圖象如圖所示,則函數(shù)y=x2-bx+k-1的圖象可能為( )
【方法小結(jié)】考點(diǎn)“一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合”在中考中多以填空題、選擇題的形式出現(xiàn),反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題,解題關(guān)鍵是熟練掌握計(jì)算法則.
(3)二次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合
【例3】(2024·自貢)一次函數(shù)y=x-2n+4,二次函數(shù)y=x2+(n-1)x-3,反比例函數(shù)y=在同一直角坐標(biāo)系中圖象如圖所示,則n的取值范圍是( )
A.n>-1 B.n>2 C.-1【方法小結(jié)】考點(diǎn)“二次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合”近年來(lái)在中考選擇題、填空題、解答題里都有出現(xiàn),重點(diǎn)掌握反比例函數(shù)與二次函數(shù)的圖象性質(zhì),掌握k對(duì)反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象的影響是解題的關(guān)鍵.
考點(diǎn)二　 函數(shù)與幾何圖形的綜合
(1)函數(shù)與三角形的綜合
【例4】(2024·遂寧)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),P,Q為拋物線上的兩點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)P,C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱,△OPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)設(shè)P的橫坐標(biāo)為m,Q的橫坐標(biāo)為m+1,試探究:△OPQ的面積S是否存在最小值,若存在,請(qǐng)求出最小值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【思路點(diǎn)撥】(1)由待定系數(shù)法即可求解;
(2)當(dāng)△OPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí),且點(diǎn)P,C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱,設(shè)Q(m,m2-2m-3),運(yùn)用勾股定理列式,即可求解;
(3)設(shè)直線PQ交x軸于點(diǎn)H,由S△OPQ=S△OHP-S△OHQ=OH×(yQ-yP),即可求解.
【方法小結(jié)】考點(diǎn)“函數(shù)與三角形的綜合”中考中多以解答題的形式出現(xiàn).注重考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系,同時(shí)也注重考查利用待定系數(shù)法設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題的能力.
(2)函數(shù)與四邊形的綜合
【例5】(2024·赤峰)如圖,正方形ABCD的頂點(diǎn)A,C在拋物線y=-x2+4上,點(diǎn)D在y軸上.若A,C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m,n(m>n>0),下列結(jié)論正確的是( )
A.m+n=1 B.m-n=1
C.mn=1 D.=1
【例6】(2023·東營(yíng))如圖,拋物線過(guò)點(diǎn)O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)),點(diǎn)C,D在拋物線上.設(shè)B(t,0),當(dāng)t=2時(shí),BC=4.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值 最大值是多少
(3)保持t=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng),向右平移拋物線,當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G,H,且直線GH平分矩形ABCD的面積時(shí),求拋物線平移的距離.
【方法小結(jié)】考點(diǎn)“函數(shù)與四邊形的綜合”,注重考查點(diǎn)的坐標(biāo)、相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義、一次函數(shù)與面積等的結(jié)合,綜合性較強(qiáng),需熟練掌握各性質(zhì)定理及做題技巧.
(3)函數(shù)與圓的綜合
【例7】(2024·宜賓)如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C(0,-4),其頂點(diǎn)為D.
(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)M,使得△BDM的周長(zhǎng)最小.若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若點(diǎn)E在以點(diǎn)P(3,0)為圓心,1為半徑的☉P上,連接AE,以AE為邊在AE的下方作等邊三角形AEF,連接BF.求BF的取值范圍.
【思路點(diǎn)撥】(1)用待定系數(shù)法求得拋物線的表達(dá)式,即可得拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)作D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D',連接BD'交y軸于M,求出點(diǎn)B的坐標(biāo)及BD長(zhǎng),可知△BDM的周長(zhǎng)最小,只需DM+BM最小,而DM=D'M,有DM+BM=D'M+BM,故當(dāng)B,M,D'共線時(shí),DM+BM最小,最小值為BD'的長(zhǎng),此時(shí)△BDM的周長(zhǎng)也最小;
(3)以AP為邊,在AP下方作等邊三角形APQ,連接PE,QF,BQ,由A(-1,0),P(3,0),△APQ是等邊三角形,可得Q的坐標(biāo),進(jìn)而證明△EAP≌△FAQ,有PE=QF,可知F的軌跡是圓,當(dāng)F在線段QB上時(shí),BF最小;當(dāng)Q在線段BF上時(shí),BF最大.
