資源簡介

第五講　一次方程(組)及其應用
知識要點 對點練習
1.等式的性質 等式的性質1:如果a=b,那么a±c= ; 等式的性質2:如果a=b,那么ac= ; 如果a=b,那么= (c≠0). 1.根據等式的性質,下列各式變形正確的是( ) A.若=,則a=b B.若ac=bc,則a=b C.若a2=b2,則a=b D.若-x=6,則x=-2
2.一元一次方程及其解法 (1)定義:含有 未知數,且未知數的 ,等號兩邊都是 的方程. (2)一元一次方程的解:能使一元一次方程左右兩邊 的未知數的值. (3)解一元一次方程的步驟:去分母、 、 、 、系數化為1. 2.(1)在下列方程:①3x-y=2,②x2-2x-3=0,③=1,④=1,⑤m-5=m中,一元一次方程的個數為( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 (2)方程3x=2x+7的解是( ) A.x=4 B.x=-4 C.x=7 D.x=-7
3.二元一次方程組及其解法 (1)定義:含有 個未知數,并且含有 的次數都是1的 方程叫做二元一次方程.把具有相同未知數的兩個二元一次方程組合在一起叫做二元一次方程組. (2)二元一次方程組的解:能夠使方程組的每個方程都成立的未知數的值. (3)解二元一次方程組的思想: . (4)解法:① 消元法. ② 消元法. 3.(1)下列方程中,是二元一次方程的是( ) A.3x+2y=7 B.3x3-2x=1 C.x-2=3 D.x-1= (2)已知二元一次方程組,則x-y的值為 . (3)(教材再開發·人教七下P91例1改編) 解方程組.
考點一等式的基本性質
【例1】(2024·貴州)小紅學習了等式的基本性質后,在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入“■”“●”“▲”三種物體,如圖所示,天平都保持平衡.若設“■”與“●”的質量分別為x,y,則下列關系式正確的是( )
A.x=y B.x=2y
C.x=4y D.x=5y
考點二一元一次方程
【例2】(2023·永州)關于x的一元一次方程2x+m=5的解為 x=1,則m的值為( )
A.3　 B.-3　 C.7　 D.-7
【方法小結】本題考查了解一元一次方程和一元一次方程的解,能熟記方程的解的定義是解此題的關鍵,注意:使方程左右兩邊相等的未知數的值,叫方程的解.
考點三二元一次方程(組)
【例3】(2022·雅安)已知是方程ax+by=3的解,則代數式2a+4b-5的值為 .
【思路點撥】把二元一次方程的解代入方程中,得到關于a,b的二元一次方程,利用整體法代入即可.
【方法小結】本題考查了二元一次方程的解,把二元一次方程的解代入方程中,得到關于a,b的一元一次方程是解題的關鍵.
考點四一次方程的應用
【例4】(2024·貴州)在元朝朱世杰所著的《算術啟蒙》中,記載了一道題,大意是:快馬每天行240里,慢馬每天行150里,慢馬先行12天,則快馬追上慢馬需要 天.
【思路點撥】設快馬追上慢馬需要x天,利用路程=速度×時間,結合快馬追上慢馬時快馬和慢馬跑的路程相等,可列出關于x的一元一次方程,解之即可得出結論.
【方法小結】本題考查了一元一次方程的應用,找準等量關系,正確列出一元一次方程是解題的關鍵.
考點五一次方程組的應用
【例5】(2024·吉林)鋼琴素有“樂器之王”的美稱,鍵盤上白色琴鍵和黑色琴鍵共有88個,白色琴鍵比黑色琴鍵多16個.求白色琴鍵和黑色琴鍵的個數.
【思路點撥】設白色琴鍵有x個,黑色琴鍵有y個,根據鍵盤上白色琴鍵和黑色琴鍵共有88個,白色琴鍵比黑色琴鍵多16個.列出二元一次方程組,解方程組即可.
【方法小結】本題考查了二元一次方程組的應用,找準等量關系,正確列出二元一次方程組是解題的關鍵.
廣東3年真題
1.(2022·深圳)張三經營了一家草場,草場里面種植上等草和下等草.他賣五捆上等草的根數減去11根,就等于七捆下等草的根數;賣七捆上等草的根數減去25根,就等于五捆下等草的根數.設上等草一捆為x根,下等草一捆為y根,則下列方程組正確的是( )
A. B.
C. D.
2.(2024·廣州)某新能源車企今年5月交付新車35 060輛,且今年5月交付新車的數量比去年5月交付的新車數量的1.2倍還多1 100輛.設該車企去年5月交付新車x輛,根據題意,可列方程為( )
A.1.2x+1 100=35 060
B.1.2x-1 100=35 060
C.1.2(x+1 100)=35 060
D.x-1 100=35 060×1.2
3. (2024·深圳)在明朝程大位《算法統宗》中有首住店詩:我問開店李三公,眾客都來到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.詩的大意是:一些客人到李三公的店中住宿,如果每一間客房住7人,那么有7人無房可住;如果每一間客房住9人,那么就空出一間房.設該店有客房x間,房客y人,則可列方程組為( )
