資源簡介

第二十五講　圓的認識
知識要點 對點練習
1.圓的定義及圓的軸對稱性 (1)定義:在一個平面內,線段OA繞它固定的一個端點O旋轉__ __,另一個端點A所形成的圖形. (2)軸對稱性:圓是__ __,任何一條__ __都是它的對稱軸. 1.判斷:(填“√”或“×”) 圓有無數條對稱軸.(√)
2.垂徑定理及推論 (1)垂徑定理:垂直于弦的直徑__ __, 并且平分弦所對的__ __. (2)推論:平分弦(不是直徑)的直徑__ __, 并且平分弦所對的__ __. 2.(1)(教材再開發·人教九上P83練習T1改編)如圖,在直徑為10 cm的☉O中,AB=8 cm,弦OC⊥AB于點C,則OC等于__ __cm. (2)如圖,若△ABC內接于半徑為6的☉O,且∠A=60°,連接OB,OC,則邊BC的長為__ __.
3.圓心角、弧、弦之間的關系 (1)在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧__ __,所對的弦__ __. (2)在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么它們所對的圓心角__ __,所對的弦也__ __. (3)在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,那么它們所對的圓心角__ __,所對的弧也__ __. 3.(教材再開發·人教九上P85練習T1改編) (1)如圖,在☉O中,=,∠1=45°,則∠2=( ) A.60°　　　B.30°　　　 C.45°　　　D.40° (2)如圖,在☉O中,AC=BD,若 ∠AOC=120°,則∠BOD=__ __.
4.圓周角定理及推論 (1)定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角__ __,都等于這條弧所對的圓心角的__ __. (2)推論: ①半圓(或直徑)所對的圓周角是__ __,90°的圓周角所對的弦是__ __. ②在同圓或等圓中,如果兩個圓周角__ __,它們所對的弧一定__ __. 4.(1)(教材再開發·人教九上P122T1(2)改編) 如圖,在☉O中,弦AB,CD相交于點P.若∠A=48°,∠APD=80°,則∠B的大小為( ) A.32° B.42° C.52° D.62° (2)如圖,AB是☉O的直徑,C,D是☉O上的兩點,若∠CAB=65°,則∠ADC的度數為__ __.
5.圓內接四邊形的性質 圓內接四邊形的對角__ __. 5.如圖所示,四邊形ABCD是圓內接四邊形,其中∠A=75°,則∠C=__ __°.
【考點一】圓心角、圓周角之間的關系定理
【例1】(2024·云南)如圖,CD是☉O的直徑,點A,B在☉O上.若=,∠AOC=36°,則∠D=( )
A.9° B.18° C.36° D.45°
【思路點撥】先連接AD,根據在同圓和等圓中,等弧所對的圓周角相等證明∠ADC=∠BDC,最后根據圓心角、圓周角之間的關系定理進行解答即可.
【方法小結】考點“圓心角、圓周角之間的關系定理”,多結合其他知識點一起考查,靈活運用圓心角、圓周角之間的關系定理即可.
【考點二】 垂徑定理
【例2】(2024·涼山州)數學活動課上,同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑,小明的解決方案是:在工件圓弧上任取兩點A,B,連接AB,作AB的垂直平分線CD交AB于點D,交于點C,測出AB=40 cm,CD=10 cm,則圓形工件的半徑為( )
A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm
【例3】(2024·牡丹江)如圖,在☉O中,直徑AB⊥CD于點E,CD=6,BE=1,則弦AC的長為__ _.
【方法小結】考點“垂徑定理”,多與其他知識點一起出現在選擇題或大題中,借助輔助線,構造直角三角形或等腰(邊)三角形來解決問題.
【考點三】圓內接四邊形
【例4】(2024·吉林)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,過點B作BE∥AD,交CD于點E.若∠BEC=50°,則∠ABC的度數是( )
A.50° B.100° C.130° D.150°
【思路點撥】根據BE∥AD,得出∠ADC=∠BEC=50°,再根據圓內接四邊形的性質即可得出答案.
廣東3年真題
1.(2023·深圳)如圖,在☉O中,AB為直徑,C為圓上一點,∠BAC的平分線與☉O交于點D,若∠ADC=20°,則∠BAD=__ __°.
2.(2022·廣東)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,AC為☉O的直徑,∠ADB=∠CDB.
(1)試判斷△ABC的形狀,并給出證明;
(2)若AB=,AD=1,求CD的長度.第二十五講　圓的認識
知識要點 對點練習
1.圓的定義及圓的軸對稱性 (1)定義:在一個平面內,線段OA繞它固定的一個端點O旋轉__一周__,另一個端點A所形成的圖形. (2)軸對稱性:圓是__軸對稱圖形__,任何一條__直徑所在直線__都是它的對稱軸. 1.判斷:(填“√”或“×”) 圓有無數條對稱軸.(√)
