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第二十六講　與圓有關的位置關系
知識要點 對點練習
1.點與圓的位置關系 (1)設圓O的半徑為r,點P到圓心的距離為OP=d.則: 點P在圓外 __d>r__;點P在圓上 __d=r__;點P在圓內 __d2.直線與圓的位置關系 (1)三種位置關系:__相交__、__相切__、__相離__. (2)切線的定義、性質與判定: ①定義:和圓有__唯一__公共點的直線. ②性質:圓的切線__垂直于__過切點的直徑. ③判定:經過半徑的外端,并且__垂直__于這條半徑的直線是圓的切線. (3)切線長定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長__相等__,這一點和圓心的連線__平分__兩條切線的夾角. 2.(1)已知☉O的直徑為5,設圓心O到直線l的距離為d,當直線l與☉O相交時,d的取值范圍是__0≤d<2.5__. (2)(教材再開發·人教九上P101T3改編) 如圖,P是☉O外一點,PA,PB分別和☉O切于A,B,C是上任意一點,過C作☉O的切線分別交PA,PB于D,E,若△PDE的周長為20 cm,則PA長為__10__cm__.
3.三角形的內切圓 (1)定義:與三角形各邊都__相切__的圓. (2)三角形的內心:三角形__內切圓__的圓心,是三角形三條__角平分線__的交點. 3.如圖,O是△ABC的內心,∠BOC=100°,則∠A=__20__°.
【考點一】點、直線和圓的位置關系
【例1】點P是非圓上一點,若點P到☉O上的點的最小距離是4 cm,最大距離是9 cm,則☉O的半徑是__6.5__cm或2.5__cm__.
【思路點撥】分點P在☉O外和☉O內兩種情況分析;設☉O的半徑為x cm,根據圓的性質列一元一次方程并求解,即可得到答案.
【方法小結】考點“點和圓的位置關系”多以填空題、選擇題的形式出現.判斷點與圓的位置關系:設☉O的半徑為r,點P到圓心的距離OP=d,則有點P在圓外 d>r;點P在圓上 d=r;點P在圓內 d【例2】(2023·衡陽)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以點C為圓心,r為半徑作圓,當所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時,r的值為 __.
【方法小結】考點“直線和圓的位置關系”多以填空題、選擇題的形式出現.判斷的依據是半徑和直線到圓心的距離的大小關系:設☉O的半徑為r,圓心O到直線l的距離為d,①直線l和☉O相交 dr.
【考點二】切線的性質
【例3】(2024·臨夏州)如圖,直線l與☉O相切于點D,AB為☉O的直徑,過點A作AE⊥l于點E,延長AB交直線l于點C.
(1)求證:AD平分∠CAE;
(2)如果BC=1,DC=3,求☉O的半徑.
【思路點撥】(1)連接OD,先根據切線的性質得到OD⊥CE,再證明OD∥AE得到∠ODA=∠EAD,結合OD=OA,進而判斷AD平分∠CAE;
(2)設☉O的半徑為r,則OB=OD=r,利用勾股定理列出方程,然后解方程即可.
【解析】(1)連接OD,如圖,
∵直線l與☉O相切于點D,∴OD⊥CE.
∵AE⊥CE,∴OD∥AE,∴∠ODA=∠EAD.
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,
∴∠OAD=∠EAD,∴AD平分∠CAE.
(2)設☉O的半徑為r,則OB=OD=r,
在Rt△OCD中,∵OD=r,CD=3,OC=r+1,
∴r2+32=(r+1)2,
解得r=4,即☉O的半徑為4.
【方法小結】考點“切線的性質”,熟練掌握定理及性質是解題的關鍵.注意:若出現圓的切線,必連過切點的半徑,得出垂直關系.簡記作:見切點,連半徑,現垂直.
【考點三】切線的判定
【例4】(2024·甘肅)如圖,AB是☉O的直徑,=,點E在AD的延長線上,
且∠ADC=∠AEB.
