資源簡介

第十三講　二次函數的圖象與性質
知識要點
1.二次函數的概念及其表達式
(1)二次函數的概念:形如__y=ax2+bx+c__(a,b,c是常數,a≠0)的函數.
(2)二次函數的表達式:
①一般式:__y=ax2+bx+c(a≠0)__.
②頂點式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其頂點坐標是__(h,k)__.
③交點式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是二次函數圖象與x軸交點的橫坐標.
對點練習
1.(1)(教材再開發·北師九下P30隨堂練習T1改編)下列函數表達式中,一定為二次函數的是(C)
A.y=2x-5　　 B.y=ax2+bx+c
C.h= D.y=x2+
(2)(教材再開發·北師九下P43習題T1改編)
已知二次函數的圖象的頂點是(1,-2),且經過點(0,-5),則二次函數的解析式是(C)
A.y=-3(x+1)2-2　 B.y=3(x+1)2-2
C.y=-3(x-1)2-2 D.y=3(x-1)2-2
(3)二次函數解析式為y=(m+1)+4x+7,則m的取值是__2__.
知識要點
2.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質
(1)當a>0時:
①開口方向:向上.
②頂點坐標:.
③對稱軸:直線__x=-__.
④增減性:當x<-時,y隨x的增大而__減小__;
當x>-時,y隨x的增大而__增大__.
⑤最值:當x=-時,y最小值= __.
(2)當a<0時:
①開口方向:向下.
②頂點坐標:.
③對稱軸:直線__x=-__.
④增減性:當x<-時,y隨x的增大而__增大__;
當x>-時,y隨x的增大而__減小__.
⑤最值:當x=-時,y最大值= __.
對點練習
2.(1)如圖,二次函數y=ax2+x-6的圖象與x軸交于A(-3,0),B兩點,下列說法正確的是(C)
A.拋物線的對稱軸為直線x=1
B.拋物線的頂點坐標為(-,-6)
C.A,B兩點之間的距離為5
D.當x<-1時,y的值隨x值的增大而增大
(2)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數)關于直線x=1對稱.下列五個結論:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④am2+bm>a+b;⑤3a+c>0.其中正確的有(B)
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
(3)(教材再開發·人教九上P47T5改編)
已知二次函數y=ax2-2ax+3(其中x是自變量),當0A.0B.a<-1或a>3
C.-3D.-1≤a<0或0考點一　二次函數的概念
【例1】下列關系式中,屬于二次函數的是(x為自變量)(A)
A.y=x2 B.y= C.y= D.y=ax2+bx+c
【方法小結】本題考查了二次函數,注意二次項的系數不能為零.
考點二　確定二次函數的解析式
【例2】將二次函數y=x2-4x-1化為y=(x-h)2+k的形式,結果為(D)
A.y=(x+2)2+5 B.y=(x+2)2-5 C.y=(x-2)2+5 D.y=(x-2)2-5
【方法小結】二次函數的三種形式:
(1)一般式y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0);
(2)頂點式y=a(x-h)2+k(a≠0),頂點坐標為(h,k);
(3)交點式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2為拋物線與x軸交點的橫坐標.
考點三　 函數的圖象與性質
【例3】(2024·貴州)如圖,二次函數y=ax2+bx+c的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是-3,頂點坐標為(-1,4),則下列說法正確的是(D)
A.二次函數圖象的對稱軸是直線x=1
B.二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2
C.當x<-1時,y隨x的增大而減小
D.二次函數圖象與y軸的交點的縱坐標是3
【方法小結】確定二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)對稱軸及頂點坐標的方法:
(1)公式法:對稱軸是直線x=-,頂點坐標是.
(2)配方法:將二次函數通過配方法化為y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,對稱軸為x=h,頂點坐標是(h,k).
考點四　 圖象與a,b,c的符號關系
【例4】(2024·遂寧)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,且a≠0)的對稱軸為直線x=-1,且該拋物線與x軸交于點A(1,0),與y軸的交點B在(0,-2)和(0,-3)之間(不含端點),則下列結論正確的個數為(B)
①abc>0;
②9a-3b+c>0;
③④若方程ax2+bx+c=x+1兩根為m,n(mA.1 B.2 C.3 D.4
【思路點撥】根據二次函數圖象的開口方向、對稱軸位置、與x軸的交點坐標、根與系數的關系等知識,逐個判斷即可.
