資源簡介

第二十七講　圓的有關計算與證明
知識要點 對點練習
1.正多邊形和圓 (1)定義:各邊__相等__,各角也都__相等__的多邊形是正多邊形. (2)正多邊形和圓的關系:把一個圓__n等分__,依次連接__各分點__可作出圓的內接正n邊形. 1.(教材再開發·北師九下P105T14改編)如圖,正五邊形ABCDE內接于☉O,連接AC,則∠ACD的度數是(A) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.72° B.70° C.60° D.45°
2.圓中的弧長與扇形面積 (1)半徑為R的圓中,n°的圓心角所對的弧長l的計算公式為l= __. (2)扇形面積: ①半徑為R的圓中,圓心角為n°的扇形面積為S扇形= __. ②半徑為R,弧長為l的扇形面積為S扇形= lR__. 2.(1)用一張半圓形鐵皮,圍成一個底面半徑為4 cm的圓錐形工件的側面(接縫忽略不計),則圓錐的母線長為(B) A.4 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm (2)已知圓心角為135°的扇形面積為24π,則扇形的半徑為__8__. (3)若扇形的圓心角為120°,半徑為,則它的弧長為__π__.
3.圓柱和圓錐 (1)設圓柱的高為l,底面半徑為R,則有: ①S圓柱側=__2πRl__; ②S圓柱全=__2πR2+2πRl__; ③V圓柱=__πR2l__. (2)設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,高為h,則有: ①S圓錐側=__πRl__; ②S圓錐全=__πRl+πR2__; ③V圓錐=πR2h. 3.(教材再開發·人教九上P113練習T2改編) (1)已知圓錐的母線長為8 cm,底面圓的直徑為6 cm,則這個圓錐的側面積是(D) A.96π cm2　 B.48π cm2 C.33π cm2 D.24π cm2 (2)底面半徑為3,母線長為5的圓錐的高是__4__. (3)若圓錐的底面圓半徑為2 cm,母線長是5 cm,則它的側面展開圖的面積為__10π__cm2.
【考點一】弧長和扇形面積計算
【例1】(2023·荊州)如圖,一條公路的轉彎處是一段圓弧(),點O是這段弧所在圓的圓心,B為上一點,OB⊥AC于D.若AC=300 m,BD=150 m,則的長為(B)
A.300π m B.200π m
C.150π m D.100π m
【方法小結】本題考查的是垂徑定理、勾股定理及弧長的計算公式,根據垂徑定理得出弦長的一半,再由勾股定理求出半徑是解答此題的關鍵,同時要熟記圓弧長度的計算公式.
【例2】(2024·河南)如圖,☉O是邊長為4的等邊三角形ABC的外接圓,點D是的中點,連接BD,CD.以點D為圓心,BD的長為半徑在☉O內畫弧,則陰影部分的面積為(C)
A. B.4π C. D.16π
【思路點撥】由題知陰影部分為扇形BDC的面積,求出半徑DB的長度和圓心角∠BDC的度數即可求解.
【考點二】圓柱和圓錐的側面積、全面積計算
【例3】用半徑為30 cm,圓心角為120°的扇形紙片恰好能圍成一個圓錐的側面,則這個圓錐底面半徑為(B)
A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.20 cm
【思路點撥】根據圓錐的側面是一個扇形,這個扇形的弧長等于圓錐底面周長即可得.
【方法小結】本題考查了圓錐的計算:圓錐的側面展開圖為一扇形,這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長,扇形的半徑等于圓錐的母線長.
【考點三】正多邊形和圓
【例4】(2024·雅安)如圖,☉O的周長為8π,正六邊形ABCDEF內接于☉O,則△OAB的面積為(B)
A.4 B.4 C.6 D.6
【例5】(2023·杭州)如圖,六邊形ABCDEF是☉O的內接正六邊形,設正六邊形ABCDEF的面積為S1,△ACE的面積為S2,則=__2__.
【方法小結】此題考查了圓內接正多邊形的性質、正六邊形和正三角形的性質、全等三角形的性質和判定等知識,解題的關鍵是熟練掌握以上知識點.
【考點四】有關圓的陰影面積
【例6】 (2023·廣元)如圖,半徑為5的扇形AOB中,∠AOB=90°,C是上一點,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分別為D,E,若CD=CE,則圖中陰影部分的面積為(B)
A. B. C. D.
【例7】(2024·深圳模擬)如圖所示,扇形AOB的圓心角是直角,半徑為3,C為OA邊上一點,將△BOC沿BC邊折疊,圓心O恰好落在上的點D處,則陰影部分的面積為 -9__.
【思路點撥】連接OD,則OD=OB,由折疊得DB=OB,則△OBD是等邊三角形,可求得∠OBD=60°,則∠OBC=∠DBC=30°.根據勾股定理求出OC,即可由S陰影=S扇形AOB-S△OBC-S△DBC求出陰影部分的面積.