(1)求證:BE是☉O的切線;
(2)當☉O的半徑為2,BC=3時,求tan∠AEB的值.
【解析】(1)連接BD,OC,OD,
∵=,∴BC=BD.
∵OC=OD,∴點O,B在CD的垂直平分線上,∴OB垂直平分CD,∴∠AFD=90°.
∵∠ADC=∠AEB,∴CD∥BE,
∴∠ABE=∠AFD=90°,∴AB⊥BE.
∵AB是☉O的直徑,∴BE是☉O的切線.
(2)∵☉O的半徑為2,∴AB=2×2=4.
∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.
∵BC=3,∴AC===,
∴tan∠ABC==.
∵=,∴∠ADC=∠ABC.
∵∠AEB=∠ADC,∴∠AEB=∠ABC,
∴tan∠AEB=tan∠ABC=.
【方法小結】考點“切線的判定”,在判定一條直線為圓的切線時,常用切線的判定定理證明,當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時,常過圓心作該直線的垂線段,證明該線段的長等于半徑,可簡單地說成“無交點,作垂線段,證半徑”;當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時,常連接過該公共點的半徑,證明該半徑垂直于這條直線,可簡單地說成“有交點,作半徑,證垂直”.
【考點四】切線長定理
【例5】(2023·泰安)為了測量一個圓形光盤的半徑,小明把直尺、光盤和三角尺按圖所示放置于桌面上,并量出AB=4 cm,則這張光盤的半徑是__6.9__cm.(精確到0.1 cm.參考數據:≈1.73)
【思路點撥】設光盤的圓心為O,連接OC,OA,OB,經過圓外一點A的兩條直線AC與AB都與圓O相切,根據切線長定理得到AO為兩切線的夾角平分線,由∠CAD的度數求出∠OAB的度數為60°,同時由切線的性質得到OB與AB垂直,在Rt△AOB中,由tan 60°等于對邊OB與鄰邊AB之比,將AB及tan 60°的值代入,求出OB的長,即為圓的半徑.
【方法小結】考點“切線長定理”多以填空題、選擇題的形式出現,切線長定理包含著一些隱含結論:
①垂直關系三處;②全等關系三對;③弧相等關系兩對,在一些證明求解問題中經常用到.
注意:千萬不要理解為切線長就是切線的長度.
廣東3年真題
1.(2024·廣州)如圖,☉O中,弦AB的長為4,點C在☉O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面內有一點P,若OP=5,則點P與☉O的位置關系是(C)
A.點P在☉O上 B.點P在☉O內
C.點P在☉O外 D.無法確定
2.(2024·廣東)如圖,在△ABC中,∠C=90°.
(1)實踐與操作:用尺規作圖法作∠A的平分線AD交BC于點D;(保留作圖痕跡,不要求寫作法)
(2)應用與證明:在(1)的條件下,以點D為圓心,DC長為半徑作☉D.求證:AB與☉D相切.
【解析】(1)如圖,AD即為所求.
(2)過點D作DE⊥AB于點E,
∵AD平分∠BAC,∠C=90°,
∴DE=CD,∴DE為☉D的半徑,
∴AB與☉D相切.
3.(2024·深圳)如圖,A,B,C,D是☉O上的四點,AC是直徑,AB=BD,☉O的切線BE交DC的延長線于點E.
(1)求證:BE⊥DE;
(2)若AB=5,BE=5,求☉O的半徑.
【解析】(1)連接BO并延長交AD于點H,如圖,
∵AB=BD,OA=OD,
∴BO垂直平分AD,
∴∠BHD=90°.
∵BE為☉O的切線,∴OB⊥BE,
∴∠OBE=90°.
∵AC為☉O的直徑,
∴∠ADC=90°,
∴四邊形BEDH為矩形,
∴∠E=90°,∴BE⊥DE.
(2)∵四邊形BEDH為矩形,
∴DH=BE=5.
在Rt△BDH中,∵BD=AB=5,DH=5,
∴BH==5.