【方法小結】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系:二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象為拋物線,當a>0時,拋物線開口向上;對稱軸為直線x=-;拋物線與y軸的交點坐標為(0,c);當b2-4ac>0時,拋物線與x軸有兩個交點;當b2-4ac=0時,拋物線與x軸有一個交點;當b2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點.
考點五　 二次函數的簡單應用綜合題
【例5】(2024·福建)如圖,已知二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,其中A(-2,0),C(0,-2).
(1)求二次函數的表達式;
(2)若P是二次函數圖象上的一點,且點P在第二象限,線段PC交x軸于點D,△PDB的面積是△CDB的面積的2倍,求點P的坐標.
【思路點撥】(1)依據題意,將A(-2,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c建立方程組求出b,c即可得解;
(2)依據題意,設P(m,n)(m<0,n>0),由△PDB的面積是△CDB的面積的2倍,從而可得=2,進而建立方程即可得解.
【解析】(1)由題意,將A(-2,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c得
∴
∴二次函數的表達式為y=x2+x-2.
(2)由題意,設P(m,n)(m<0,n>0),
∵△PDB的面積是△CDB的面積的2倍,
∴=2,即=2.
∴=2.
又∵CO=2,∴n=2CO=4.
由m2+m-2=4,
∴m1=-3,m2=2(舍去).
∴點P的坐標為(-3,4).
1.(2024·廣東)若點(0,y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函數y=x2的圖象上,則(A)
A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2
2.(2024·廣州)函數y1=ax2+bx+c與y2=的圖象如圖所示,當______時,y1,y2均隨著x的增大而減小.(D)
A.x<-1 B.-1C.01
3.(2022·廣東)如圖,拋物線y=x2+bx+c(b,c是常數)的頂點為C,與x軸交于A,B兩點,A(1,0),AB=4,點P為線段AB上的動點,過P作PQ∥BC交AC于點Q.
(1)求該拋物線的表達式;
(2)求△CPQ面積的最大值,并求此時P點坐標.
【解析】(1)∵拋物線y=x2+bx+c(b,c是常數)的頂點為C,與x軸交于A,B兩點,A(1,0),AB=4,∴B(-3,0),
∴,解得,∴拋物線的表達式為y=x2+2x-3;
(2)過Q作QE⊥x軸于E,過C作CF⊥x軸于F,
設P(m,0),則PA=1-m,
∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,∴C(-1,-4),∴FC=4,
∵PQ∥BC,∴△PQA∽△BCA,∴=,即=,
∴QE=1-m,∴S△CPQ=S△PCA-S△PQA=PA·CF-PA·QE
=(1-m)×4-(1-m)(1-m)=-(m+1)2+2,
∵-3≤m≤1,∴當m=-1時,S△CPQ有最大值2,
∴△CPQ面積的最大值為2,此時P點坐標為(-1,0).第十三講　二次函數的圖象與性質
知識要點
1.二次函數的概念及其表達式
(1)二次函數的概念:形如__ __(a,b,c是常數,a≠0)的函數.
(2)二次函數的表達式:
①一般式:__ __.
②頂點式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其頂點坐標是__ __.
③交點式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是二次函數圖象與x軸交點的橫坐標.
對點練習
1.(1)(教材再開發·北師九下P30隨堂練習T1改編)下列函數表達式中,一定為二次函數的是( )
A.y=2x-5　　 B.y=ax2+bx+c
C.h= D.y=x2+
(2)(教材再開發·北師九下P43習題T1改編)
已知二次函數的圖象的頂點是(1,-2),且經過點(0,-5),則二次函數的解析式是( )
A.y=-3(x+1)2-2　 B.y=3(x+1)2-2
C.y=-3(x-1)2-2 D.y=3(x-1)2-2
(3)二次函數解析式為y=(m+1)+4x+7,則m的取值是__ __.
知識要點
2.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質
(1)當a>0時:
①開口方向:向上.
②頂點坐標:.
③對稱軸:直線__ __.
④增減性:當x<-時,y隨x的增大而__ __;
當x>-時,y隨x的增大而__ __.
⑤最值:當x=-時,y最小值= __.
(2)當a<0時:
①開口方向:向下.
②頂點坐標:.
③對稱軸:直線__ __.
④增減性:當x<-時,y隨x的增大而__ __;
當x>-時,y隨x的增大而__ __.
