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第三十講　圖形的軸對稱、平移和旋轉
知識要點 對點練習
1.平移、旋轉與軸對稱的有關性質 (1)平移的性質. ①平移后的圖形與原圖形的對應線段__ __(或在同一條直線上)且__ __,對應角__ __. ②連接各組對應點的線段__ __(或在同一條直線上)且__ __. (2)旋轉的性質. ①對應點到旋轉中心的距離__ __. ②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于__ __. ③旋轉前、后的圖形__ __. (3)軸對稱的性質. ①如果兩個圖形關于某條直線對稱,那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的__ __. ②軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應點所連線段的__ __. (4)中心對稱的性質. ①中心對稱的兩個圖形,對稱點所連線段都經過__ __,而且被對稱中心所__ __. ②中心對稱的兩個圖形是__ __圖形. 1.(1)下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( ) (2)如圖,△ABC經過水平向右平移后得到△DEF,若AE=9 cm,BD=3 cm,則平移的距離為( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
2.坐標變換的規律 (1)在直角坐標系中,將點(x,y)向右(或左)平移a個單位長度,可以得到對應點__ __(或__ __);將點(x,y)向上(或下)平移b個單位長度,可以得到對應點__ __(或__ __). (2)在直角坐標系中,點(x,y)關于x軸對稱的點的坐標為__ __,關于y軸對稱的點的坐標為__ __. (3)在直角坐標系中,兩個點關于原點對稱時,它們的坐標符號相反,即點P(x,y)關于原點的對稱點為P'__ __. 2.(1)(教材再開發·人教九上P62T4改編)如圖,將△ABC先向右平移1個單位,再繞點P按順時針方向旋轉90°,得到△A'B'C',則點B的對應點B'的坐標是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.(4,0) B.(2,-2) C.(4,-1) D.(2,-3) (2)已知點(3,2),則它關于原點的對稱點坐標為__ __.
【考點一】軸對稱圖形、中心對稱圖形
【例1】(2024·齊齊哈爾)下列美術字中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( )
【方法小結】考點“軸對稱圖形、中心對稱圖形”多見于選擇題,要根據定義判斷,軸對稱圖形是:能找到對稱軸使得兩邊的圖形完全重合,中心對稱圖形是:繞著一點旋轉180°仍然與原圖形完全重合,但要仔細讀題,注意題目要求.
【考點二】　圖形的平移
【例2】(2024·臨夏州)如圖,等腰△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,將△ABC沿其底邊中線AD向下平移,使A的對應點A'滿足AA'=AD,則平移前后兩三角形重疊部分的面積是 __.
【方法小結】考點“圖形的平移”,一般要注意沿著某一方向移動一定距離,平移后不改變圖形的形狀和大小,多用于全等的應用.
【考點三】　圖形的旋轉
【例3】(2024·廣元)如圖,將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△ADE,點B,C的對應點分別為點D,E,連接CE,點D恰好落在線段CE上,若CD=3,BC=1,則AD的長為( )
A. B. C.2 D.2
【方法小結】考點“圖形的旋轉”一般在綜合應用中出現,要抓出“旋轉中心、旋轉角、旋轉方向”三要素,清晰識圖,旋轉后不改變圖形的形狀和大小.
【考點四】　圖形的變換與坐標的變化
【例4】如圖,△AOB中,OA=4,OB=6,AB=2,將△AOB繞原點O旋轉90°,則旋轉后點A的對應點A'的坐標是( )
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.(4,2)或(-4,2) B.(2,-4)或(-2,4)
C.(-2,2)或(2,-2) D.(2,-2)或(-2,2)
【方法小結】考點“圖形的變換與坐標的變化”多在函數的應用的考點中出現,坐標點的平移口訣是:左減右加,縱坐標不變,上加下減,橫坐標不變;坐標的對稱口訣是:關于誰,誰不變,關于原點都要變;點(x,y)繞原點順時針旋轉90°所得點的坐標為(y,-x),掌握規律,解題難度不大.
【考點五】　折疊問題
【例5】(2024·牡丹江)小明同學手中有一張矩形紙片ABCD,AD=12 cm,CD=10 cm,他進行了如下操作:
第一步,如圖①,將矩形紙片對折,使AD與BC重合,得到折痕MN,將紙片展平.