設☉O的半徑為r,則OH=5-r,OD=r,
在Rt△ODH中,(5-r)2+52=r2,
解得r=3,即☉O的半徑為3.
4.(2023·廣東)綜合探究
如圖1,在矩形ABCD中(AB>AD),對角線AC,BD相交于點O,點A關于BD的對稱點為A'.連接AA'交BD于點E,連接CA'.
(1)求證:AA'⊥CA';
(2)以點O為圓心,OE為半徑作圓.
①如圖2,☉O與CD相切,求證:AA'=CA';
②如圖3,☉O與CA'相切,AD=1,求☉O的面積.
【解析】(1)∵點A關于BD的對稱點為A',∴AE=A'E,AA'⊥BD,
∵四邊形ABCD是矩形,∴OA=OC,∴OE是△AA'C的中位線,
∴OE∥A'C,∴AA'⊥CA';
(2)①如圖1,設☉O與CD切于點F,連接FO,并延長交AB于點G,
∴OF⊥CD,OF=OE,∵四邊形ABCD是矩形,
∴OB=OD=BD,AB∥CD,AC=BD,OA=AC,
∴OG⊥AB,∠FDO=∠OBG,OA=OB,∴∠GAO=∠GBO,
∵∠DOF=∠BOG,∴△DOF≌△BOG(ASA),
∴OG=OF,∴OG=OE,由(1)知:AA'⊥BD,
∴∠EAO=∠GAO,∵∠EAB+∠GBO=90°,
∴∠EAO+∠GAO+∠GBO=90°,
∴3∠EAO=90°,∴∠EAO=30°,由(1)知:AA'⊥CA',
∴tan∠EAO=,∴tan 30°=,∴AA'=CA';
②如圖2,設☉O切CA'于點H,連接OH,
∴OH⊥CA',由(1)知:AA'⊥BD,AA'⊥CA',OA=OC,
∴OH∥AA',OE∥CA',∴△COH∽△CAA',△AOE∽△ACA',
∴==,==,∴AA'=2OH,CA'=2OE,∴AA'=CA',
∴∠A'AC=∠A'CA=45°,∴∠AOE=∠ACA'=45°,
∴AE=OE,OD=OA=AE,設AE=OE=x,則OD=OA=x,
∴DE=OD-OE=(-1)x,
在Rt△ADE中,由勾股定理得,x2+[(-1)x]2=1,
∴x2=,∴=π·OE2=π.
5.(2024·廣州)如圖,在菱形ABCD中,∠C=120°.點E在射線BC上運動(不與點B,點C重合),△AEB關于AE的軸對稱圖形為△AEF.
(1)當∠BAF=30°時,試判斷線段AF和線段AD的數量和位置關系,并說明理由;
(2)若AB=6+6,☉O為△AEF的外接圓,設☉O的半徑為r.
①求r的取值范圍;
②連接FD,直線FD能否與☉O相切 如果能,求BE的長度;如果不能,請說明理由.
【解析】(1)AF=AD,AF⊥AD,理由如下:
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠BAD=∠C=120°.
∵△ABE和△AFE關于AE軸對稱,
∴AB=AF,∴AF=AD.
∵∠BAF=30°,
∴∠DAF=∠BAD-∠BAF=90°,
∴AF⊥AD.
(2)①如圖,設△AEF的外接圓圓心為O,連接OA,OE,作OG⊥AE于點G,作AH⊥BC于點H.
∵∠AFE=∠ABE=60°,
∴∠AOE=120°.
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA=30°,
∴OA==AG.
∴r=OA=AG=·AE=AE.
在Rt△ABH中,AH=AB·sin 60°=9+3,
∵AE≥AH,且點E不與B,C重合,
∴AE≥9+3,且AE≠6+6,
∴r≥3+3,且r≠2+6.
②能相切,此時BE=12,理由如下:
假設能相切,如圖畫出示意圖,設△AEF的外接圓圓心為O,連接OA,OF,作EH⊥AB于點H,
設∠AFD=α,則∠AEF=∠AEB=α(弦切角),
∴∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-2α.
