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第七講　一元二次方程及其應(yīng)用
知識要點 對點練習
1.一元二次方程的概念 (1)定義:只含有 個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 的整式方程. (2)一般形式: . 1.下列方程中是一元二次方程的是( ) A.(x-2)2+4=x2　　 B.x2+2x+2=0 C.x2+-3=0 D.xy+2=1
2.一元二次方程的解法 2.(教材再開發(fā)·人教九上P7例1改編)一元二次方程x2+4x-8=0的解是( ) A.x1=2+2,x2=2-2 B.x1=2+2,x2=2-2 C.x1=-2+2,x2=-2-2 D.x1=-2+2,x2=-2-2
3.根的判別式與一元二次方程的根的情況 (1)Δ=b2-4ac>0 方程 的實數(shù)根. (2)Δ=b2-4ac=0 方程 的實數(shù)根. (3)Δ=b2-4ac<0 方程 實數(shù)根. 3.已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+6x+1=0沒有實數(shù)根,那么a的取值范圍是 .
4.根與系數(shù)的關(guān)系 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數(shù)根是x1,x2,那么x1+x2= ,x1·x2= . 4.(教材再開發(fā)·人教九上P16例4改編) 已知x1,x2是方程2x2-3x+1=0的兩根,則代數(shù)式的值為 .
5.一元二次方程的應(yīng)用 常考類型及公式: (1)面積問題:S矩形=長×寬,S△=×底×高; (2)增長率問題:原量×(1+x)2=新量; (3)互贈、握手問題: x人互贈:x(x-1),x人兩兩握手:x(x-1); (4)營銷問題:總利潤=一件利潤×銷售量. 5.(教材再開發(fā)·人教九上P22T7改編) 某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位1 501個,并按計劃逐月增長,預(yù)計八月份將提供崗位1 815個,設(shè)七、八兩個月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長率為x,根據(jù)題意,可列方程為 .
考點一一元二次方程的根
【例1】(2024·涼山州)若關(guān)于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一個根是x=0,則a的值為( )
A.2 B.-2
C.2或-2 D.
【方法小結(jié)】已知一元二次方程的根,求某些未知系數(shù)的值的步驟:把方程的解代入原方程,可以使方程成立,從而得到一個新的方程,通過解這個方程,可以求出某些字母的值或者可以利用整體法求出代數(shù)式的值.
考點二一元二次方程的解法
【例2】解方程:(1)(x-1)2=49;　　
(2)3(x-5)2=2(5-x);　　
(3)x2+3x-5=0.
【思路點撥】(1)可用直接開平方法求解.(2)可用因式分解法求解.(3)可用公式法求解.
【方法小結(jié)】(1)若一元二次方程缺少常數(shù)項,且方程的右邊為0,可考慮用因式分解法求解;
(2)若一元二次方程缺少一次項,可考慮用因式分解法或直接開平方法求解;
(3)若一元二次方程的二次項系數(shù)為1,且一次項的系數(shù)是偶數(shù)時或常數(shù)項非常大時,可考慮用配方法求解;
(4)若用以上三種方法都不容易求解時,可考慮用公式法求解.用公式法求解時必須化為一般形式.
考點三一元二次方程根的判別式
【例3】(1)(2024·自貢)關(guān)于x的方程x2+mx-2=0根的情況是( )
A.有兩個不相等的實數(shù)根
B.有兩個相等的實數(shù)根
C.只有一個實數(shù)根
D.沒有實數(shù)根
(2)(2023·揚州)若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍為 .
【思路點撥】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到Δ=22-4×1×k>0,然后求出k的范圍.
【方法小結(jié)】考點“一元二次方程根的判別式”在近年中考中多見于選擇題,判斷方程解的情況根據(jù)一元二次方程的根的判別式判斷即可,但要注意一元二次方程的根的判別式應(yīng)用時必須滿足a≠0;一元二次方程有解分兩種情況:①有兩個相等的實數(shù)根;②有兩個不相等的實數(shù)根.
考點四一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
【例4】(2024·樂山)若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+p=0的兩根為x1,x2,且+=3,則p的值為( )
A.- B. C.-6 D.6
【思路點撥】由根與系數(shù)的關(guān)系可得:x1+x2=-2,x1x2=p,再結(jié)合所給的條件求出p的值.