第二步,如圖②,再一次折疊紙片,把△ADN沿AN折疊得到△AD'N,AD'交折痕MN于點E,則線段EN的長為( )
A.8 cm B. cm C. cm D. cm
【思路點撥】根據矩形的性質和折疊的性質推出∠ANM=∠D'AN,進而得出EA=AN,設EA=AN=x cm,則EM=(12-x)cm,根據勾股定理可得:AM2+ME2=AE2,列出方程求解即可.
【方法小結】考點“折疊問題”是軸對稱圖形的知識延伸,一般考查:求折點位置、折線長、重疊的面積、角度等,利用軸對稱的性質,折線兩邊的圖形全等,折線垂直平分對應點連線,對應邊平行或交點在折線上,多在綜合題出現,解題時注意分解問題,找到思路.
【考點六】　網格作圖
【例6】(2024·安徽)如圖,在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中建
立平面直角坐標系xOy,格點(網格線的交點)A,B,C,D的坐標分別為(7,8),(2,8),
(10,4),(5,4).
(1)以點D為旋轉中心,將△ABC旋轉180°得到△A1B1C1,畫出△A1B1C1;
(2)直接寫出以B,C1,B1,C為頂點的四邊形的面積;
(3)在所給的網格圖中確定一個格點E,使得射線AE平分∠BAC,寫出點E的坐標.
【方法小結】網格作圖題是對圖形變換的綜合考查,在網格中可以同時考查平移、旋轉、軸對稱、中心對稱等幾種圖形變換.此類題目屬于圖形的操作問題,在網格中進行圖形變換的操作時,圖形的每一個頂點都是關鍵點,可以將圖形的變換操作轉化為點的變換操作.此類題目屬于中檔題,復習時注意聯系即可.
1.(2023·廣東)下列出版社的商標圖案中,是軸對稱圖形的為( )
2.(2023·深圳)下列圖形中,為軸對稱的圖形的是( )
3.(2024·廣州)下列圖案中,點O為正方形的中心,陰影部分的兩個三角形全等,則陰影部分的兩個三角形關于點O對稱的是( )
4.(2023·深圳)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=4,BC=6,將線段AB水平向右平移a個單位長度得到線段EF,若四邊形ECDF為菱形時,則a的值為( )
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(2024·深圳)下列用七巧板拼成的圖案中,為中心對稱圖形的是( )
6.(2024·廣東)下列幾何圖形中,既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是( )
7.(2024·廣東)【知識技能】
(1)如圖1,在△ABC中,DE是△ABC的中位線.連接CD,將△ADC繞點D按逆時針方向旋轉,得到△A'DC'.當點E的對應點E'與點A重合時,求證:AB=BC.
【數學理解】
(2)如圖2,在△ABC中(AB【拓展探索】
(3)如圖3,在△ABC中,tan B=,點D在AB上,AD=.過點D作DE⊥BC,垂足為E,BE=3,CE=.在四邊形ADEC內是否存在點G,使得∠AGD+∠CGE=180° 若存在,請給出證明;若不存在,請說明理由.第三十講　圖形的軸對稱、平移和旋轉
知識要點 對點練習
1.平移、旋轉與軸對稱的有關性質 (1)平移的性質. ①平移后的圖形與原圖形的對應線段__平行__(或在同一條直線上)且__相等__,對應角__相等__. ②連接各組對應點的線段__平行__(或在同一條直線上)且__相等__. (2)旋轉的性質. ①對應點到旋轉中心的距離__相等__. ②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于__旋轉角__. ③旋轉前、后的圖形__全等__. (3)軸對稱的性質. ①如果兩個圖形關于某條直線對稱,那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的__垂直平分線__. ②軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應點所連線段的__垂直平分線__. (4)中心對稱的性質. ①中心對稱的兩個圖形,對稱點所連線段都經過__對稱中心__,而且被對稱中心所__平分__. ②中心對稱的兩個圖形是__全等__圖形. 1.(1)下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(A) (2)如圖,△ABC經過水平向右平移后得到△DEF,若AE=9 cm,BD=3 cm,則平移的距離為(C) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
2.坐標變換的規律 (1)在直角坐標系中,將點(x,y)向右(或左)平移a個單位長度,可以得到對應點__(x+a,y)__(或__(x-a,y)__);將點(x,y)向上(或下)平移b個單位長度,可以得到對應點__(x,y+b)__(或__(x,y-b)__). (2)在直角坐標系中,點(x,y)關于x軸對稱的點的坐標為__(x,-y)__,關于y軸對稱的點的坐標為__(-x,y)__. (3)在直角坐標系中,兩個點關于原點對稱時,它們的坐標符號相反,即點P(x,y)關于原點的對稱點為P'__(-x,-y)__. 2.(1)(教材再開發·人教九上P62T4改編)如圖,將△ABC先向右平移1個單位,再繞點P按順時針方向旋轉90°,得到△A'B'C',則點B的對應點B'的坐標是(C) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.(4,0) B.(2,-2) C.(4,-1) D.(2,-3) (2)已知點(3,2),則它關于原點的對稱點坐標為__(-3,-2)__.