∵AF=AD,∴∠ADF=∠AFD=α,
∴∠DAF=180°-2α.
∵∠CEF=∠CAF,
∴∠CAF=180°-2α=∠DAF.
∵∠CAD=∠BAD=60°,
∴∠CAF=180°-2α=∠DAF=30°,
∴α=75°,即∠AEB=75°.
作EH⊥AB于點H,
∵∠B=60°,∴∠BEH=30°,
∴∠AEH=∠EAH=45°.
設BH=m,則EH=AH=m,BE=2m.
∵AB=6+6,
∴m+m=6+6,
∴m=6,∴BE=12.第二十六講　與圓有關的位置關系
知識要點 對點練習
1.點與圓的位置關系 (1)設圓O的半徑為r,點P到圓心的距離為OP=d.則: 點P在圓外 __ __;點P在圓上 __ __;點P在圓內 __ __. (2)確定圓的條件:不在同一直線上的三個點確定__ __圓. (3)三角形的外心:三角形外接圓的圓心,三角形三邊的__ __的交點. 1.(1)若☉O的半徑是4,點A在☉O內,則OA的長可能是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 (2)給定下列條件可以確定唯一的一個圓的是( ) A.已知圓心 B.已知半徑 C.已知直徑 D.不在同一直線上的三個點 　(3)(教材再開發·人教九上P101T2改編)△ABC的三邊長分別為6,8,10,則△ABC的外接圓的半徑為__ __.
2.直線與圓的位置關系 (1)三種位置關系:__ __、__ __、__ __. (2)切線的定義、性質與判定: ①定義:和圓有__ __公共點的直線. ②性質:圓的切線__ __過切點的直徑. ③判定:經過半徑的外端,并且__ __于這條半徑的直線是圓的切線. (3)切線長定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長__ __,這一點和圓心的連線__ __兩條切線的夾角. 2.(1)已知☉O的直徑為5,設圓心O到直線l的距離為d,當直線l與☉O相交時,d的取值范圍是__ __. (2)(教材再開發·人教九上P101T3改編) 如圖,P是☉O外一點,PA,PB分別和☉O切于A,B,C是上任意一點,過C作☉O的切線分別交PA,PB于D,E,若△PDE的周長為20 cm,則PA長為__ __ __.
3.三角形的內切圓 (1)定義:與三角形各邊都__ __的圓. (2)三角形的內心:三角形__ __的圓心,是三角形三條__ __的交點. 3.如圖,O是△ABC的內心,∠BOC=100°,則∠A=__ __°.
【考點一】點、直線和圓的位置關系
【例1】點P是非圓上一點,若點P到☉O上的點的最小距離是4 cm,最大距離是9 cm,則☉O的半徑是__ __ __ __.
【思路點撥】分點P在☉O外和☉O內兩種情況分析;設☉O的半徑為x cm,根據圓的性質列一元一次方程并求解,即可得到答案.
【方法小結】考點“點和圓的位置關系”多以填空題、選擇題的形式出現.判斷點與圓的位置關系:設☉O的半徑為r,點P到圓心的距離OP=d,則有點P在圓外 d>r;點P在圓上 d=r;點P在圓內 d【例2】(2023·衡陽)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以點C為圓心,r為半徑作圓,當所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時,r的值為 __.
【方法小結】考點“直線和圓的位置關系”多以填空題、選擇題的形式出現.判斷的依據是半徑和直線到圓心的距離的大小關系:設☉O的半徑為r,圓心O到直線l的距離為d,①直線l和☉O相交 dr.
【考點二】切線的性質
【例3】(2024·臨夏州)如圖,直線l與☉O相切于點D,AB為☉O的直徑,過點A作AE⊥l于點E,延長AB交直線l于點C.
(1)求證:AD平分∠CAE;
(2)如果BC=1,DC=3,求☉O的半徑.