⑤最值:當x=-時,y最大值= __.
對點練習
2.(1)如圖,二次函數y=ax2+x-6的圖象與x軸交于A(-3,0),B兩點,下列說法正確的是( )
A.拋物線的對稱軸為直線x=1
B.拋物線的頂點坐標為(-,-6)
C.A,B兩點之間的距離為5
D.當x<-1時,y的值隨x值的增大而增大
(2)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數)關于直線x=1對稱.下列五個結論:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④am2+bm>a+b;⑤3a+c>0.其中正確的有( )
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
(3)(教材再開發·人教九上P47T5改編)
已知二次函數y=ax2-2ax+3(其中x是自變量),當0A.0B.a<-1或a>3
C.-3D.-1≤a<0或0考點一　二次函數的概念
【例1】下列關系式中,屬于二次函數的是(x為自變量)( )
A.y=x2 B.y= C.y= D.y=ax2+bx+c
【方法小結】本題考查了二次函數,注意二次項的系數不能為零.
考點二　確定二次函數的解析式
【例2】將二次函數y=x2-4x-1化為y=(x-h)2+k的形式,結果為( )
A.y=(x+2)2+5 B.y=(x+2)2-5 C.y=(x-2)2+5 D.y=(x-2)2-5
【方法小結】二次函數的三種形式:
(1)一般式y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0);
(2)頂點式y=a(x-h)2+k(a≠0),頂點坐標為(h,k);
(3)交點式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2為拋物線與x軸交點的橫坐標.
考點三　 函數的圖象與性質
【例3】(2024·貴州)如圖,二次函數y=ax2+bx+c的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是-3,頂點坐標為(-1,4),則下列說法正確的是( )
A.二次函數圖象的對稱軸是直線x=1
B.二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2
C.當x<-1時,y隨x的增大而減小
D.二次函數圖象與y軸的交點的縱坐標是3
【方法小結】確定二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)對稱軸及頂點坐標的方法:
(1)公式法:對稱軸是直線x=-,頂點坐標是.
(2)配方法:將二次函數通過配方法化為y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,對稱軸為x=h,頂點坐標是(h,k).
考點四　 圖象與a,b,c的符號關系
【例4】(2024·遂寧)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,且a≠0)的對稱軸為直線x=-1,且該拋物線與x軸交于點A(1,0),與y軸的交點B在(0,-2)和(0,-3)之間(不含端點),則下列結論正確的個數為( )
①abc>0;
②9a-3b+c>0;
③④若方程ax2+bx+c=x+1兩根為m,n(mA.1 B.2 C.3 D.4
【思路點撥】根據二次函數圖象的開口方向、對稱軸位置、與x軸的交點坐標、根與系數的關系等知識,逐個判斷即可.
【方法小結】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系:二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象為拋物線,當a>0時,拋物線開口向上;對稱軸為直線x=-;拋物線與y軸的交點坐標為(0,c);當b2-4ac>0時,拋物線與x軸有兩個交點;當b2-4ac=0時,拋物線與x軸有一個交點;當b2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點.
考點五　 二次函數的簡單應用綜合題
【例5】(2024·福建)如圖,已知二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,其中A(-2,0),C(0,-2).
(1)求二次函數的表達式;
(2)若P是二次函數圖象上的一點,且點P在第二象限,線段PC交x軸于點D,△PDB的面積是△CDB的面積的2倍,求點P的坐標.
【思路點撥】(1)依據題意,將A(-2,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c建立方程組求出b,c即可得解;
(2)依據題意,設P(m,n)(m<0,n>0),由△PDB的面積是△CDB的面積的2倍,從而可得=2,進而建立方程即可得解.
1.(2024·廣東)若點(0,y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函數y=x2的圖象上,則( )
A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2
2.(2024·廣州)函數y1=ax2+bx+c與y2=的圖象如圖所示,當______時,y1,y2均隨著x的增大而減小.( )
A.x<-1 B.-1C.01
3.(2022·廣東)如圖,拋物線y=x2+bx+c(b,c是常數)的頂點為C,與x軸交于A,B兩點,A(1,0),AB=4,點P為線段AB上的動點,過P作PQ∥BC交AC于點Q.
(1)求該拋物線的表達式;
(2)求△CPQ面積的最大值,并求此時P點坐標.

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