【方法小結(jié)】一元二次方程問題中,當出現(xiàn)方程解的和與積時,常運用根與系數(shù)的關(guān)系求解.運用根與系數(shù)的關(guān)系時需注意:①方程有解;②a≠0.
考點五一元二次方程的應(yīng)用
【例5】 (2023·東營)如圖,老李想用長為70 m的柵欄,再借助房屋的外墻(外墻足夠長)圍成一個矩形羊圈ABCD,并在邊BC上留一個2 m寬的門(建在EF處,另用其他材料).
(1)當羊圈的長和寬分別為多少米時,能圍成一個面積為640 m2的羊圈
(2)羊圈的面積能達到650 m2嗎 如果能,請你給出設(shè)計方案;如果不能,請說明理由.
【方法小結(jié)】找出相等關(guān)系列出一元二次方程是解決問題的關(guān)鍵,還應(yīng)注意的是一元二次方程的解,有可能不符合題意,如線段的長度不能為負數(shù),降低率不能大于100%等.因此,解出方程的根后,一定要進行檢驗.
廣東3年真題
1.(2024·深圳)一元二次方程x2-4x+a=0的一個解為x=1,則a= .
2.(2024·廣東)若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+c=0有兩個相等的實數(shù)根,則c= .
3.(2024·廣州)關(guān)于x的方程x2-2x+4-m=0有兩個不相等的實數(shù)根.
(1)求m的取值范圍;
(2)化簡:÷·.第七講　一元二次方程及其應(yīng)用
知識要點 對點練習
1.一元二次方程的概念 (1)定義:只含有 1 個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程. (2)一般形式: ax2+bx+c=0(a≠0) . 1.下列方程中是一元二次方程的是(B) A.(x-2)2+4=x2　　 B.x2+2x+2=0 C.x2+-3=0 D.xy+2=1
2.一元二次方程的解法 2.(教材再開發(fā)·人教九上P7例1改編)一元二次方程x2+4x-8=0的解是(D) A.x1=2+2,x2=2-2 B.x1=2+2,x2=2-2 C.x1=-2+2,x2=-2-2 D.x1=-2+2,x2=-2-2
3.根的判別式與一元二次方程的根的情況 (1)Δ=b2-4ac>0 方程 有兩個不相等 的實數(shù)根. (2)Δ=b2-4ac=0 方程 有兩個相等 的實數(shù)根. (3)Δ=b2-4ac<0 方程 沒有 實數(shù)根. 3.已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+6x+1=0沒有實數(shù)根,那么a的取值范圍是 a>9 .
4.根與系數(shù)的關(guān)系 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數(shù)根是x1,x2,那么x1+x2= - ,x1·x2= . 4.(教材再開發(fā)·人教九上P16例4改編) 已知x1,x2是方程2x2-3x+1=0的兩根,則代數(shù)式的值為 1 .
5.一元二次方程的應(yīng)用 常考類型及公式: (1)面積問題:S矩形=長×寬,S△=×底×高; (2)增長率問題:原量×(1+x)2=新量; (3)互贈、握手問題: x人互贈:x(x-1),x人兩兩握手:x(x-1); (4)營銷問題:總利潤=一件利潤×銷售量. 5.(教材再開發(fā)·人教九上P22T7改編) 某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位1 501個,并按計劃逐月增長,預(yù)計八月份將提供崗位1 815個,設(shè)七、八兩個月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長率為x,根據(jù)題意,可列方程為 1 501(1+x)2=1 815 .
考點一一元二次方程的根
【例1】(2024·涼山州)若關(guān)于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一個根是x=0,則a的值為(A)
A.2 B.-2
C.2或-2 D.
【方法小結(jié)】已知一元二次方程的根,求某些未知系數(shù)的值的步驟:把方程的解代入原方程,可以使方程成立,從而得到一個新的方程,通過解這個方程,可以求出某些字母的值或者可以利用整體法求出代數(shù)式的值.
考點二一元二次方程的解法
【例2】解方程:(1)(x-1)2=49;　　
(2)3(x-5)2=2(5-x);　　
(3)x2+3x-5=0.
【思路點撥】(1)可用直接開平方法求解.(2)可用因式分解法求解.(3)可用公式法求解.
【解析】(1)開平方,得x-1=±7,即x-1=7或x-1=-7,所以x1=8,x2=-6.