【方法小結(jié)】考點(diǎn)“函數(shù)與圓的綜合”多以解答題的形式出現(xiàn).著重考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用,涉及三角形相似、解直角三角形、圓的基本性質(zhì)等,有些問(wèn)題要注意分類求解,避免遺漏.
1.(2023·廣東)綜合運(yùn)用
如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上.如圖2,將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<45°),AB交直線y=x于點(diǎn)E,BC交y軸于點(diǎn)F.
(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠COF為多少度時(shí),OE=OF;(直接寫(xiě)出結(jié)果,不要求寫(xiě)解答過(guò)程)
(2)若點(diǎn)A(4,3),求FC的長(zhǎng);
(3)如圖3,對(duì)角線AC交y軸于點(diǎn)M,交直線y=x于點(diǎn)N,連接FN.將△OFN與△OCF的面積分別記為S1與S2.設(shè)S=S1-S2,AN=n,求S關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式.
2.(2024·廣州)已知拋物線G:y=ax2-6ax-a3+2a2+1(a>0)過(guò)點(diǎn)A(x1,2)和點(diǎn)B(x2,2),直線l:y=m2x+n過(guò)點(diǎn)C(3,1),交線段AB于點(diǎn)D,記△CDA的周長(zhǎng)為C1,△CDB的周長(zhǎng)為C2,且C1=C2+2.
(1)求拋物線G的對(duì)稱軸;
(2)求m的值;
(3)直線l繞點(diǎn)C以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)t秒后(0≤t<45)得到直線l',當(dāng)l'∥AB時(shí),直線l'交拋物線G于E,F兩點(diǎn).
①求t的值;
②設(shè)△AEF的面積為S,若對(duì)于任意的a>0,均有S≥k成立,求k的最大值及此時(shí)拋物線G的解析式.
3.(2024·深圳)在綜合實(shí)踐課上,數(shù)學(xué)探究小組用兩個(gè)互相垂直的直尺制作了一個(gè)“T”形尺,并用它對(duì)二次函數(shù)圖象的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行研究.
把“T”形尺按圖1擺放,水平寬AB的中點(diǎn)為C,圖象的頂點(diǎn)為D,測(cè)得AB為m厘米時(shí),CD為n厘米.
【猜想】
(1)探究小組先對(duì)y=x2的圖象進(jìn)行多次測(cè)量,測(cè)得m與n的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表:
m 0 2 3 4 5 6 …
n 0 1 2.25 4 6.25 9 …
描點(diǎn):以表中各組對(duì)應(yīng)值為點(diǎn)的坐標(biāo),在圖2的直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn).
連線:用光滑的曲線順次連接各點(diǎn).
猜想:n與m的關(guān)系式是________.
【驗(yàn)證】
(2)探究小組又對(duì)多個(gè)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行了測(cè)量研究,發(fā)現(xiàn)測(cè)得的n與m也存在類似的關(guān)系式,并針對(duì)二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a>0)的情況進(jìn)行了推理驗(yàn)證.請(qǐng)從下表中任選一種方法(在“□”內(nèi)打“√”)并補(bǔ)全其推理過(guò)程;(根據(jù)需要,選用字母a,m,n,h,k表示答案)
□方法1 □方法2
如圖3,平移二次函數(shù)圖象,使得頂點(diǎn)D移到原點(diǎn)O的位置,則: A'B'=AB=m,C'O=CD=n, C'B'==, 所以點(diǎn)B'的坐標(biāo)為_(kāi)_________; 將點(diǎn)B'的坐標(biāo)代入y=ax2, 得到n與m的關(guān)系式是__________. 如圖4,頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)加個(gè)單位,縱坐標(biāo)加n個(gè)單位得到點(diǎn)B的坐標(biāo),所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_________; 將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=a(x-h)2+k, 得到n與m的關(guān)系式是__________.
【應(yīng)用】
(3)已知AB∥x軸且AB=4,兩個(gè)二次函數(shù)y=2(x-h)2+k和y=a(x-h)2+d的圖象都經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn).當(dāng)兩個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)之間的距離為10時(shí),求a的值.第十五講　函數(shù)的綜合
考點(diǎn)一　 函數(shù)與函數(shù)的綜合
(1)一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合
【例1】(2023·河南)二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象如圖所示,則一次函數(shù)y=x+b的圖象一定不經(jīng)過(guò)(D)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【方法小結(jié)】一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合需要綜合應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì),一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是理解題意,學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題,利用數(shù)形結(jié)合的思想,要關(guān)注特殊點(diǎn),如兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn),函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等.
