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第十四講　二次函數的應用
考點一　 用二次函數解決拋物線最值問題
【例1】(2024·濱州)春節期間,全國各影院上映多部影片,某影院每天運營成本為2 000元,該影院每天售出的電影票數量y(單位:張)與售價x(單位:元/張)之間滿足一次函數關系(30≤x≤80,且x是整數),部分數據如下表所示:
電影票售價x(元/張) 40 50
售出電影票數量y(張) 164 124
(1)請求出y與x之間的函數關系式;
(2)設該影院每天的利潤(利潤=票房收入-運營成本)為w(單位:元),求w與x之間的函數關系式;
(3)該影院將電影票售價x定為多少時,每天獲利最大 最大利潤是多少
【思路點撥】(1)根據題意和表格中的數據,可以計算出y與x之間的函數關系式;
(2)根據利潤=票房收入-運營成本和(1)中的結果,可以寫出w與x之間的函數關系式;
(3)將(2)中的函數關系式化為頂點式,再根據二次函數的性質和x的取值范圍,可以求得該影院將電影票售價x定為多少時,每天獲利最大,最大利潤是多少.
【方法小結】利用二次函數的性質解決許多生活和生產實際中的最大和最小值的問題的一般方法:
(1)列出二次函數的解析式,列解析式時,要根據自變量的實際意義,確定自變量的取值范圍;
(2)在自變量取值范圍內,運用公式法或配方法求出二次函數的最大值或最小值.
【例2】(2023·宜昌)如圖,一名學生推鉛球,鉛球行進高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)之間的關系是y=-(x-10)(x+4),則鉛球推出的距離OA=__ __m.
考點二　 應用二次函數性質,解決最大面積問題
【例3】某農場擬建一間矩形種牛飼養室,飼養室的一面靠現有墻(墻足夠長),已知計劃中的建筑材料可建圍墻的總長為50 m.設飼養室長為x(m),占地面積為y(m2).
(1)如圖1,問飼養室長x為多少時,占地面積y最大.
(2)如圖2,現要求在圖中所示位置留2 m寬的門,且仍使飼養室的占地面積最大.小敏說:“只要飼養室長比(1)中的長多2 m就行了.”請你通過計算,判斷小敏的說法是否正確.
【思路點撥】(1)根據題意用含x的代數式表示出飼養室的寬,由矩形的面積=長×寬計算,再根據二次函數的性質分析即可;
(2)根據題意用含x的代數式表示出飼養室的寬,由矩形的面積=長×寬計算,再根據二次函數的性質分析即可.
【方法小結】此類題主要是由實際問題列二次函數關系式以及求二次函數的最值問題,同時也利用了矩形的性質,解題時首先正確了解題意,然后根據題意列出方程即可解決問題.
1.(2023·深圳)蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結構,它的出現使得人們可以吃到反季節蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹結構或者鋼結構的骨架,上面覆上一層或多層保溫塑料膜,這樣就形成了一個溫室空間.
如圖2,某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線AED構成,其中AB=3 m,BC=4 m,取BC中點O,過點O作線段BC的垂直平分線OE交拋物線AED于點E,若以O點為原點,BC所在直線為x軸,OE所在直線為y軸建立如圖所示平面直角坐標系.
請回答下列問題:
(1)如圖2,拋物線AED的頂點E(0,4),求拋物線的表達式;
(2)如圖3,為了保證蔬菜大棚的通風性,該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置LFGT,SMNR,若FL=NR=0.75 m,求兩個正方形裝置的間距GM的長;
(3)如圖4,在某一時刻,太陽光線透過A點恰好照射到C點,此時大棚截面的陰影為BK,求BK的長.
2.(2024·廣東)廣東省全力實施“百縣千鎮萬村高質量發展工程”,2023年農產品進出口總額居全國首位,其中荔枝鮮果遠銷歐美.某果商以每噸2萬元的價格收購早熟荔枝,銷往國外,若按每噸5萬元出售,平均每天可售出100噸.市場調查反映:如果每噸降價1萬元,每天銷售量相應增加50噸.該果商如何定價才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大 并求出其最大值.第十四講　二次函數的應用
考點一　 用二次函數解決拋物線最值問題
【例1】(2024·濱州)春節期間,全國各影院上映多部影片,某影院每天運營成本為2 000元,該影院每天售出的電影票數量y(單位:張)與售價x(單位:元/張)之間滿足一次函數關系(30≤x≤80,且x是整數),部分數據如下表所示:
電影票售價x(元/張) 40 50
售出電影票數量y(張) 164 124
(1)請求出y與x之間的函數關系式;
(2)設該影院每天的利潤(利潤=票房收入-運營成本)為w(單位:元),求w與x之間的函數關系式;
(3)該影院將電影票售價x定為多少時,每天獲利最大 最大利潤是多少
【思路點撥】(1)根據題意和表格中的數據,可以計算出y與x之間的函數關系式;
(2)根據利潤=票房收入-運營成本和(1)中的結果,可以寫出w與x之間的函數關系式;
(3)將(2)中的函數關系式化為頂點式,再根據二次函數的性質和x的取值范圍,可以求得該影院將電影票售價x定為多少時,每天獲利最大,最大利潤是多少.
