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第二十八講　尺規(guī)作圖
【考點(diǎn)一】　簡單尺規(guī)作圖
【例1】(2024·廣西)如圖,在△ABC中,∠A=45°,AC>BC.
(1)尺規(guī)作圖:作線段AB的垂直平分線l,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E;(要求:保留作圖痕跡,不寫作法,標(biāo)明字母)
(2)在(1)所作的圖中,連接BE,若AB=8,求BE的長.
【解析】(1)如圖所示:
(2)∵DE垂直平分線段AB,∴EB=EA,∴∠EBA=∠A=45°,∴∠BEA=90°,
∵BD=DA,∴DE=DB=DA=AB=4,∴BE=BD=4.
【方法小結(jié)】基本作圖考查常見兩種形式,一種給出作圖步驟及作圖痕跡,判斷是哪種基本作圖,一種為直接考查基本作圖,要求保留作圖痕跡,基本方法為熟悉五個(gè)基本的作圖步驟及作圖痕跡,熟悉常見的作圖語言與對應(yīng)的幾何語言之間的轉(zhuǎn)化.作圖時(shí)注意尺規(guī)作圖的規(guī)范性.
【考點(diǎn)二】復(fù)雜尺規(guī)作圖
【例2】(2024·連云港)如圖,AB與CD相交于點(diǎn)E,EC=ED,AC∥BD.
(1)求證:△AEC≌△BED;
(2)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖:求作菱形DMCN,使得點(diǎn)M在AC上,點(diǎn)N在BD上.
(不寫作法,保留作圖痕跡,標(biāo)明字母)
【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)平行,得出∠A=∠B,∠C=∠D,利用AAS證明全等;
(2)過點(diǎn)E作CD的垂線即可.
【解析】(1)∵AC∥BD,∴∠A=∠B,∠C=∠D,
在△AEC和△BED中,,∴△AEC≌△BED(AAS);
(2)如圖,四邊形DMCN即為所求作的菱形.
【例3】(2024·揚(yáng)州)如圖,已知∠PAQ及AP邊上一點(diǎn)C.
(1)用無刻度直尺和圓規(guī)在射線AQ上求作點(diǎn)O,使得∠COQ=2∠CAQ;(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)在(1)的條件下,以點(diǎn)O為圓心,OA長為半徑的圓交射線AQ于點(diǎn)B,用無刻度直尺和圓規(guī)在射線CP上求作點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)M到射線AQ的距離相等;(保留作圖痕跡,不寫作法)
(3)在(1)(2)的條件下,若sin A=,CM=12,求BM的長.
【思路點(diǎn)撥】(1)作AC的垂直平分線交AQ于點(diǎn)O.
(2)以點(diǎn)O為圓心,OA長為半徑畫圓交AQ于點(diǎn)B,作∠CBQ的平分線交AP于點(diǎn)M,點(diǎn)M即為所求;
(3)可設(shè)BC=3k,AB=5k,則AC=4k,證明△MBC≌△MBH,推出BC=BH=3k,
AH=AB+BH=8k,再推出MH=6k,構(gòu)建方程求解.
【解析】(1)如圖,點(diǎn)O即為所求;
(2)如圖,點(diǎn)B,點(diǎn)M即為所求;
(3)由作圖可知OA=OC=OB,∴∠ACB=90°,
∵sin A==,∴設(shè)BC=3k,AB=5k,則AC=4k,
∵BM平分∠CBQ,MC⊥CB,MH⊥BQ,∴∠MBC=∠MBH,∠MCB=∠BHM=90°,
∵BM=BM,∴△MBC≌△MBH(AAS),∴BC=BH=3k,∴AH=AB+BH=8k,
∵sin A==,∴AM=10k,MH=MC=6k,∴12=6k,∴k=2,∴BH=6,MH=12,
∴BM===6.
【方法小結(jié)】復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖,一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì),結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖,逐步操作.