(2)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合
【例2】(2023·安徽)已知反比例函數(shù)y=(k≠0)在第一象限內(nèi)的圖象與一次函數(shù)y=-x+b的圖象如圖所示,則函數(shù)y=x2-bx+k-1的圖象可能為(A)
【方法小結(jié)】考點(diǎn)“一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合”在中考中多以填空題、選擇題的形式出現(xiàn),反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題,解題關(guān)鍵是熟練掌握計(jì)算法則.
(3)二次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合
【例3】(2024·自貢)一次函數(shù)y=x-2n+4,二次函數(shù)y=x2+(n-1)x-3,反比例函數(shù)y=在同一直角坐標(biāo)系中圖象如圖所示,則n的取值范圍是(C)
A.n>-1 B.n>2 C.-1【方法小結(jié)】考點(diǎn)“二次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合”近年來(lái)在中考選擇題、填空題、解答題里都有出現(xiàn),重點(diǎn)掌握反比例函數(shù)與二次函數(shù)的圖象性質(zhì),掌握k對(duì)反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象的影響是解題的關(guān)鍵.
考點(diǎn)二　 函數(shù)與幾何圖形的綜合
(1)函數(shù)與三角形的綜合
【例4】(2024·遂寧)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),P,Q為拋物線上的兩點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)P,C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱,△OPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)設(shè)P的橫坐標(biāo)為m,Q的橫坐標(biāo)為m+1,試探究:△OPQ的面積S是否存在最小值,若存在,請(qǐng)求出最小值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【思路點(diǎn)撥】(1)由待定系數(shù)法即可求解;
(2)當(dāng)△OPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí),且點(diǎn)P,C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱,設(shè)Q(m,m2-2m-3),運(yùn)用勾股定理列式,即可求解;
(3)設(shè)直線PQ交x軸于點(diǎn)H,由S△OPQ=S△OHP-S△OHQ=OH×(yQ-yP),即可求解.
【解析】(1)由題意得:y=a(x+1)(x-3),且過(guò)點(diǎn)C(0,-3),則-3a=-3,解得a=1,
∴拋物線的表達(dá)式為y=x2-2x-3;
(2)△OPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí),拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,
∵點(diǎn)P,C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱,∴點(diǎn)P(2,-3),
設(shè)Q(t,t2-2t-3),
∵∠OPQ=90°,
∴OP2+PQ2=OQ2,
∴[(0-2)2+(0+3)2]+[(2-t)2+(-3-t2+2t+3)2]=(0-t)2+(0-t2+2t+3)2,
整理得:3t2-8t+4=0,
解得t1=,t2=2(舍去),
∴t=,
∴Q(,-);
(3)存在,理由:
設(shè)點(diǎn)P(m,m2-2m-3),則點(diǎn)Q(m+1,(m+1)2-2(m+1)-3),設(shè)直線PQ交x軸于點(diǎn)H,
由點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)得,直線PQ的表達(dá)式為:
y=(2m-1)(x-m)+m2-2m-3,
令y=0,則x=+m,
則OH=+m,
則S=S△OHP-S△OHQ=OH×(yQ-yP)=×(+m)[(m+1)2-2(m+1)-3-m2+2m+3]
=(m2+m+3)=(m+)2+≥,
即當(dāng)m=-時(shí),S有最小值,最小值為.
【方法小結(jié)】考點(diǎn)“函數(shù)與三角形的綜合”中考中多以解答題的形式出現(xiàn).注重考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系,同時(shí)也注重考查利用待定系數(shù)法設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題的能力.
(2)函數(shù)與四邊形的綜合
【例5】(2024·赤峰)如圖,正方形ABCD的頂點(diǎn)A,C在拋物線y=-x2+4上,點(diǎn)D在y軸上.若A,C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m,n(m>n>0),下列結(jié)論正確的是(B)
A.m+n=1 B.m-n=1
C.mn=1 D.=1
【例6】(2023·東營(yíng))如圖,拋物線過(guò)點(diǎn)O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)),點(diǎn)C,D在拋物線上.設(shè)B(t,0),當(dāng)t=2時(shí),BC=4.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值 最大值是多少
(3)保持t=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng),向右平移拋物線,當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G,H,且直線GH平分矩形ABCD的面積時(shí),求拋物線平移的距離.
【解析】(1)設(shè)拋物線解析式為y=ax(x-10),∵當(dāng)t=2時(shí),BC=4,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,-4),
∴將點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式得2a(2-10)=-4,
解得a=,∴拋物線的函數(shù)解析式為y=x2-x.