【考點一】軸對稱圖形、中心對稱圖形
【例1】(2024·齊齊哈爾)下列美術字中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(D)
【方法小結】考點“軸對稱圖形、中心對稱圖形”多見于選擇題,要根據定義判斷,軸對稱圖形是:能找到對稱軸使得兩邊的圖形完全重合,中心對稱圖形是:繞著一點旋轉180°仍然與原圖形完全重合,但要仔細讀題,注意題目要求.
【考點二】　圖形的平移
【例2】(2024·臨夏州)如圖,等腰△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,將△ABC沿其底邊中線AD向下平移,使A的對應點A'滿足AA'=AD,則平移前后兩三角形重疊部分的面積是 __.
【方法小結】考點“圖形的平移”,一般要注意沿著某一方向移動一定距離,平移后不改變圖形的形狀和大小,多用于全等的應用.
【考點三】　圖形的旋轉
【例3】(2024·廣元)如圖,將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△ADE,點B,C的對應點分別為點D,E,連接CE,點D恰好落在線段CE上,若CD=3,BC=1,則AD的長為(A)
A. B. C.2 D.2
【方法小結】考點“圖形的旋轉”一般在綜合應用中出現,要抓出“旋轉中心、旋轉角、旋轉方向”三要素,清晰識圖,旋轉后不改變圖形的形狀和大小.
【考點四】　圖形的變換與坐標的變化
【例4】如圖,△AOB中,OA=4,OB=6,AB=2,將△AOB繞原點O旋轉90°,則旋轉后點A的對應點A'的坐標是(C)
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.(4,2)或(-4,2) B.(2,-4)或(-2,4)
C.(-2,2)或(2,-2) D.(2,-2)或(-2,2)
【方法小結】考點“圖形的變換與坐標的變化”多在函數的應用的考點中出現,坐標點的平移口訣是:左減右加,縱坐標不變,上加下減,橫坐標不變;坐標的對稱口訣是:關于誰,誰不變,關于原點都要變;點(x,y)繞原點順時針旋轉90°所得點的坐標為(y,-x),掌握規律,解題難度不大.
【考點五】　折疊問題
【例5】(2024·牡丹江)小明同學手中有一張矩形紙片ABCD,AD=12 cm,CD=10 cm,他進行了如下操作:
第一步,如圖①,將矩形紙片對折,使AD與BC重合,得到折痕MN,將紙片展平.
第二步,如圖②,再一次折疊紙片,把△ADN沿AN折疊得到△AD'N,AD'交折痕MN于點E,則線段EN的長為(B)
A.8 cm B. cm C. cm D. cm
【思路點撥】根據矩形的性質和折疊的性質推出∠ANM=∠D'AN,進而得出EA=AN,設EA=AN=x cm,則EM=(12-x)cm,根據勾股定理可得:AM2+ME2=AE2,列出方程求解即可.
【方法小結】考點“折疊問題”是軸對稱圖形的知識延伸,一般考查:求折點位置、折線長、重疊的面積、角度等,利用軸對稱的性質,折線兩邊的圖形全等,折線垂直平分對應點連線,對應邊平行或交點在折線上,多在綜合題出現,解題時注意分解問題,找到思路.
【考點六】　網格作圖
【例6】(2024·安徽)如圖,在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中建
立平面直角坐標系xOy,格點(網格線的交點)A,B,C,D的坐標分別為(7,8),(2,8),
(10,4),(5,4).
(1)以點D為旋轉中心,將△ABC旋轉180°得到△A1B1C1,畫出△A1B1C1;
(2)直接寫出以B,C1,B1,C為頂點的四邊形的面積;
(3)在所給的網格圖中確定一個格點E,使得射線AE平分∠BAC,寫出點E的坐標.