廣東3年真題
1.(2024·廣州)如圖,圓錐的側面展開圖是一個圓心角為72°的扇形,若扇形的半徑l是5,則該圓錐的體積是(D)
A.π B.π C.2π D.π
2.(2024·深圳)如圖,小明在矩形ABCD中裁剪出扇形EOF,BC=AB,O為BC中點,OE=AB=4,則扇形EOF的面積為__4π__.
3.(2022·深圳)一個玻璃球體近似半圓O,AB為直徑,半圓O上點C處有個吊燈EF,EF∥AB,CO⊥AB,EF的中點為D,OA=4.
(1)如圖①,CM為一條拉線,M在OB上,OM=1.6,DF=0.8,求CD的長度;
(2)如圖②,一個玻璃鏡與圓O相切,H為切點,M為OB上一點,MH為入射光線,HN為反射光線,∠OHM=∠OHN=45°,tan∠COH=,求ON的長度;
(3)如圖③,M是線段OB上的動點,MH為入射光線,∠HOM=50°,HN為反射光線交半圓O于點N,在M從O運動到B的過程中,求N點的運動路徑長.
【解析】(1)∵OM=1.6,DF=0.8,EF∥AB,
∴DF是△COM的中位線,∴點D是OC的中點,
∵OC=OA=4,∴CD=2;
(2)如圖,過點N作ND⊥OH于點D,
∵∠OHN=45°,∴△NHD是等腰直角三角形,
∴ND=HD,
∵tan∠COH=,∠NDO=90°,
∴=,
設ND=3x=HD,則OD=4x,
∵OH=OA=4,∴OH=3x+4x=4,∴x=,
∴ND=×3=,OD=×4=,
∴ON==;
(3)如圖,當點M與點O重合時,點N也與點O重合,當點M運動至點B時,點N運動至點T,故點N的運動路徑長為OA+的長,
∵∠HOM=50°,OH=OB,∴∠OHB=∠OBH=65°,
∠OHM=∠OHT,OH=OT,∴∠OTH=∠OHT=65°,
∵∠TOH=50°,∴∠AOT=180°-50°-50°=80°,
∴的長為=π,
∴點N的運動路徑長為4+π.
4.(2024·廣東)綜合與實踐
【主題】濾紙與漏斗
【素材】如圖1所示:
①一張直徑為10 cm的圓形濾紙;
②一只漏斗口直徑與母線均為7 cm的圓錐形過濾漏斗.
【實踐操作】
步驟1:取一張濾紙;
步驟2:按如圖2所示步驟折疊好濾紙;
步驟3:將其中一層撐開,圍成圓錐形;
步驟4:將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中.
【實踐探索】
(1)濾紙是否能緊貼此漏斗內壁(忽略漏斗管口處) 用你所學的數學知識說明.
(2)當濾紙緊貼漏斗內壁時,求濾紙圍成圓錐形的體積.(結果保留π)
【解析】(1)濾紙能緊貼此漏斗內壁,理由如下:
如圖作出示意圖,由題意知,AB=AC=BC=7 cm,
折疊后CD=CE=×10=5(cm).
∵底面周長=×10π=5π(cm),
∴DE·π=5π cm,∴DE=5 cm,
∴==,
∴△CDE∽△CAB,
∴濾紙能緊貼此漏斗內壁.
(2)由(1)知CD=DE=CE=5 cm,∴∠CDE=60°,
過C作CF⊥DE于點F,則DF=DE= cm,
在Rt△CDF中,CF== cm,
∴V=π·()2××=π(cm3).
即濾紙圍成圓錐形的體積是π cm3.第二十七講　圓的有關計算與證明
知識要點 對點練習
1.正多邊形和圓 (1)定義:各邊__ __,各角也都__ __的多邊形是正多邊形. (2)正多邊形和圓的關系:把一個圓__ __,依次連接__ __可作出圓的內接正n邊形. 1.(教材再開發·北師九下P105T14改編)如圖,正五邊形ABCDE內接于☉O,連接AC,則∠ACD的度數是( ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.72° B.70° C.60° D.45°
2.圓中的弧長與扇形面積 (1)半徑為R的圓中,n°的圓心角所對的弧長l的計算公式為l= __. (2)扇形面積: ①半徑為R的圓中,圓心角為n°的扇形面積為S扇形= _. ②半徑為R,弧長為l的扇形面積為S扇形= __. 2.(1)用一張半圓形鐵皮,圍成一個底面半徑為4 cm的圓錐形工件的側面(接縫忽略不計),則圓錐的母線長為( ) A.4 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm (2)已知圓心角為135°的扇形面積為24π,則扇形的半徑為__ __. (3)若扇形的圓心角為120°,半徑為,則它的弧長為__ __.
3.圓柱和圓錐 (1)設圓柱的高為l,底面半徑為R,則有: ①S圓柱側=__ __; ②S圓柱全=__ __; ③V圓柱=__ __. (2)設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,高為h,則有: ①S圓錐側=__ __; ②S圓錐全=__ __; ③V圓錐=πR2h. 3.(教材再開發·人教九上P113練習T2改編) (1)已知圓錐的母線長為8 cm,底面圓的直徑為6 cm,則這個圓錐的側面積是( ) A.96π cm2　 B.48π cm2 C.33π cm2 D.24π cm2 (2)底面半徑為3,母線長為5的圓錐的高是__ __. (3)若圓錐的底面圓半徑為2 cm,母線長是5 cm,則它的側面展開圖的面積為__ __cm2.
