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第六講　分式方程及其應(yīng)用
知識(shí)要點(diǎn) 對(duì)點(diǎn)練習(xí)
1.分式方程的定義及解法 (1)定義: 中含有未知數(shù)的方程. (2)解法 ①基本思想:將分式方程轉(zhuǎn)化為 方程. ②方法:去分母,即方程兩邊同乘以 . ③解分式方程時(shí),求出的未知數(shù)的值,可能會(huì)使分式無(wú)意義,因此,解分式方程必須檢驗(yàn). 1.(1)(2024·德陽(yáng))分式方程=的解是( ) A.3 B.2 C. D. (2)若關(guān)于x的分式方程-=1(m為常數(shù))有增根,則增根是 .
2.列分式方程解應(yīng)用題 與列一元一次方程解應(yīng)用題相同,基本步驟是審題、設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、檢驗(yàn)并作答. 2.(2024·臨夏州)端午節(jié)期間,某商家推出“優(yōu)惠酬賓”活動(dòng),決定每袋粽子降價(jià)2元銷(xiāo)售.細(xì)心的小夏發(fā)現(xiàn),降價(jià)后用240元可以比降價(jià)前多購(gòu)買(mǎi)10袋,求每袋粽子的原價(jià)是多少元 設(shè)每袋粽子的原價(jià)是x元,所得方程正確的是( ) A.-=10 B.-=10 C.-=10 D.-=10
考點(diǎn)一分式方程的定義
【例1】下列方程中,是分式方程的是( )
A.+ B.x2+1=2
C.+1=2 D.=0
【方法小結(jié)】考點(diǎn)“分式方程的定義”多見(jiàn)于選擇題,要根據(jù)定義判斷,首先是方程,其次分母含有未知數(shù),二者缺一不可.
考點(diǎn)二分式方程的解法
【例2】(2024·遂寧)分式方程=1-的解為正數(shù),則m的取值范圍是( )
A.m>-3 B.m>-3且m≠-2
C.m<3 D.m<3且m≠-2
【方法小結(jié)】去分母——將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,是解分式方程的關(guān)鍵步驟,主要步驟是:先確定最簡(jiǎn)公分母,然后方程兩邊(即每一項(xiàng))都乘這個(gè)最簡(jiǎn)公分母,化為整式方程.注意不要漏乘常數(shù)項(xiàng).
【例3】(1)(2023·廣西)解分式方程:=.
(2)(2024·福建)解方程:+1=.
【方法小結(jié)】解分式方程是中考高頻考點(diǎn),常見(jiàn)選擇題、填空題和解答題中.步驟有三步:(1)去分母——將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程(注意不要漏乘常數(shù)項(xiàng));(2)解這個(gè)整式方程(確保計(jì)算正確);(3)檢驗(yàn)(容易遺漏,驗(yàn)根過(guò)程是解分式方程獨(dú)有的特征).
考點(diǎn)三分式方程的應(yīng)用
【例4】(2024·達(dá)州)甲、乙兩人各自加工120個(gè)零件,甲由于個(gè)人原因沒(méi)有和乙同時(shí)進(jìn)行,乙先加工30分鐘后,甲開(kāi)始加工.甲為了追趕上乙的進(jìn)度,加工的速度是乙的1.2倍,最后兩人同時(shí)完成.求乙每小時(shí)加工零件多少個(gè) 設(shè)乙每小時(shí)加工x個(gè)零件,可列方程為( )
A.-=30 B.-=30
C.-= D.-=
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可以得到相等關(guān)系:乙用的時(shí)間-甲用的時(shí)間=小時(shí),據(jù)此列出方程即可.
【例5】(2024·新疆)某校九年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校20 km的科技館研學(xué),一部分學(xué)生乘甲車(chē)先出發(fā),5 min后其余學(xué)生再乘乙車(chē)出發(fā),結(jié)果同時(shí)到達(dá).已知乙車(chē)的速度是甲車(chē)速度的1.2倍,設(shè)甲車(chē)的速度為x km/h,根據(jù)題意可列方程( )
A.-=5 B.-=5
C.-= D.-=
【思路點(diǎn)撥】設(shè)甲車(chē)的速度為x km/h,則乙車(chē)的速度為1.2x km/h,根據(jù)一部分學(xué)生乘甲車(chē)先出發(fā),5 min后其余學(xué)生再乘乙車(chē)出發(fā),結(jié)果同時(shí)到達(dá).列出分式方程即可.