(2)由拋物線的對(duì)稱性得AE=OB=t,∴AB=10-2t,
當(dāng)x=t時(shí),BC=t2-t,
∴矩形ABCD的周長(zhǎng)=2(AB+BC)=2[(10-2t)+ (-t2+t) ]=-t2+t+20
=-(t-1)2+,
∵-<0,∴當(dāng)t=1時(shí),矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值,最大值為.
(3)如圖,連接AC,BD相交于點(diǎn)P,連接OC,取OC的中點(diǎn)Q,連接PQ,
∵直線GH平分矩形ABCD的面積,∴直線GH過(guò)點(diǎn)P,
由平移的性質(zhì)可知,四邊形OCHG是平行四邊形,∴PQ=CH,
∵四邊形ABCD是矩形,∴點(diǎn)P是AC的中點(diǎn),
∴PQ=OA,∴拋物線平移的距離是4個(gè)單位長(zhǎng)度,
所以拋物線向右平移的距離是4個(gè)單位長(zhǎng)度.
【方法小結(jié)】考點(diǎn)“函數(shù)與四邊形的綜合”,注重考查點(diǎn)的坐標(biāo)、相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義、一次函數(shù)與面積等的結(jié)合,綜合性較強(qiáng),需熟練掌握各性質(zhì)定理及做題技巧.
(3)函數(shù)與圓的綜合
【例7】(2024·宜賓)如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C(0,-4),其頂點(diǎn)為D.
(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)M,使得△BDM的周長(zhǎng)最小.若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若點(diǎn)E在以點(diǎn)P(3,0)為圓心,1為半徑的☉P上,連接AE,以AE為邊在AE的下方作等邊三角形AEF,連接BF.求BF的取值范圍.
【思路點(diǎn)撥】(1)用待定系數(shù)法求得拋物線的表達(dá)式,即可得拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)作D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D',連接BD'交y軸于M,求出點(diǎn)B的坐標(biāo)及BD長(zhǎng),可知△BDM的周長(zhǎng)最小,只需DM+BM最小,而DM=D'M,有DM+BM=D'M+BM,故當(dāng)B,M,D'共線時(shí),DM+BM最小,最小值為BD'的長(zhǎng),此時(shí)△BDM的周長(zhǎng)也最小;
(3)以AP為邊,在AP下方作等邊三角形APQ,連接PE,QF,BQ,由A(-1,0),P(3,0),△APQ是等邊三角形,可得Q的坐標(biāo),進(jìn)而證明△EAP≌△FAQ,有PE=QF,可知F的軌跡是圓,當(dāng)F在線段QB上時(shí),BF最小;當(dāng)Q在線段BF上時(shí),BF最大.
【解析】(1)把A(-1,0),C(0,-4)代入y=x2+bx+c得:,
解得,
∴拋物線的表達(dá)式為y=x2-3x-4;
∵y=x2-3x-4=(x-)2-,
∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,-);
(2)在y軸上存在一點(diǎn)M,使得△BDM的周長(zhǎng)最小,理由如下:
作D(,-)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D'(-,-),連接BD'交y軸于M,如圖:
在y=x2-3x-4中,令y=0得0=x2-3x-4,
解得x=4或x=-1,
∴B(4,0),
∴BD==,
∴△BDM的周長(zhǎng)最小,只需DM+BM最小,
∵DM=D'M,
∴DM+BM=D'M+BM,
∴當(dāng)B,M,D'共線時(shí),DM+BM最小,最小值為BD'的長(zhǎng),此時(shí)△BDM的周長(zhǎng)也最小;
由B(4,0),D'(-,-)得直線BD'的表達(dá)式為y=x-,
令x=0得y=-,
∴M的坐標(biāo)為(0,-);
(3)以AP為邊,在AP下方作等邊三角形APQ,連接PE,QF,BQ,如圖:
由A(-1,0),P(3,0),△APQ是等邊三角形,可得Q的坐標(biāo)為(1,-2),
∵△AEF,△APQ是等邊三角形,
∴AE=AF,AP=AQ,∠EAF=∠PAQ=60°,
∴∠EAP=∠FAQ,
∴△EAP≌△FAQ(SAS),
∴PE=QF=1,
∴F的軌跡是以Q(1,-2)為圓心,1為半徑的圓,
∵B(4,0),∴BQ=,
當(dāng)F在線段QB上時(shí),BF最小,此時(shí)BF=BQ-QF=-1;
當(dāng)Q在線段BF上時(shí),BF最大,此時(shí)BF=BQ+QF=+1;
∴BF的范圍是-1≤BF≤+1.