【考點一】弧長和扇形面積計算
【例1】(2023·荊州)如圖,一條公路的轉彎處是一段圓弧(),點O是這段弧所在圓的圓心,B為上一點,OB⊥AC于D.若AC=300 m,BD=150 m,則的長為( )
A.300π m B.200π m
C.150π m D.100π m
【方法小結】本題考查的是垂徑定理、勾股定理及弧長的計算公式,根據垂徑定理得出弦長的一半,再由勾股定理求出半徑是解答此題的關鍵,同時要熟記圓弧長度的計算公式.
【例2】(2024·河南)如圖,☉O是邊長為4的等邊三角形ABC的外接圓,點D是的中點,連接BD,CD.以點D為圓心,BD的長為半徑在☉O內畫弧,則陰影部分的面積為( )
A. B.4π C. D.16π
【思路點撥】由題知陰影部分為扇形BDC的面積,求出半徑DB的長度和圓心角∠BDC的度數即可求解.
【考點二】圓柱和圓錐的側面積、全面積計算
【例3】用半徑為30 cm,圓心角為120°的扇形紙片恰好能圍成一個圓錐的側面,則這個圓錐底面半徑為( )
A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.20 cm
【思路點撥】根據圓錐的側面是一個扇形,這個扇形的弧長等于圓錐底面周長即可得.
【方法小結】本題考查了圓錐的計算:圓錐的側面展開圖為一扇形,這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長,扇形的半徑等于圓錐的母線長.
【考點三】正多邊形和圓
【例4】(2024·雅安)如圖,☉O的周長為8π,正六邊形ABCDEF內接于☉O,則△OAB的面積為( )
A.4 B.4 C.6 D.6
【例5】(2023·杭州)如圖,六邊形ABCDEF是☉O的內接正六邊形,設正六邊形ABCDEF的面積為S1,△ACE的面積為S2,則=__ __.
【方法小結】此題考查了圓內接正多邊形的性質、正六邊形和正三角形的性質、全等三角形的性質和判定等知識,解題的關鍵是熟練掌握以上知識點.
【考點四】有關圓的陰影面積
【例6】 (2023·廣元)如圖,半徑為5的扇形AOB中,∠AOB=90°,C是上一點,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分別為D,E,若CD=CE,則圖中陰影部分的面積為( )
A. B. C. D.
【例7】(2024·深圳模擬)如圖所示,扇形AOB的圓心角是直角,半徑為3,C為OA邊上一點,將△BOC沿BC邊折疊,圓心O恰好落在上的點D處,則陰影部分的面積為 _.
【思路點撥】連接OD,則OD=OB,由折疊得DB=OB,則△OBD是等邊三角形,可求得∠OBD=60°,則∠OBC=∠DBC=30°.根據勾股定理求出OC,即可由S陰影=S扇形AOB-S△OBC-S△DBC求出陰影部分的面積.
廣東3年真題
1.(2024·廣州)如圖,圓錐的側面展開圖是一個圓心角為72°的扇形,若扇形的半徑l是5,則該圓錐的體積是( )
A.π B.π C.2π D.π
2.(2024·深圳)如圖,小明在矩形ABCD中裁剪出扇形EOF,BC=AB,O為BC中點,OE=AB=4,則扇形EOF的面積為__ __.
3.(2022·深圳)一個玻璃球體近似半圓O,AB為直徑,半圓O上點C處有個吊燈EF,EF∥AB,CO⊥AB,EF的中點為D,OA=4.
(1)如圖①,CM為一條拉線,M在OB上,OM=1.6,DF=0.8,求CD的長度;
(2)如圖②,一個玻璃鏡與圓O相切,H為切點,M為OB上一點,MH為入射光線,HN為反射光線,∠OHM=∠OHN=45°,tan∠COH=,求ON的長度;
(3)如圖③,M是線段OB上的動點,MH為入射光線,∠HOM=50°,HN為反射光線交半圓O于點N,在M從O運動到B的過程中,求N點的運動路徑長.
4.(2024·廣東)綜合與實踐
【主題】濾紙與漏斗
【素材】如圖1所示:
①一張直徑為10 cm的圓形濾紙;
②一只漏斗口直徑與母線均為7 cm的圓錐形過濾漏斗.
【實踐操作】
步驟1:取一張濾紙;
步驟2:按如圖2所示步驟折疊好濾紙;
步驟3:將其中一層撐開,圍成圓錐形;
步驟4:將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中.
【實踐探索】
(1)濾紙是否能緊貼此漏斗內壁(忽略漏斗管口處) 用你所學的數學知識說明.
(2)當濾紙緊貼漏斗內壁時,求濾紙圍成圓錐形的體積.(結果保留π)

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