【方法小結(jié)】本題考查分式方程的應(yīng)用,分析題意,找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.此類(lèi)題目一般有兩個(gè)等量關(guān)系,其中一個(gè)等量關(guān)系為設(shè)未知數(shù)服務(wù),另一個(gè)等量關(guān)系用于列方程,如此例中的甲車(chē)速度和乙車(chē)速度的關(guān)系用于設(shè)未知數(shù),時(shí)間關(guān)系用于列方程.此外一定要注意驗(yàn)根.
廣東3年真題
1.(2024·廣東)方程=的解是( )
A.x=-3 B.x=-9
C.x=3 D.x=9
2.(2023·深圳)某運(yùn)輸公司運(yùn)輸一批貨物,已知大貨車(chē)比小貨車(chē)每輛多運(yùn)輸5噸貨物,且大貨車(chē)運(yùn)輸75噸貨物所用車(chē)輛數(shù)與小貨車(chē)運(yùn)輸50噸貨物所用車(chē)輛數(shù)相同,設(shè)每輛大貨車(chē)的貨運(yùn)量是x噸,則所列方程正確的是( )
A.= B.=
C.= D.=
3.(2024·廣州)解方程:=.
4.(2023·廣東)某學(xué)校開(kāi)展了社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),活動(dòng)地點(diǎn)距離學(xué)校12 km,甲、乙兩同學(xué)騎自行車(chē)同時(shí)從學(xué)校出發(fā),甲的速度是乙的1.2倍,結(jié)果甲比乙早到10 min,求乙同學(xué)騎自行車(chē)的速度.第六講　分式方程及其應(yīng)用
知識(shí)要點(diǎn) 對(duì)點(diǎn)練習(xí)
1.分式方程的定義及解法 (1)定義: 分母 中含有未知數(shù)的方程. (2)解法 ①基本思想:將分式方程轉(zhuǎn)化為 整式 方程. ②方法:去分母,即方程兩邊同乘以 最簡(jiǎn)公分母 . ③解分式方程時(shí),求出的未知數(shù)的值,可能會(huì)使分式無(wú)意義,因此,解分式方程必須檢驗(yàn). 1.(1)(2024·德陽(yáng))分式方程=的解是(D) A.3 B.2 C. D. (2)若關(guān)于x的分式方程-=1(m為常數(shù))有增根,則增根是 x=4 .
2.列分式方程解應(yīng)用題 與列一元一次方程解應(yīng)用題相同,基本步驟是審題、設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、檢驗(yàn)并作答. 2.(2024·臨夏州)端午節(jié)期間,某商家推出“優(yōu)惠酬賓”活動(dòng),決定每袋粽子降價(jià)2元銷(xiāo)售.細(xì)心的小夏發(fā)現(xiàn),降價(jià)后用240元可以比降價(jià)前多購(gòu)買(mǎi)10袋,求每袋粽子的原價(jià)是多少元 設(shè)每袋粽子的原價(jià)是x元,所得方程正確的是(C) A.-=10 B.-=10 C.-=10 D.-=10
考點(diǎn)一分式方程的定義
【例1】下列方程中,是分式方程的是(D)
A.+ B.x2+1=2
C.+1=2 D.=0
【方法小結(jié)】考點(diǎn)“分式方程的定義”多見(jiàn)于選擇題,要根據(jù)定義判斷,首先是方程,其次分母含有未知數(shù),二者缺一不可.
考點(diǎn)二分式方程的解法
【例2】(2024·遂寧)分式方程=1-的解為正數(shù),則m的取值范圍是(B)
A.m>-3 B.m>-3且m≠-2
C.m<3 D.m<3且m≠-2
【方法小結(jié)】去分母——將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,是解分式方程的關(guān)鍵步驟,主要步驟是:先確定最簡(jiǎn)公分母,然后方程兩邊(即每一項(xiàng))都乘這個(gè)最簡(jiǎn)公分母,化為整式方程.注意不要漏乘常數(shù)項(xiàng).
【例3】(1)(2023·廣西)解分式方程:=.
(2)(2024·福建)解方程:+1=.
【解析】(1)=,方程兩邊同乘x(x-1)得2x=x-1,
移項(xiàng)解得x=-1.將x=-1代入x(x-1)≠0,
∴x=-1是原分式方程的解.