【方法小結(jié)】考點(diǎn)“函數(shù)與圓的綜合”多以解答題的形式出現(xiàn).著重考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用,涉及三角形相似、解直角三角形、圓的基本性質(zhì)等,有些問(wèn)題要注意分類求解,避免遺漏.
1.(2023·廣東)綜合運(yùn)用
如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上.如圖2,將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<45°),AB交直線y=x于點(diǎn)E,BC交y軸于點(diǎn)F.
(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠COF為多少度時(shí),OE=OF;(直接寫(xiě)出結(jié)果,不要求寫(xiě)解答過(guò)程)
(2)若點(diǎn)A(4,3),求FC的長(zhǎng);
(3)如圖3,對(duì)角線AC交y軸于點(diǎn)M,交直線y=x于點(diǎn)N,連接FN.將△OFN與△OCF的面積分別記為S1與S2.設(shè)S=S1-S2,AN=n,求S關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式.
【解析】(1)當(dāng)OE=OF時(shí),在Rt△AOE和Rt△COF中,,
∴Rt△AOE≌Rt△COF(HL),∴∠AOE=∠COF(即∠AOE=旋轉(zhuǎn)角),
∴2∠AOE=45°,∴∠COF=∠AOE=22.5°,
∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為22.5°時(shí),OE=OF;
(2)過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G,則有AG=3,OG=4,
∴OA==5,∵四邊形OABC是正方形,
∴OC=OA=5,∠AOC=∠C=90°,
又∵∠COF+∠FOA=90°,∠AOG+∠FOA=90°,
∴∠COF=∠GOA,
∴Rt△AOG∽R(shí)t△FOC,
∴=,∴FC===,
∴FC的長(zhǎng)為;
(3)過(guò)點(diǎn)N作直線PQ⊥BC于點(diǎn)P,交OA于點(diǎn)Q,
∵四邊形OABC是正方形,
∴∠BCA=∠OCA=45°,BC∥OA,
又∵∠FON=45°,∴∠FCN=∠FON=45°,
∴F,C,O,N四點(diǎn)共圓,
∴∠OFN=∠OCA=45°,∴∠OFN=∠FON=45°,
∴△FON是等腰直角三角形,
∴FN=NO,∠FNO=90°,∴∠FNP+∠ONQ=90°,
又∵∠NOQ+∠ONQ=90°,∴∠NOQ=∠FNP,
∴△NOQ≌△FNP(AAS),∴NP=OQ,FP=NQ,
∵四邊形OQPC是矩形,∴CP=OQ,OC=PQ,
∴S1=S△OFN=ON2=(OQ2+NQ2)=(PN2+NQ2)=PN2+NQ2,
S2=S△C OF=CF·OC=(PC-PF)·(PN+NQ)=(PN-NQ)·(PN+NQ)
=(PN2-NQ2)=PN2-NQ2,
∴S=S1-S2=NQ2,又∵△ANQ為等腰直角三角形,
∴NQ=AN=n,∴S=NQ2=(n)2=n2,
∴S關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式為S=n2.
2.(2024·廣州)已知拋物線G:y=ax2-6ax-a3+2a2+1(a>0)過(guò)點(diǎn)A(x1,2)和點(diǎn)B(x2,2),直線l:y=m2x+n過(guò)點(diǎn)C(3,1),交線段AB于點(diǎn)D,記△CDA的周長(zhǎng)為C1,△CDB的周長(zhǎng)為C2,且C1=C2+2.
(1)求拋物線G的對(duì)稱軸;
(2)求m的值;
(3)直線l繞點(diǎn)C以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)t秒后(0≤t<45)得到直線l',當(dāng)l'∥AB時(shí),直線l'交拋物線G于E,F兩點(diǎn).
①求t的值;
②設(shè)△AEF的面積為S,若對(duì)于任意的a>0,均有S≥k成立,求k的最大值及此時(shí)拋物線G的解析式.