【解析】(1)設y與x之間的函數關系式是y=kx+b,
由表格可得,,
解得,
即y與x之間的函數關系式是y=-4x+324(30≤x≤80,且x是整數);
(2)由題意可得,
w=x(-4x+324)-2 000=-4x2+324x-2 000,
即w與x之間的函數關系式是w=-4x2+324x-2 000(30≤x≤80);
(3)由(2)知:w=-4x2+324x-2 000=-4(x-)2+4 561,
∵-4<0,拋物線的對稱軸是直線x=,
∴拋物線開口向下,且當x<時,w隨x的增大而增大;
當x>時,w隨x的增大而減小,
∵30≤x≤80,且x是整數,
∴當x=40或41時,w取得最大值,此時w=4 560,
答:該影院將電影票售價x定為40元或41元時,每天獲利最大,最大利潤是4 560元.
【方法小結】利用二次函數的性質解決許多生活和生產實際中的最大和最小值的問題的一般方法:
(1)列出二次函數的解析式,列解析式時,要根據自變量的實際意義,確定自變量的取值范圍;
(2)在自變量取值范圍內,運用公式法或配方法求出二次函數的最大值或最小值.
【例2】(2023·宜昌)如圖,一名學生推鉛球,鉛球行進高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)之間的關系是y=-(x-10)(x+4),則鉛球推出的距離OA=__10__m.
考點二　 應用二次函數性質,解決最大面積問題
【例3】某農場擬建一間矩形種牛飼養室,飼養室的一面靠現有墻(墻足夠長),已知計劃中的建筑材料可建圍墻的總長為50 m.設飼養室長為x(m),占地面積為y(m2).
(1)如圖1,問飼養室長x為多少時,占地面積y最大.
(2)如圖2,現要求在圖中所示位置留2 m寬的門,且仍使飼養室的占地面積最大.小敏說:“只要飼養室長比(1)中的長多2 m就行了.”請你通過計算,判斷小敏的說法是否正確.
【思路點撥】(1)根據題意用含x的代數式表示出飼養室的寬,由矩形的面積=長×寬計算,再根據二次函數的性質分析即可;
(2)根據題意用含x的代數式表示出飼養室的寬,由矩形的面積=長×寬計算,再根據二次函數的性質分析即可.
【解析】(1)∵y=x·=-(x-25)2+,
∴當x=25時,占地面積最大,即飼養室長x為25 m時,占地面積y最大;
(2)∵y=x·=-(x-26)2+338,
∴當x=26時,占地面積最大,
即飼養室長x為26 m時,占地面積y最大;
∵26-25=1≠2,∴小敏的說法不正確.
【方法小結】此類題主要是由實際問題列二次函數關系式以及求二次函數的最值問題,同時也利用了矩形的性質,解題時首先正確了解題意,然后根據題意列出方程即可解決問題.
1.(2023·深圳)蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結構,它的出現使得人們可以吃到反季節蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹結構或者鋼結構的骨架,上面覆上一層或多層保溫塑料膜,這樣就形成了一個溫室空間.
如圖2,某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線AED構成,其中AB=3 m,BC=4 m,取BC中點O,過點O作線段BC的垂直平分線OE交拋物線AED于點E,若以O點為原點,BC所在直線為x軸,OE所在直線為y軸建立如圖所示平面直角坐標系.
請回答下列問題:
(1)如圖2,拋物線AED的頂點E(0,4),求拋物線的表達式;
(2)如圖3,為了保證蔬菜大棚的通風性,該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置LFGT,SMNR,若FL=NR=0.75 m,求兩個正方形裝置的間距GM的長;
(3)如圖4,在某一時刻,太陽光線透過A點恰好照射到C點,此時大棚截面的陰影為BK,求BK的長.
【解析】(1)∵AB=3,AD=4,E(0,4),∴A(-2,3),B(-2,0),C(2,0),D(2,3),
設拋物線表達式為y=ax2+bx+c,將A,D,E三點坐標代入表達式,
得,解得.
∴拋物線的表達式為y=-x2+4.
(2)設G(-t,3),則L(-t-,3+),
∴3+=-(-t-)2+4,
解得t=(負值舍去),∴GM=2t=.
答:兩個正方形裝置的間距GM的長為.
(3)取最右側光線與拋物線切點為F,
設直線AC的表達式為y=kx+b,
∴,解得,
∴直線AC的表達式為y=-x+,∵FK∥AC,
設lFK:y=-x+m,∴,得-x2+x+4-m=0,
∴Δ=()2-4×(-)(4-m)=0,
解得m=,∴直線FK的表達式為y=-x+,
令y=0,得x=,∴BK=+2=.
答:BK的長為.
2.(2024·廣東)廣東省全力實施“百縣千鎮萬村高質量發展工程”,2023年農產品進出口總額居全國首位,其中荔枝鮮果遠銷歐美.某果商以每噸2萬元的價格收購早熟荔枝,銷往國外,若按每噸5萬元出售,平均每天可售出100噸.市場調查反映:如果每噸降價1萬元,每天銷售量相應增加50噸.該果商如何定價才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大 并求出其最大值.
【解析】設該果商定價x萬元時每天的“利潤”為w萬元,
w=(x-2)[100+50(5-x)]
=-50(x-4.5)2+312.5,
∵-50<0,
∴當x=4.5時,w有最大值,最大值為312.5,
答:該果商定價為4.5萬元時才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大,其最大值為312.5萬元.

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