(2)原方程兩邊都乘(x+2)(x-2),
去分母得:3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2),
整理得:3x-10=2x,解得:x=10,
檢驗(yàn):當(dāng)x=10時(shí),(x+2)(x-2)≠0,
故原方程的解為x=10.
【方法小結(jié)】解分式方程是中考高頻考點(diǎn),常見(jiàn)選擇題、填空題和解答題中.步驟有三步:(1)去分母——將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程(注意不要漏乘常數(shù)項(xiàng));(2)解這個(gè)整式方程(確保計(jì)算正確);(3)檢驗(yàn)(容易遺漏,驗(yàn)根過(guò)程是解分式方程獨(dú)有的特征).
考點(diǎn)三分式方程的應(yīng)用
【例4】(2024·達(dá)州)甲、乙兩人各自加工120個(gè)零件,甲由于個(gè)人原因沒(méi)有和乙同時(shí)進(jìn)行,乙先加工30分鐘后,甲開(kāi)始加工.甲為了追趕上乙的進(jìn)度,加工的速度是乙的1.2倍,最后兩人同時(shí)完成.求乙每小時(shí)加工零件多少個(gè) 設(shè)乙每小時(shí)加工x個(gè)零件,可列方程為(D)
A.-=30 B.-=30
C.-= D.-=
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可以得到相等關(guān)系:乙用的時(shí)間-甲用的時(shí)間=小時(shí),據(jù)此列出方程即可.
【例5】(2024·新疆)某校九年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校20 km的科技館研學(xué),一部分學(xué)生乘甲車(chē)先出發(fā),5 min后其余學(xué)生再乘乙車(chē)出發(fā),結(jié)果同時(shí)到達(dá).已知乙車(chē)的速度是甲車(chē)速度的1.2倍,設(shè)甲車(chē)的速度為x km/h,根據(jù)題意可列方程(D)
A.-=5 B.-=5
C.-= D.-=
【思路點(diǎn)撥】設(shè)甲車(chē)的速度為x km/h,則乙車(chē)的速度為1.2x km/h,根據(jù)一部分學(xué)生乘甲車(chē)先出發(fā),5 min后其余學(xué)生再乘乙車(chē)出發(fā),結(jié)果同時(shí)到達(dá).列出分式方程即可.
【方法小結(jié)】本題考查分式方程的應(yīng)用,分析題意,找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.此類(lèi)題目一般有兩個(gè)等量關(guān)系,其中一個(gè)等量關(guān)系為設(shè)未知數(shù)服務(wù),另一個(gè)等量關(guān)系用于列方程,如此例中的甲車(chē)速度和乙車(chē)速度的關(guān)系用于設(shè)未知數(shù),時(shí)間關(guān)系用于列方程.此外一定要注意驗(yàn)根.
廣東3年真題
1.(2024·廣東)方程=的解是(D)
A.x=-3 B.x=-9
C.x=3 D.x=9
2.(2023·深圳)某運(yùn)輸公司運(yùn)輸一批貨物,已知大貨車(chē)比小貨車(chē)每輛多運(yùn)輸5噸貨物,且大貨車(chē)運(yùn)輸75噸貨物所用車(chē)輛數(shù)與小貨車(chē)運(yùn)輸50噸貨物所用車(chē)輛數(shù)相同,設(shè)每輛大貨車(chē)的貨運(yùn)量是x噸,則所列方程正確的是(B)
A.= B.=
C.= D.=
3.(2024·廣州)解方程:=.
【解析】原方程去分母得:x=6x-15,
解得:x=3,
檢驗(yàn):當(dāng)x=3時(shí),x(2x-5)≠0,
故原方程的解為x=3.
4.(2023·廣東)某學(xué)校開(kāi)展了社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),活動(dòng)地點(diǎn)距離學(xué)校12 km,甲、乙兩同學(xué)騎自行車(chē)同時(shí)從學(xué)校出發(fā),甲的速度是乙的1.2倍,結(jié)果甲比乙早到10 min,求乙同學(xué)騎自行車(chē)的速度.
【解析】設(shè)乙同學(xué)騎自行車(chē)的速度為x km/h,
則甲同學(xué)騎自行車(chē)的速度為1.2x km/h,
根據(jù)題意得-=,
解得x=12.
經(jīng)檢驗(yàn),x=12是原分式方程的解.
答:乙同學(xué)騎自行車(chē)的速度為12 km/h.

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