【解析】(1)由拋物線的表達(dá)式知,其對(duì)稱軸為直線x=-=-=3;
(2)直線l:y=m2x+n過(guò)點(diǎn)C(3,1),則該直線的表達(dá)式為:y=m2(x-3)+1,
當(dāng)y=2時(shí),2=m2(x-3)+1,則xD=+3,
∵C1=C2+2,即AC+CD+AD=BC+CD+BD+2,
其中,AC=BC,上式變?yōu)?AD=BD+2,
即2xD=xA+xB+2,
而函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=3,由函數(shù)的對(duì)稱性知,xA+xB=2×3=6,
即2xD=xA+xB+2=8,
則xD=4=+3,
解得m=±1;
(3)①當(dāng)m=±1時(shí),一次函數(shù)的表達(dá)式為:y=m2(x-3)+1=x-2,
該直線和x軸的夾角為45°,
則t=45÷3=14(秒);
②由①知,l'為:y=1,如圖:
則S=EF×(yA-yE)=EF,
聯(lián)立直線l'和拋物線的表達(dá)式得:ax2-6ax-a3+2a2+1=1,
即x2-6x-a2+2a=0,
設(shè)點(diǎn)E,F的橫坐標(biāo)為p,q,則p+q=6,pq=-a2+2a,
則EF2=(p-q)2=(p+q)2-4pq=4(a2-2a+9),
則S=EF==≥2,
當(dāng)a=1時(shí),等號(hào)成立,
即當(dāng)a=1時(shí),k有最大值為2,
則拋物線的表達(dá)式為y=x2-6x+2.
3.(2024·深圳)在綜合實(shí)踐課上,數(shù)學(xué)探究小組用兩個(gè)互相垂直的直尺制作了一個(gè)“T”形尺,并用它對(duì)二次函數(shù)圖象的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行研究.
把“T”形尺按圖1擺放,水平寬AB的中點(diǎn)為C,圖象的頂點(diǎn)為D,測(cè)得AB為m厘米時(shí),CD為n厘米.
【猜想】
(1)探究小組先對(duì)y=x2的圖象進(jìn)行多次測(cè)量,測(cè)得m與n的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表:
m 0 2 3 4 5 6 …
n 0 1 2.25 4 6.25 9 …
描點(diǎn):以表中各組對(duì)應(yīng)值為點(diǎn)的坐標(biāo),在圖2的直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn).
連線:用光滑的曲線順次連接各點(diǎn).
猜想:n與m的關(guān)系式是________.
【驗(yàn)證】
(2)探究小組又對(duì)多個(gè)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行了測(cè)量研究,發(fā)現(xiàn)測(cè)得的n與m也存在類似的關(guān)系式,并針對(duì)二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a>0)的情況進(jìn)行了推理驗(yàn)證.請(qǐng)從下表中任選一種方法(在“□”內(nèi)打“√”)并補(bǔ)全其推理過(guò)程;(根據(jù)需要,選用字母a,m,n,h,k表示答案)
□方法1 □方法2
如圖3,平移二次函數(shù)圖象,使得頂點(diǎn)D移到原點(diǎn)O的位置,則: A'B'=AB=m,C'O=CD=n, C'B'==, 所以點(diǎn)B'的坐標(biāo)為_(kāi)_________; 將點(diǎn)B'的坐標(biāo)代入y=ax2, 得到n與m的關(guān)系式是__________. 如圖4,頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)加個(gè)單位,縱坐標(biāo)加n個(gè)單位得到點(diǎn)B的坐標(biāo),所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_________; 將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=a(x-h)2+k, 得到n與m的關(guān)系式是__________.
【應(yīng)用】
(3)已知AB∥x軸且AB=4,兩個(gè)二次函數(shù)y=2(x-h)2+k和y=a(x-h)2+d的圖象都經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn).當(dāng)兩個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)之間的距離為10時(shí),求a的值.
【解析】(1)描點(diǎn)連線繪制函數(shù)圖象如圖:
由題意得,點(diǎn)B(m,n),
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得:n=(m)2=m2;
答案:n=m2
(2)方法1:
點(diǎn)B'(m,n),
將點(diǎn)B'的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得:n=am2.
答案: (m,n)　n=am2
方法2:
點(diǎn)B(h+m,k+n),
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得:k+n=a(h+-h)2+k,
解得:n=am2.
答案: (h+m,k+n)　n=am2
(3)當(dāng)a>0時(shí),此時(shí)拋物線開(kāi)口向上,
由(2)結(jié)論知a=,n=,
∵y=2(x-h)2+k,
∴n1==8.
∵兩個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)之間的距離為10,
∴n2=18,
∴a===;
當(dāng)a<0時(shí),此時(shí)拋物線開(kāi)口向下,|a|=,
同理可得:n2=2,此時(shí)a=-.
綜上,a=或a=-.

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