(2)移項,得3(x-5)2+2(x-5)=0,(x-5)[3(x-5)+2]=0,
即(x-5)(3x-13)=0,x-5=0或3x-13=0,x1=5,x2=.
(3)∵a=1,b=3,c=-5,∴b2-4ac=32-4×1×(-5)=29,
∴x==,∴x1=,x2=.
【方法小結(jié)】(1)若一元二次方程缺少常數(shù)項,且方程的右邊為0,可考慮用因式分解法求解;
(2)若一元二次方程缺少一次項,可考慮用因式分解法或直接開平方法求解;
(3)若一元二次方程的二次項系數(shù)為1,且一次項的系數(shù)是偶數(shù)時或常數(shù)項非常大時,可考慮用配方法求解;
(4)若用以上三種方法都不容易求解時,可考慮用公式法求解.用公式法求解時必須化為一般形式.
考點三一元二次方程根的判別式
【例3】(1)(2024·自貢)關(guān)于x的方程x2+mx-2=0根的情況是(A)
A.有兩個不相等的實數(shù)根
B.有兩個相等的實數(shù)根
C.只有一個實數(shù)根
D.沒有實數(shù)根
(2)(2023·揚州)若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍為 k<1 .
【思路點撥】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到Δ=22-4×1×k>0,然后求出k的范圍.
【方法小結(jié)】考點“一元二次方程根的判別式”在近年中考中多見于選擇題,判斷方程解的情況根據(jù)一元二次方程的根的判別式判斷即可,但要注意一元二次方程的根的判別式應(yīng)用時必須滿足a≠0;一元二次方程有解分兩種情況:①有兩個相等的實數(shù)根;②有兩個不相等的實數(shù)根.
考點四一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
【例4】(2024·樂山)若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+p=0的兩根為x1,x2,且+=3,則p的值為(A)
A.- B. C.-6 D.6
【思路點撥】由根與系數(shù)的關(guān)系可得:x1+x2=-2,x1x2=p,再結(jié)合所給的條件求出p的值.
【方法小結(jié)】一元二次方程問題中,當出現(xiàn)方程解的和與積時,常運用根與系數(shù)的關(guān)系求解.運用根與系數(shù)的關(guān)系時需注意:①方程有解;②a≠0.
考點五一元二次方程的應(yīng)用
【例5】 (2023·東營)如圖,老李想用長為70 m的柵欄,再借助房屋的外墻(外墻足夠長)圍成一個矩形羊圈ABCD,并在邊BC上留一個2 m寬的門(建在EF處,另用其他材料).
(1)當羊圈的長和寬分別為多少米時,能圍成一個面積為640 m2的羊圈
(2)羊圈的面積能達到650 m2嗎 如果能,請你給出設(shè)計方案;如果不能,請說明理由.
【解析】設(shè)矩形ABCD的邊AB=x m,則邊BC=70-2x+2=(72-2x)m.
(1)根據(jù)題意,得x(72-2x)=640,化簡,得x2-36x+320=0,解得x1=16,x2=20,
當x=16時,72-2x=72-32=40;當x=20時,72-2x=72-40=32.
答:當羊圈的長為40 m,寬為16 m或長為32 m,寬為20 m時,能圍成一個面積為640 m2的羊圈;
(2)不能,理由:由題意得x(72-2x)=650,
化簡,得x2-36x+325=0,Δ=(-36)2-4×325=-4<0,
∴一元二次方程沒有實數(shù)根.∴羊圈的面積不能達到650 m2.
【方法小結(jié)】找出相等關(guān)系列出一元二次方程是解決問題的關(guān)鍵,還應(yīng)注意的是一元二次方程的解,有可能不符合題意,如線段的長度不能為負數(shù),降低率不能大于100%等.因此,解出方程的根后,一定要進行檢驗.
廣東3年真題
1.(2024·深圳)一元二次方程x2-4x+a=0的一個解為x=1,則a= 3 .
2.(2024·廣東)若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+c=0有兩個相等的實數(shù)根,則c= 1 .
3.(2024·廣州)關(guān)于x的方程x2-2x+4-m=0有兩個不相等的實數(shù)根.
(1)求m的取值范圍;
(2)化簡:÷·.
【解析】(1)根據(jù)題意得Δ=(-2)2-4(4-m)>0,解得m>3;
(2)∵m>3,∴m-3>0,
∴÷·=··=-2.

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