A. B.
C. D.
4.(2022·廣東)《九章算術》是我國古代的數學專著,幾名學生要湊錢購買1本.若每人出8元,則多了3元;若每人出7元,則少了4元.問學生人數和該書單價各是多少 第五講　一次方程(組)及其應用
知識要點 對點練習
1.等式的性質 等式的性質1:如果a=b,那么a±c= b±c ; 等式的性質2:如果a=b,那么ac= bc ; 如果a=b,那么= (c≠0). 1.根據等式的性質,下列各式變形正確的是(A) A.若=,則a=b B.若ac=bc,則a=b C.若a2=b2,則a=b D.若-x=6,則x=-2
2.一元一次方程及其解法 (1)定義:含有 一個 未知數,且未知數的 次數為1 ,等號兩邊都是 整式 的方程. (2)一元一次方程的解:能使一元一次方程左右兩邊 相等 的未知數的值. (3)解一元一次方程的步驟:去分母、 去括號 、 移項 、 合并同類項 、系數化為1. 2.(1)在下列方程:①3x-y=2,②x2-2x-3=0,③=1,④=1,⑤m-5=m中,一元一次方程的個數為(B) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 (2)方程3x=2x+7的解是(C) A.x=4 B.x=-4 C.x=7 D.x=-7
3.二元一次方程組及其解法 (1)定義:含有 兩 個未知數,并且含有 未知數的項 的次數都是1的 整式 方程叫做二元一次方程.把具有相同未知數的兩個二元一次方程組合在一起叫做二元一次方程組. (2)二元一次方程組的解:能夠使方程組的每個方程都成立的未知數的值. (3)解二元一次方程組的思想: 消元 . (4)解法:① 代入 消元法. ② 加減 消元法. 3.(1)下列方程中,是二元一次方程的是(A) A.3x+2y=7 B.3x3-2x=1 C.x-2=3 D.x-1= (2)已知二元一次方程組,則x-y的值為 1 . (3)(教材再開發·人教七下P91例1改編) 解方程組. 【解析】, ①+②得:5x=15, 解得:x=3, 將x=3代入①得:3×3+y=8,解得:y=-1, 故原方程組的解為.
考點一等式的基本性質
【例1】(2024·貴州)小紅學習了等式的基本性質后,在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入“■”“●”“▲”三種物體,如圖所示,天平都保持平衡.若設“■”與“●”的質量分別為x,y,則下列關系式正確的是(C)
A.x=y B.x=2y
C.x=4y D.x=5y
考點二一元一次方程
【例2】(2023·永州)關于x的一元一次方程2x+m=5的解為 x=1,則m的值為(A)
A.3　 B.-3　 C.7　 D.-7
【方法小結】本題考查了解一元一次方程和一元一次方程的解,能熟記方程的解的定義是解此題的關鍵,注意:使方程左右兩邊相等的未知數的值,叫方程的解.
考點三二元一次方程(組)
【例3】(2022·雅安)已知是方程ax+by=3的解,則代數式2a+4b-5的值為 1 .
【思路點撥】把二元一次方程的解代入方程中,得到關于a,b的二元一次方程,利用整體法代入即可.
【方法小結】本題考查了二元一次方程的解,把二元一次方程的解代入方程中,得到關于a,b的一元一次方程是解題的關鍵.
考點四一次方程的應用
【例4】(2024·貴州)在元朝朱世杰所著的《算術啟蒙》中,記載了一道題,大意是:快馬每天行240里,慢馬每天行150里,慢馬先行12天,則快馬追上慢馬需要 20 天.
【思路點撥】設快馬追上慢馬需要x天,利用路程=速度×時間,結合快馬追上慢馬時快馬和慢馬跑的路程相等,可列出關于x的一元一次方程,解之即可得出結論.
【方法小結】本題考查了一元一次方程的應用,找準等量關系,正確列出一元一次方程是解題的關鍵.
考點五一次方程組的應用
【例5】(2024·吉林)鋼琴素有“樂器之王”的美稱,鍵盤上白色琴鍵和黑色琴鍵共有88個,白色琴鍵比黑色琴鍵多16個.求白色琴鍵和黑色琴鍵的個數.
【思路點撥】設白色琴鍵有x個,黑色琴鍵有y個,根據鍵盤上白色琴鍵和黑色琴鍵共有88個,白色琴鍵比黑色琴鍵多16個.列出二元一次方程組,解方程組即可.
【解析】設白色琴鍵有x個,黑色琴鍵有y個,
由題意得:,
解得,
答:白色琴鍵有52個,黑色琴鍵有36個.
【方法小結】本題考查了二元一次方程組的應用,找準等量關系,正確列出二元一次方程組是解題的關鍵.
廣東3年真題
1.(2022·深圳)張三經營了一家草場,草場里面種植上等草和下等草.他賣五捆上等草的根數減去11根,就等于七捆下等草的根數;賣七捆上等草的根數減去25根,就等于五捆下等草的根數.設上等草一捆為x根,下等草一捆為y根,則下列方程組正確的是(C)
A. B.
C. D.
2.(2024·廣州)某新能源車企今年5月交付新車35 060輛,且今年5月交付新車的數量比去年5月交付的新車數量的1.2倍還多1 100輛.設該車企去年5月交付新車x輛,根據題意,可列方程為(A)
A.1.2x+1 100=35 060
B.1.2x-1 100=35 060
C.1.2(x+1 100)=35 060
D.x-1 100=35 060×1.2
3. (2024·深圳)在明朝程大位《算法統宗》中有首住店詩:我問開店李三公,眾客都來到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.詩的大意是:一些客人到李三公的店中住宿,如果每一間客房住7人,那么有7人無房可住;如果每一間客房住9人,那么就空出一間房.設該店有客房x間,房客y人,則可列方程組為(A)
A. B.
C. D.
4.(2022·廣東)《九章算術》是我國古代的數學專著,幾名學生要湊錢購買1本.若每人出8元,則多了3元;若每人出7元,則少了4元.問學生人數和該書單價各是多少
【解析】設學生有x人,該書單價為y元,
根據題意得:,
解得:.
答:學生有7人,該書單價為53元.

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