【解析】(1)如圖,△A1B1C1即為所求;
(2)以B,C1,B1,C為頂點的四邊形的面積=10×8-2××2×4-2××4×8=40;
(3)如圖,點E即為所求(答案不唯一),點E的坐標為(6,6).
【方法小結】網格作圖題是對圖形變換的綜合考查,在網格中可以同時考查平移、旋轉、軸對稱、中心對稱等幾種圖形變換.此類題目屬于圖形的操作問題,在網格中進行圖形變換的操作時,圖形的每一個頂點都是關鍵點,可以將圖形的變換操作轉化為點的變換操作.此類題目屬于中檔題,復習時注意聯系即可.
1.(2023·廣東)下列出版社的商標圖案中,是軸對稱圖形的為(A)
2.(2023·深圳)下列圖形中,為軸對稱的圖形的是(D)
3.(2024·廣州)下列圖案中,點O為正方形的中心,陰影部分的兩個三角形全等,則陰影部分的兩個三角形關于點O對稱的是(C)
4.(2023·深圳)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=4,BC=6,將線段AB水平向右平移a個單位長度得到線段EF,若四邊形ECDF為菱形時,則a的值為(B)
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(2024·深圳)下列用七巧板拼成的圖案中,為中心對稱圖形的是(C)
6.(2024·廣東)下列幾何圖形中,既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是(C)
7.(2024·廣東)【知識技能】
(1)如圖1,在△ABC中,DE是△ABC的中位線.連接CD,將△ADC繞點D按逆時針方向旋轉,得到△A'DC'.當點E的對應點E'與點A重合時,求證:AB=BC.
【數學理解】
(2)如圖2,在△ABC中(AB【拓展探索】
(3)如圖3,在△ABC中,tan B=,點D在AB上,AD=.過點D作DE⊥BC,垂足為E,BE=3,CE=.在四邊形ADEC內是否存在點G,使得∠AGD+∠CGE=180° 若存在,請給出證明;若不存在,請說明理由.
【解析】(1)∵△ADC繞點D按逆時針方向旋轉,得到△A'DC',且E'與A重合,
∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA,∵DE是△ABC的中位線,
∴DE∥BC,∴∠DEA=∠BCA,∴∠DAE=∠BCA,∴AB=BC.
(2)連接AA',由旋轉的性質可得∠ADA'=∠CDC',AD=A'D,CD=C'D,
∴=,∴△ADA'∽△CDC',∴=,
∵DE是△ABC的中位線,DF是△A'BD的中線,∴AD=BD,BF=A'F,
∴DF是△AA'B的中位線,∴AA'=2DF,∴=,∴2DF·CD=BD·CC'.
(3)存在,理由如下,
符合的情況一:取AD中點M,CE中點N,連接MN,
∵AD是☉M的直徑,CE是☉N的直徑,∴∠AGD=90°,∠CGE=90°,
∴∠AGD+∠CGE=180°,∵tan B=,BE=3,∴BD=5,
∵CE=,∴EN=CE=,∴BN=BE+EN=,
∵DE⊥CE,∴DE是☉N的切線,即DE在☉N外,
連接DN,∵在Rt△DEN中,由勾股定理得DN=,
∴BD2+DN2=BN2,∴∠BDN=90°,∵DN大于☉N的半徑,
∴AB在☉N外,∵在Rt△MDN中,DM=AD=,
∴MN==,∵MD+EN=+=,
∴MN故四邊形ADEC內存在點G,使得∠AGD+∠CGE=180°.
符合的情況二:如圖,取AD中點M,CE中點N,作DG⊥DE,NG⊥BC,交于點G,連接MG,AG,CG,EG,
∵DE⊥BC,∴四邊形ENGD是矩形,∴DG∥BC,GN=DE=4,GD=EN,
∴∠MDG=∠B,∵M是AD的中點,N是CE的中點,AD=,CE=,
∴MD=AD=,EN=CE=,∴tan∠EGN==,∵tan B=,∴∠EGN=∠B,
∴∠EGN=∠GDM,∵GE==,∴==,
∴△MDG∽△NGE,∴∠DGM=∠GEN,∠DMG=∠GNE=90°,
∵∠GEN+∠EGN=90°,AG=DG,EG=CG,
∴∠DGM+∠EGN=90°,∠AGD=2∠DGM,∠CGE=2∠EGN,
∴∠AGD+∠CGE=180°,
故四邊形ADEC內存在點G,使得∠AGD+∠CGE=180°.(答案不唯一)

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