【思路點撥】(1)連接OD,先根據切線的性質得到OD⊥CE,再證明OD∥AE得到∠ODA=∠EAD,結合OD=OA,進而判斷AD平分∠CAE;
(2)設☉O的半徑為r,則OB=OD=r,利用勾股定理列出方程,然后解方程即可.
【方法小結】考點“切線的性質”,熟練掌握定理及性質是解題的關鍵.注意:若出現圓的切線,必連過切點的半徑,得出垂直關系.簡記作:見切點,連半徑,現垂直.
【考點三】切線的判定
【例4】(2024·甘肅)如圖,AB是☉O的直徑,=,點E在AD的延長線上,
且∠ADC=∠AEB.
(1)求證:BE是☉O的切線;
(2)當☉O的半徑為2,BC=3時,求tan∠AEB的值.
【方法小結】考點“切線的判定”,在判定一條直線為圓的切線時,常用切線的判定定理證明,當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時,常過圓心作該直線的垂線段,證明該線段的長等于半徑,可簡單地說成“無交點,作垂線段,證半徑”;當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時,常連接過該公共點的半徑,證明該半徑垂直于這條直線,可簡單地說成“有交點,作半徑,證垂直”.
【考點四】切線長定理
【例5】(2023·泰安)為了測量一個圓形光盤的半徑,小明把直尺、光盤和三角尺按圖所示放置于桌面上,并量出AB=4 cm,則這張光盤的半徑是__ __cm.(精確到0.1 cm.參考數據:≈1.73)
【思路點撥】設光盤的圓心為O,連接OC,OA,OB,經過圓外一點A的兩條直線AC與AB都與圓O相切,根據切線長定理得到AO為兩切線的夾角平分線,由∠CAD的度數求出∠OAB的度數為60°,同時由切線的性質得到OB與AB垂直,在Rt△AOB中,由tan 60°等于對邊OB與鄰邊AB之比,將AB及tan 60°的值代入,求出OB的長,即為圓的半徑.
【方法小結】考點“切線長定理”多以填空題、選擇題的形式出現,切線長定理包含著一些隱含結論:
①垂直關系三處;②全等關系三對;③弧相等關系兩對,在一些證明求解問題中經常用到.
注意:千萬不要理解為切線長就是切線的長度.
廣東3年真題
1.(2024·廣州)如圖,☉O中,弦AB的長為4,點C在☉O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面內有一點P,若OP=5,則點P與☉O的位置關系是( )
A.點P在☉O上 B.點P在☉O內
C.點P在☉O外 D.無法確定
2.(2024·廣東)如圖,在△ABC中,∠C=90°.
(1)實踐與操作:用尺規作圖法作∠A的平分線AD交BC于點D;(保留作圖痕跡,不要求寫作法)
(2)應用與證明:在(1)的條件下,以點D為圓心,DC長為半徑作☉D.求證:AB與☉D相切.
3.(2024·深圳)如圖,A,B,C,D是☉O上的四點,AC是直徑,AB=BD,☉O的切線BE交DC的延長線于點E.
(1)求證:BE⊥DE;
(2)若AB=5,BE=5,求☉O的半徑.
4.(2023·廣東)綜合探究
如圖1,在矩形ABCD中(AB>AD),對角線AC,BD相交于點O,點A關于BD的對稱點為A'.連接AA'交BD于點E,連接CA'.
(1)求證:AA'⊥CA';
(2)以點O為圓心,OE為半徑作圓.
①如圖2,☉O與CD相切,求證:AA'=CA';
②如圖3,☉O與CA'相切,AD=1,求☉O的面積.
5.(2024·廣州)如圖,在菱形ABCD中,∠C=120°.點E在射線BC上運動(不與點B,點C重合),△AEB關于AE的軸對稱圖形為△AEF.
(1)當∠BAF=30°時,試判斷線段AF和線段AD的數量和位置關系,并說明理由;
(2)若AB=6+6,☉O為△AEF的外接圓,設☉O的半徑為r.
①求r的取值范圍;
②連接FD,直線FD能否與☉O相切 如果能,求BE的長度;如果不能,請說明理由.

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