1.(2024·深圳)在如圖的三個(gè)圖形中,根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡,能判斷射線AD平分
∠BAC的是(B)
A.①② B.①③ C.②③ D.只有①
2.(2023·廣東)如圖,在 ABCD中,∠DAB=30°.
(1)實(shí)踐與操作:用尺規(guī)作圖法過點(diǎn)D作AB邊上的高DE;(保留作圖痕跡,不要求寫作法)
(2)應(yīng)用與計(jì)算:在(1)的條件下,AD=4,AB=6,求BE的長.
【解析】(1)如圖,DE即為所求;
(2)∵cos∠DAB=,∴AE=AD·cos 30°=4×=2,∴BE=AB-AE=6-2.第二十八講　尺規(guī)作圖
【考點(diǎn)一】　簡單尺規(guī)作圖
【例1】(2024·廣西)如圖,在△ABC中,∠A=45°,AC>BC.
(1)尺規(guī)作圖:作線段AB的垂直平分線l,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E;(要求:保留作圖痕跡,不寫作法,標(biāo)明字母)
(2)在(1)所作的圖中,連接BE,若AB=8,求BE的長.
【方法小結(jié)】基本作圖考查常見兩種形式,一種給出作圖步驟及作圖痕跡,判斷是哪種基本作圖,一種為直接考查基本作圖,要求保留作圖痕跡,基本方法為熟悉五個(gè)基本的作圖步驟及作圖痕跡,熟悉常見的作圖語言與對應(yīng)的幾何語言之間的轉(zhuǎn)化.作圖時(shí)注意尺規(guī)作圖的規(guī)范性.
【考點(diǎn)二】復(fù)雜尺規(guī)作圖
【例2】(2024·連云港)如圖,AB與CD相交于點(diǎn)E,EC=ED,AC∥BD.
(1)求證:△AEC≌△BED;
(2)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖:求作菱形DMCN,使得點(diǎn)M在AC上,點(diǎn)N在BD上.
(不寫作法,保留作圖痕跡,標(biāo)明字母)
【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)平行,得出∠A=∠B,∠C=∠D,利用AAS證明全等;
(2)過點(diǎn)E作CD的垂線即可.
【例3】(2024·揚(yáng)州)如圖,已知∠PAQ及AP邊上一點(diǎn)C.
(1)用無刻度直尺和圓規(guī)在射線AQ上求作點(diǎn)O,使得∠COQ=2∠CAQ;(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)在(1)的條件下,以點(diǎn)O為圓心,OA長為半徑的圓交射線AQ于點(diǎn)B,用無刻度直尺和圓規(guī)在射線CP上求作點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)M到射線AQ的距離相等;(保留作圖痕跡,不寫作法)
(3)在(1)(2)的條件下,若sin A=,CM=12,求BM的長.
【思路點(diǎn)撥】(1)作AC的垂直平分線交AQ于點(diǎn)O.
(2)以點(diǎn)O為圓心,OA長為半徑畫圓交AQ于點(diǎn)B,作∠CBQ的平分線交AP于點(diǎn)M,點(diǎn)M即為所求;
(3)可設(shè)BC=3k,AB=5k,則AC=4k,證明△MBC≌△MBH,推出BC=BH=3k,
AH=AB+BH=8k,再推出MH=6k,構(gòu)建方程求解.
【方法小結(jié)】復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖,一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì),結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖,逐步操作.
1.(2024·深圳)在如圖的三個(gè)圖形中,根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡,能判斷射線AD平分
∠BAC的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.只有①
2.(2023·廣東)如圖,在 ABCD中,∠DAB=30°.
(1)實(shí)踐與操作:用尺規(guī)作圖法過點(diǎn)D作AB邊上的高DE;(保留作圖痕跡,不要求寫作法)
(2)應(yīng)用與計(jì)算:在(1)的條件下,AD=4,AB=6,求BE的長.

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