2.垂徑定理及推論 (1)垂徑定理:垂直于弦的直徑__平分弦__, 并且平分弦所對的__兩條弧__. (2)推論:平分弦(不是直徑)的直徑__垂直于弦__, 并且平分弦所對的__兩條弧__. 2.(1)(教材再開發·人教九上P83練習T1改編)如圖,在直徑為10 cm的☉O中,AB=8 cm,弦OC⊥AB于點C,則OC等于__3__cm. (2)如圖,若△ABC內接于半徑為6的☉O,且∠A=60°,連接OB,OC,則邊BC的長為__6__.
3.圓心角、弧、弦之間的關系 (1)在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧__相等__,所對的弦__相等__. (2)在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么它們所對的圓心角__相等__,所對的弦也__相等__. (3)在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,那么它們所對的圓心角__相等__,所對的弧也__相等__. 3.(教材再開發·人教九上P85練習T1改編) (1)如圖,在☉O中,=,∠1=45°,則∠2=(C) A.60°　　　B.30°　　　 C.45°　　　D.40° (2)如圖,在☉O中,AC=BD,若 ∠AOC=120°,則∠BOD=__120°__.
4.圓周角定理及推論 (1)定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角__相等__,都等于這條弧所對的圓心角的__一半__. (2)推論: ①半圓(或直徑)所對的圓周角是__直角__,90°的圓周角所對的弦是__直徑__. ②在同圓或等圓中,如果兩個圓周角__相等__,它們所對的弧一定__相等__. 4.(1)(教材再開發·人教九上P122T1(2)改編) 如圖,在☉O中,弦AB,CD相交于點P.若∠A=48°,∠APD=80°,則∠B的大小為(A) A.32° B.42° C.52° D.62° (2)如圖,AB是☉O的直徑,C,D是☉O上的兩點,若∠CAB=65°,則∠ADC的度數為__25°__.
5.圓內接四邊形的性質 圓內接四邊形的對角__互補__. 5.如圖所示,四邊形ABCD是圓內接四邊形,其中∠A=75°,則∠C=__105__°.
【考點一】圓心角、圓周角之間的關系定理
【例1】(2024·云南)如圖,CD是☉O的直徑,點A,B在☉O上.若=,∠AOC=36°,則∠D=(B)
A.9° B.18° C.36° D.45°
【思路點撥】先連接AD,根據在同圓和等圓中,等弧所對的圓周角相等證明∠ADC=∠BDC,最后根據圓心角、圓周角之間的關系定理進行解答即可.
【方法小結】考點“圓心角、圓周角之間的關系定理”,多結合其他知識點一起考查,靈活運用圓心角、圓周角之間的關系定理即可.
【考點二】 垂徑定理
【例2】(2024·涼山州)數學活動課上,同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑,小明的解決方案是:在工件圓弧上任取兩點A,B,連接AB,作AB的垂直平分線CD交AB于點D,交于點C,測出AB=40 cm,CD=10 cm,則圓形工件的半徑為(C)
A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm
【例3】(2024·牡丹江)如圖,在☉O中,直徑AB⊥CD于點E,CD=6,BE=1,則弦AC的長為__3__.
【方法小結】考點“垂徑定理”,多與其他知識點一起出現在選擇題或大題中,借助輔助線,構造直角三角形或等腰(邊)三角形來解決問題.
【考點三】圓內接四邊形
【例4】(2024·吉林)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,過點B作BE∥AD,交CD于點E.若∠BEC=50°,則∠ABC的度數是(C)
A.50° B.100° C.130° D.150°
【思路點撥】根據BE∥AD,得出∠ADC=∠BEC=50°,再根據圓內接四邊形的性質即可得出答案.
廣東3年真題
1.(2023·深圳)如圖,在☉O中,AB為直徑,C為圓上一點,∠BAC的平分線與☉O交于點D,若∠ADC=20°,則∠BAD=__35__°.
2.(2022·廣東)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,AC為☉O的直徑,∠ADB=∠CDB.
(1)試判斷△ABC的形狀,并給出證明;
(2)若AB=,AD=1,求CD的長度.
【解析】(1)△ABC是等腰直角三角形,證明過程如下:
∵AC為☉O的直徑,
∴∠ADC=∠ABC=90°,
∵∠ADB=∠CDB,
∴=,
∴AB=BC,
又∵∠ABC=90°,∴△ABC是等腰直角三角形.
(2)在Rt△ABC中,AB=BC=,∴AC=2,
在Rt△ADC中,AD=1,AC=2,∴CD=.

展開更多......

收起↑